精品解析：山东泰安市泰山区2025-2026学年下学期八年级数学期中阶段测试卷

第二学期期中学情检测初三数学样题 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案前的字母代号填在下表内．） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行判断即可． 【详解】解：A、 的被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故选项符合题意． 2. 下列方程：①，②，③，④，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，逐个判断四个方程即可． 【详解】解：①、，是一元二次方程； ②、，当时方程不是一元二次方程； ③、，是一元二次方程； ④、，整理方程得：，不是一元二次方程； 综上所述，一定是关于的一元二次方程的是①③，共2个． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接合并，结果不等于，∴A错误； B、 ，∴B错误； C、===，符合计算结果，∴C正确； D、==，，∴D错误． 4. 已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 5. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( ) A. 3cm2 B. 4 cm2 C. cm2 D. 2cm2 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是菱形，可得菱形的四条边都相等AB=BC=CD=AD，菱形的对角线互相平分且相等即AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，又因为菱形的边长和一条对角线的长均为2，易求得OB=1，则可得AC的值，根据菱形的面积等于积的一半，即可求得菱形的面积． 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=2cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD， 又∵菱形的边长和一条对角线的长均为2， ∴AB=AD=BD=2， ∴OB=1， ∴OA==， ∴AC=2， ∴菱形的面积为2， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半． 6. 如图，在矩形中，若的中点坐标是，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题坐标与图形，矩形的性质，勾股定理等知识，设中点为，则，连接，根据两点间距离公式求出，根据矩形的性质和直角三角形斜边中线的性质可求出，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：设中点为，则，连接， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 7. 中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是EF的中点．若图中阴影部分面积为8，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质等，与的交点为点，与的交点为点，可证得，进而证得，阴影部分面积． 【详解】解：如图所示，与的交点为点，与的交点为点． ∵四边形和均为正方形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴，． ∵点是EF的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴阴影部分面积． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 8. 关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，则关于x的一元二次方程必有一个根为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程化为，再根据方程有一个根为x＝5，根据x-1=5求解即可． 【详解】解：将关于x的一元二次方程变形，得(m≠0)， 令u=x-1，得， 关于x的一元二次方程有一个根为x＝5， 关于u的一元二次方程(m≠0)有一个根为u=5， 将u=5代入u=x-1，得， 解得，x=6， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握换元法是解本题的关键． 9. 把根号外的因式移到根号内为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得： 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 10. 如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用SAS可证明，根据等腰直角三角形性质得，进而可得，即可判断结论①；在中，根据勾股定理可得的长，即可判断结论②；结合前面的结论可知，进而可判断结论③；连接，根据可求出正方形的边长，进而可判断结论④． 【详解】解：对于结论①， 在正方形中，，． ， ， ，， ． 在和中， ． ． ， ，， ，故结论①符合题意； 对于结论②， 由前面的结论可得， ． 在中，，， ，故结论②不符合题意； 对于结论③， ，故结论③符合题意； 对于结论④， 如图，连接． ， ， ， ， ， ， ，故结论④不符合题意； 综上，结论①③符合题意． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理，二次根式．熟练掌握全等三角形的判定和性质，能够把复杂的问题进行有效地转化是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故答案为：且． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式列式计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且，解得：且． 13. 组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请________个球队参加比赛． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（握手、循环赛问题），根据题意正确列出方程是解题的关键． 设邀请个球队参加比赛，由于赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场，因而每个队都比赛了场，所有队共比赛场，由于每两个队的比赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是场，据此列方程求解即可． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场， 每个队都比赛了场， 一共有个队参赛， 所有队共比赛场， 队队比赛和队与队比赛是同一场， 每两个队的比赛都被重复计算了一次， 总比赛场数是场， 计划安排15场比赛， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 即：共邀请个球队参加比赛， 故答案为：． 14. 在矩形中，对角线，相交于点，点是的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理，容易求得，，得到点为的中点，可得． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，且，互相平分． ∴，． ∵， ∴． ∴点为的中点． 又点是的中点， ∴． 15. 如图，在矩形纸片中，，点M是边上的一点，点N是边上的中点，小明按如下方式作图：①连接；②取的中点P，Q；③连接．若四边形是矩形，则长度的最大值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，连接，，求解四边形是矩形时，，再进一步分析即可． 【详解】解：如图，连接，， 的中点分别是P，Q，N，， ， ∴四边形是平行四边形． 当四边形是矩形时，则． ∴点M到的距离不超过5，即， ∴长度的最大值为． 16. 如图，在菱形中，，，是的中点，过点作，垂足为，将沿点到点的方向平移，得到，设点、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接交于,首先证明四边形是平行四边形，再证明，求出即可解决问题. 【详解】解：如图，连接交于， 由题意  ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ，， ∴， ∴，， ∵P是的中点， ∴， ， ， 平行四边形的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题. 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）使用整式的乘法法则和乘法公式计算； （2）先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，不能合并的二次根式保留在结果中． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 按要求解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：移项，得． 方程两边同时除以，得． 配方，方程两边同时加，得， 即． 由平方根的意义，得． 所以，． 【小问2详解】 ∵，，． ∴， 所以． 所以，． 19. 已知， （1）分别求，的值 （2）利用（1）的结果求下列代数式的值：①；② 【答案】（1），； （2）①，②9． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减法和平方差公式计算即可； （2）①提公因式进行因式分解，然后代入求值； ②对分式进行通分，然后对分子进行变形，再代入求值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ① ； ② ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解，分式的化简，熟练掌握运算法则和乘法公式，对所求式子灵活变形是解题的关键． 20. 如图，菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积. 【答案】（1） 证明：， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， ． ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证明四边形是平行四边形．再由菱形的性质可证明出，从而得出平行四边形是矩形； （2）连接，由菱形的性质结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出，，再根据三角形中位线的性质可求出DF的长，最后根据矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， 四边形是菱形， ， ∴， ， 由（1）得四边形是矩形， ，点C为BF中点． ∵点O为BD中点， ， ， 矩形的面积． 【点睛】此题考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形中位线的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 21. 在正方形中，是一条对角线，点在线段上（与点、不重合），连接，平移，使点移动到点处，得到，过点作，垂足为，连接，． （1）根据题意补全图形（画出示意图即可）； （2）求证：． 【答案】（1） 补全图形如图； （2） 证明：连接， ∵四边形是正方形，是一条对角线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移到， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质，三角全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意可直接进行作图； （2）连接，过点H作于点E，由题意易得，，进而易证，然后可得，则有，最后问题可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何非零实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值． 【答案】（1） 解：由题意可知：， ∴ ， ∴无论k取任何非零实数，方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）分：三角形的腰长为4和底边为4两种情形讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当三角形的腰长为4时，设底边为a， ∴是的一根， ∴， ∴， ∴， ∴由根与系数的关系可知：， ∴， 此时，能够组成三角形，满足题意； ∴当底边为4时，设腰长为b， ∴有两个相同的根， ∴， ∴， ∴原方程为 ∴该方程的解为：． ∴，不能组成三角形，故舍去， 综上所述，． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程，根与系数的关系：一元二次方程两实数根为、，则，． 23. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】（1）； （2）1 （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 【小问3详解】 解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 24. 如图，是四边形的对角线，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、． （1）如图1，四边形是正方形时，作，垂足为O，连接、．判断、之间的数量关系和位置关系，并证明； （2）如图2，四边形是菱形时，设，点O在上，且．判断与的数量关系，写出推理过程，并用含有的代数式表示； （3）在（2）的条件下，若，，当四边形是菱形时（如图3），请直接写出线段平移的距离为　　　　． 【答案】（1） ，． 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； （2） ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论； （2）证明，得出，，则可得出结论； （3）过点作于点，于点，则四边形是矩形，得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作于点，于点，则四边形是矩形， ， 由题意知四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 设， ，， ， ， ， ， 线段平移的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，平移的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二学期期中学情检测初三数学样题 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案前的字母代号填在下表内．） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程：①，②，③，④，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（ ） A. B. C. D. 5. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( ) A. 3cm2 B. 4 cm2 C. cm2 D. 2cm2 6. 如图，在矩形中，若的中点坐标是，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 7. 中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是EF的中点．若图中阴影部分面积为8，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，则关于x的一元二次方程必有一个根为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 把根号外的因式移到根号内为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为________． 13. 组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请________个球队参加比赛． 14. 在矩形中，对角线，相交于点，点是的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为________． 15. 如图，在矩形纸片中，，点M是边上的一点，点N是边上的中点，小明按如下方式作图：①连接；②取的中点P，Q；③连接．若四边形是矩形，则长度的最大值为________． 16. 如图，在菱形中，，，是的中点，过点作，垂足为，将沿点到点的方向平移，得到，设点、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为_________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 按要求解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 19. 已知， （1）分别求，的值 （2）利用（1）的结果求下列代数式的值：①；② 20. 如图，菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积. 21. 在正方形中，是一条对角线，点在线段上（与点、不重合），连接，平移，使点移动到点处，得到，过点作，垂足为，连接，． （1）根据题意补全图形（画出示意图即可）； （2）求证：． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何非零实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值． 23. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 24. 如图，是四边形的对角线，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、． （1）如图1，四边形是正方形时，作，垂足为O，连接、．判断、之间的数量关系和位置关系，并证明； （2）如图2，四边形是菱形时，设，点O在上，且．判断与的数量关系，写出推理过程，并用含有的代数式表示； （3）在（2）的条件下，若，，当四边形是菱形时（如图3），请直接写出线段平移的距离为　　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $