概率与导数 课件-2026届高三数学二轮复习

专题十一 创新压轴题 【新高考二轮复习专题】 专题11.3 概率与导数 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 概率与导数 概率与函数单调性结合 概率与函数零点结合 考点概览 20-25 年真题统计 具体考查方式 考点一 概率与函数单调性结合 注: 该考点, 在近年真题中, 未有出现与涉及. 但近年各地模考中偶有出现. 26 年高考亦有考查可能.因此高三毕业班授课教师与考生应适当关注, 建议根据自身情况选择学习. 考频统计 概率计算与条件概率: 涉及随机事件发生的概率，分布列的构造，条件概率公式的应用. 导数与单调性分析: 结合函数的导数分析单调性，判断函数的极值和区间上的递增或递减特性. 预算与优化问题: 结合实际背景，计算概率事件引起的费用，分析方案的可行性. 考点一 概率与函数单调性结合 知识点拨 垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．年月日，生活垃圾分类制度入法．到年底，先行先试的个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统；其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖．某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道．该机构从名员工中进行筛选，筛选方法：每位员工测试，，三项工作，项测试中至少项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试，两项，如果这两项中有项以上含项测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试，，三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为． 考点一 概率与函数单调性结合 重点题型 记某位员工被认定为“暂定”的概率为，求； 每位员工不需要重新测试的费用为元，需要重新测试的总费用为元，除测试费用外，其他费用总计为万元，若该机构的预算为万元，且该名员工全部参与测试，问上述方案是否会超过预算请说明理由． 考点一 概率与函数单调性结合 由题知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为，每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为， 综上知，每位员工被认定为“暂定”的概率为： ． 重点题型 考点一 概率与函数单调性结合 设每位员工测试的费用为元，则的可能取值为，， 由题知，，， 所以元，．令，， 则． 当时，，所以在上单调递增 当时，，所以在上单调递减． 所以，即元， 所以此方案的最高费用为万元． 综上，若以此方案实施，不会超过预算．  重点题型 甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供元奖金并规定：若有人先赢场，则先赢场者获得全部奖金同时比赛终止；若无人先赢场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立． 当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量，求的分布列； 当时，若已进行了场比赛，其中甲赢了场，乙赢了场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额； 考点一 概率与函数单调性结合 重点题型 规定：若随机事件发生的概率小于，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的场比赛中甲赢场、乙赢场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由． 考点一 概率与函数单调性结合 的可能取值为，，，， ，， ，， 重点题型 场比赛甲胜局，则继续比赛甲胜的概率为 继续比赛乙胜的概率为，甲获得奖金金额为元； 设比赛继续进行场乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙赢： 当时，乙以贏，； 当时，乙以贏，； 所以，乙赢得全部奖金的概率为 ； 设 ， 因为所以所以在上单调递减， 于是． 故事件“乙赢得全部奖金”是小概率事件， 所以认为比赛继续进行乙不可能赢得全部奖金．  考点一 概率与函数单调性结合 重点题型 某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表： 考点一 概率与函数单调性结合 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率 预期平均年利率单位：万元 方案 方案 重点题型 以预期平均年利润的期望为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？ 记该生产线升级后的产品以下简称“新产品”的年产量为万件，通过核算，实行方案时新产品的年度总成本万元为，实行方案时新产品的年度总成本万元为已知，若按的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销、滞销时，新产品的单价元分别为、、，且生产的新产品当年都能卖出去．试问：当取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标． 考点一 概率与函数单调性结合 重点题型 ，解得， ， ， ， ， ， 当时，应选择方案 当时，应选择方案 当时，既可以选择方案，也可以选择方案． 考点一 概率与函数单调性结合 重点题型 ，根据的结果，应选择方案， 新产品的年度总成本为， 设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为， 则，，， 的分布列为 考点一 概率与函数单调性结合 ， 重点题型 设，， ， ，， 在上单调递增，在上单调递减， 时，取得极大值也是最大值，即年产量为万件， 取得最大值，此时万元， 由知，预期平均年利润的期望万元， ，在年产量为万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．  考点一 概率与函数单调性结合 重点题型 解题通法 构造分布列: 列出可能结果的概率，结合题目条件统计所有可能取值. 函数单调性: 利用导数分析函数在特定区间的递增或递减性，找到极值点. 实际问题建模: 将抽象数学问题与实际背景结合，得出费用或概率的最优解. 考点一 概率与函数单调性结合 归纳总结 考点二 概率与函数零点结合 20-25 年真题统计 具体考查方式 2024年新课标全国II卷第21题 概率中利用导数研究函数零点 考频统计 概率分布与递推关系: 构造概率分布列，分析递推关系，证明概率函数的特性. 零点问题与方程求解: 通过导数分析函数在不同区间的零点分布，结合数学推导找出最小正实根. 实际意义的分析: 结合零点的实际背景意义，分析其对问题结论的影响. 考点二 概率与函数零点结合 知识点拨 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第代，经过一次繁殖后为第代，再经过一次繁殖后为第代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示个微生物个体繁殖下一代的个数，． 已知，求； 设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； 根据你的理解说明问结论的实际含义． 考点二 概率与函数零点结合 重点题型 ． 设， 因为，故， 若，则，故． ， 因为，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 考点二 概率与函数零点结合 重点题型 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数， 故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故为的一个最小正实根， 综上，若，则． 若，则，故． 此时，， 考点二 概率与函数零点结合 重点题型 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 而，故， 又，故在存在一个零点，且． 所以为的一个最小正实根，此时， 故当时，． 意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过，则若干代后必然临近灭绝，若繁殖后代的平均数超过，则若干代后还有继续繁殖的可能． 考点二 概率与函数零点结合 重点题型 某药物研究所为筛查病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：逐份检验，则需要检验次；混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液全为阴性，因此这份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份血液再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为． 考点二 概率与函数零点结合 重点题型 假设有份血液样本，其中只有份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； 现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． (ⅰ)试运用概率统计知识，若，试求关于的函数关系式； (ⅱ)若，采用混合检验方式可以使得这份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：，，，， 考点二 概率与函数零点结合 重点题型 设恰好经过次检验能把阳性样本全部检验出来为事件，则，恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为． 由已知得，的所有可能取值为，， ，， ， 若，则， 所以，则，，． 关于的函数关系式为，，且． 考点二 概率与函数零点结合 重点题型 由题意知，得， ，，， 设，，则，令，则， 当时，，即在上单调增减， 又，，， ，， ，的最大值为．  考点二 概率与函数零点结合 重点题型 解题通法 递推关系的建立: 根据题目条件，利用递推公式构造概率函数. 零点分析: 对概率函数求导，判断其零点分布特性，找到符合条件的最小正实根. 解释实际意义: 结合题目背景，将数学解与实际问题结合. 考点二 概率与函数零点结合 归纳总结 博学深思 未来可期 $