2.4 导数双变量问题（一） 课件-2026届高考数学二轮复习

专题二 导数 专题 2.4 双变量问题（一） 典例剖析 方法讲解 变式训练 专题二 导数 专题 2.4 双变量问题（一） 转化为单变量 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1.已知函数，设是的两个极值点且，若，求的最小值． 韦达化处理： ， 则极值点,是方程的两个正根，有 齐次化处理： 换元、构造函数： 令，，，从而求出即可. 典例剖析 3 解析：第一，,是方程， 即的两个正根，有 第二， 例题 1.已知函数，设是的两个极值点且，若，求的最小值． 典例剖析 4 第三，令，，， 又，所以，即，解得， ，在单调递减， 得． 即的最小值为. 典例剖析 5 例题 2.已知与，两函数图像交点的横坐标分别为，且，求证：． 构造方程组： ，即，作差，得， 得，从而只需证即可. 换元： ，不妨设，令，，则只需证即可. 构造函数： ， 令，，即证 典例剖析 6 解析：第一，由题意，是方程的两根，从而有 ，即， 作差，得， 得，从而只需证即可. 例题 2.已知与，两函数图像交点的横坐标分别为，且，求证：． 典例剖析 7 第二，，不妨设，令，，则只需证即可. 第三，， 令，，即证 ，在上单调递增， 故. 综上，原不等式得证． 典例剖析 8 核心思想 第一，双变量转化为单变量问题根据不同类型，常利用韦达定理、齐次化、同构、比值或差值换元、放缩消元等方式实现或多种方式相结合，一般地： 1.与极值与极值点相关的双变量问题，常利用韦达定理转化为单变量. 与极值点有关的双变量问题，一般是根据是方程的根，确定的关系，再通过消元转化为只含有或的关系式，再构造函数解题，有时也可以把所给条件转化为的齐次式，然后转化为，再利用比值换元或差值换元转化为单变量； 2.与函数零点、图像交点的横坐标相关的双变量问题，常构造方程组消元转化为单变量． 方法讲解 核心思想 与函数零点、图像交点的横坐标相关的双变量问题，一般是根据是方程 的根，构造方程组，再通过消元转化为只含有或的式子，再构造函数解题，有时也可以把所给条件转化为的齐次式，然后转化为，再利用比值换元或差值换元转化为单变量；或把用参数表示出来，转化为以参数为自变量的函数； 3.与单调性相关的双变量问题，常采用同构的方法将双变量转化为单变量； 第二，换元转化为单变量，构造新函数； 注意：换元前后变量范围的确定与变化． 第三，利用函数的单调性证明不等式，或转化为恒成立问题． 方法讲解 练习 1.已知 ，若存在两极值点,， 求证：． 点拨:先确定存在两极值点,时的的取值范围，再利用韦达定理得到,应满足的关系式，用表示出，再由导数求最小值证明不等式。 解析：，则方程即有两不 等正根,，从而，得. 典例剖析 11 解析： . 令，， ，时 易得 从而， 典例剖析 12 练习 2.已知函数， (1)求的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点,，证明：． 点拨:（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可得，，，显然， 令，设，则，依题意只需证明，即证，即证，令，，利用导数判断函数的单调性即可得证. 解析：（1）当时，的单调减区间为，无单调增区间； 当时，的单调减区间为，单调增区间为. 典例剖析 13 (2)因为,是函数的两个不同的零点， 所以，，，显然， 因为，， 所以，①， 所以，， 即证，， ①②得，不妨令，设，则，，， 所以，，，， 所以只要证，即证， 令，，， 所以在上单调递减，所以，即. 典例剖析 14 专题二 导数 专题 2.4 双变量问题(一） 极值和差积商问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1.已知函数，若存在两个极值点， 证明：． 韦达化处理： ， 直接代入： ， 即证，不妨设， 方法一： 思路一：利用对数均值不等式放缩 由，得，即证， 令，构造函数即可. 思路二：齐次化构造，比值代换 ，由， 得，得，令，构造函数即可. 典例剖析 16 例题 1.已知函数，若存在两个极值点， 证明：． 观察、变形： 不妨设，则，即证. 方法二： 同构： 令，即证，又，所以单调递减，即证. 求导： ，得证. 典例剖析 17 解析：方法一 第一，， 由题意，是方程的两个不等正根，由韦达定理得， ，得. 第二，， 原命题即证，不妨设， 例题 1.已知函数，若存在两个极值点， 证明：． 典例剖析 18 第三，思路一： 原不等式等价于， 由对数均值不等式可知，，即， 所以要证，只需证即可. 令，则，即证. 因为，所以,所以，即， 所以成立，原不等式得证. 思路二：， 由，得，得，令， 典例剖析 19 令，即证 令， 则， 所以，在上单调递减， 所以，，原不等式得证. 典例剖析 20 方法二： 第一，不妨设，原不等式 . 第二，令，即证，又，所以单调递减，即证， 第三， ． 典例剖析 21 核心思想 极值和差积商问题是双变量问题中最常见的问题， 第一，根据式子的结构，确定解题思路，常见的思路有： 1. 直接代入，然后利用韦达定理齐次化，再通过比值换元消元，对型和都适合； 2. 型可考虑同构或利用对数均值不等式进行放缩； 对数均值不等式： 若且，则. 注：既要掌握其内容，也要熟练掌握其证明过程. 第二，换元转化为单变量，构造新函数； 第三，利用函数的单调性证明不等式． 方法讲解 练习1.已知 ，设,是函数的两个极值点， 证明：恒成立． 点拨:先确定存在两极值点,时的的取值范围，再利用韦达定理得到,应满足的关系式，然后直接代入得的表达式，因含有三个变量，需借助韦达定理消元，再由导数求最大值证明不等式。 解析：， ， ,是函数的两个极值点即有两不等正根,， 从而，得 典例剖析 23 又，所以，即，且， 所以， ， 设函数，其中，， 由，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 即恒成立. 典例剖析 24 注意：本题也可以利用韦达定理齐次化后，采用比值代换消元构造函数解题： 由，得，且，所以 ， 令，则. 典例剖析 25 练习 2.已知函数.若函数存在两个极值点，求实数的取值范围，并比较与的大小. 点拨:直接代入，得到的表达式，利用韦达定理消元，得，再通过作差比较大小即可. 解析：， 由题意知，是方程，即方程的两正根， 由可得，，且，， 因此， 又，所以， 即>. 典例剖析 26 专题二 导数 专题 2.4 双变量问题(一） 中点型 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1.已知函数， 若，是的两个不相等的零点，证明：. 变量替换，统一为单变量： ，结合的单调性，可知等价于证明， 不妨设，则 构造函数： 令， 求导判断函数单调性，得出结论： 在上递减，则 典例剖析 28 解析：，， 从而在上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增. 第一，变量替换，转化为单变量： ， 不妨设，则 则 例题 1.已知函数， 若，是的两个不相等的零点，证明：. 典例剖析 29 第二，构造函数：令，，则即可. 第三，求导判断函数的单调性，导出结论： ， 因为，， 则，从而， 故在上单调递减，则， 所以，. 注意：本题直接用导数解决双变量问题难度较大，通过对称构造差函数，再利用差函数单调性解决问题较为简单。 典例剖析 30 例题 2.已知，设，， 证明：． 变量替换：，令，， 代入上式得， 构造函数： 求导判断单调性，得出结论： ，得单调递增，得. 典例剖析 31 解析：第一，原不等式等价于， 令，，代入上式得 . 第二，令 第三，因为，所以 得单调递增，所以，即成立． 注意：，即对数均值不等式，其证明方法很多，本题采用的是差值构造函数法进行证明． 例题 2.已知，设，， 证明：． 典例剖析 32 核心思想 1.导数双变量中点型问题的典型特征是题干中出现两点,，并涉及以下形式的条件或结论：中点坐标、、(是中点)、中点函数值、、导数中点关联式、含参差值中点关联式等． 其核心思路是：通过构造关于两点中点或中点函数值的辅助函数，将双变量转化为单变量，再通过求导分析单变量函数的性质，间接证明双变量结论. 2.解题步骤一般为： 第一：变量替换，统一为单变量； 第二：构造辅助函数； 第三：求导分析函数的单调性，结合端点值得出结论． 方法讲解 核心思想 3.与中点相关的函数构造常用方法： ①对称构造：适用于判断如关系型问题，过程类似于极值点偏移的解法，具体步骤为： 第一：设辅助函数； 第二：求，通过判断的符号确定的单调性； 第三：由及单调性，得出，即证原不等式成立． ②差值构造：适用于与关联型问题，如，具体步骤为： 第一：不妨设，利用中点，设，，将双变量转化为单变量： 方法讲解 核心思想 代入原不等式，， 化简得； 第二：构造函数求 第三：求，通过导数符号判断的单调性（通常需要二次求导）并结合可推出原不等式成立． 注意：有时也可以根据零点型构造方程组，作差，再通过差值代换或比值代换将双变量转化为单变量或极值点型利用韦达定理消元等． 方法讲解 练习 1. 设函数 ，若有两个零点,， 设，求证：． 点拨:由函数零点的定义可得，，两式相减得，将所证不等式等价变形为，令，即证，构造函数，，利用导数分析函数的单调性，即可证明结论成立. 解析：不妨令，由题意得，两式相减得. 且， 要证，即证，即证， 典例剖析 36 令，即证， 构造函数，其中， 则， 所以，函数在上单调递增， 所以，当时，，即， 故原不等式得证． 典例剖析 37 练习 2.已知函数. （1）若存在两个极值点，求实数的取值范围； （2）若,为的两个极值点，证明：. 点拨:由（1）知，且，，则 ，即证. 解析：（1）， 若存在两个极值点，即在上有两个根 所以有两个根，即与有两个交点 所以在上，，单调递增，在上，，单调递减， 所以时，，所以 所以实数的取值范围为； 典例剖析 38 （2）由（1）知，且，，则 ， 所以只需证明. 令，则，原不等式等价于对成立， 令，， 所以在上单调递减， 所以，， 所以，原不等式得证． 典例剖析 39 千帆竞渡争朝夕 一苇以航向青云 $