2.4 导数双变量问题（二） 课件-2026届高考数学二轮复习

专题二 导数 专题 2.4 双变量问题（二） 典例剖析 方法讲解 变式训练 专题二 导数 专题 2.4 双变量问题（二） 剪刀模型 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数，在点处的切线方程为． (1)求,的值； (2)设曲线与轴负半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为， 求证：对任意的实数，都有； (3)若关于的方程有两个实数根，且， 证明：． 典例剖析 3 (1)由，得，注意检验. (2)构造函数，证明即可. 先求出在处的切线，证明成立，再求出与直线交点的横坐标，并证明. (3)求出在处的切线与直线交点的横坐标，并证明. 切线放缩：，代入上述所求的，的值，化简整理即可. 典例剖析 解析：（1） （2）由（1）可知，，令，得或， 故与轴负半轴唯一的交点为 ， 曲线在处的切线方程为，且求得， 令， 时，，，即， 时，，，即， 时，， 易得，即成立． 典例剖析 5 设的根为，解得， 因为，所以，又， 所以，又单调递增，所以. 第三，所以 原不等式得证． （3）第一，设的根为，解得， 因为，所以，又， 所以，又单调递减，所以． 第二，易求曲线在处的切线方程为， 同理，令， ，令，， 时，，单调递减，， 时，，单调递增，， 时，，单调递减，时，，单调递增 所以，即. 典例剖析 6 例题 2.已知． (1)讨论的单调性； (2)设为两个不相等的正数，且，证明：． 思路一：极值点偏移，对称化构造证明. 转化化归： 令，，即已知，求证+ 思路二：切割线放缩证明.以为例 ①令，则是函数的图像与直线两交点的横坐标； 由 得的图像与轴交于， ③求出在处的切线，及与直线交点的横坐标，通过证明成立，证明. ②求出在处的割线与直线交点的横坐标，证明得. ④切割线放缩：，代入上述所求的，的值，可证得成立. 典例剖析 7 解析：(1)在上单调递增；在上单调递减. (2)第一，由得，， 令，，即证当时，有 常规做法是用极值点偏移方法进行证明，此处略． 下面以证明为例，说明切割线放缩的思路． 第二，令，则是函数的图像与直线两交点的横坐标，不妨设如下页图所示， 由 ，即，解得的图像与轴交于与两点， 例题 2.已知． (1)讨论的单调性； (2)设为两个不相等的正数，且，证明：． 典例剖析 8 函数的极值点处的坐标为， 由与确定的曲线的割线， 令，，则， 所以. 设与直线交点的横坐标，则， 又单调递增，所以， 联立，解得，所以； 易求曲线在处的切线方程为 ， 令，则 求导易得，即． 典例剖析 9 设与直线交点的横坐标，则， 又单调递减，所以， 联立，解得，所以； 第三，所以 原不等式得证． 典例剖析 10 核心思想 1.剪刀模型指的是切割线放缩，如图所示两条切线就像剪刀一样包络着曲线，所以称为剪刀模型，它的基本思想是“化曲为直”． 2.在双变量关于零点的问题中，零点和问题通常属于极值点偏移问题，可采用对称化构造函数来解决，而对于零点差问题，解决思路主要有以下几种： ①类比极值点偏移构造函数； ②比值或差值消元； ③零点差小于某值用切线夹； ④零点差大于某值用割线夹； ⑤构造拟合函数用曲线夹或找点放缩等． 方法讲解 3.剪刀模型指的是切割线夹与曲线夹， 口诀：零点差、切线夹；零点加，割线夹. 基本原理如下： 设函数与直线交于， ，曲线的两条切线交直线 于，，两条割线交直线于， 切线夹：要证，只需证； 割线夹：要证，只需证， 注意： 切线夹问题中，通常选取曲线在零点处的切线作为切线； 割线夹问题中，通常选取极值点与零点的连线作为割线． 核心思想 方法讲解 核心思想 4.运用剪刀模型解题的一般步骤： 第一，弄清原函数的图像和性质，关键是求出极值点和零点（零点若求不出来，会涉及到隐零点问题）及凹凸性； 第二，求出切线（割线）方程、并通过证明，确定与，与的大小关系并求出的值； 第三，切割线放缩，将证明的问题转化为证明； 或的问题转化为证明即可. 注意：本方法有时因为取点不当导致失效，故要注意研究导数的取点方法． 方法讲解 练习 1.已知函数，. (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为,且， 求证：． 点拨:(1)由可得，令，，则函数的零点个数等于直线与函数图像的公共点个数，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得结论； (2)先导出，将原不等式转化为，设函数的图像在处的切线交直线于点，函数的图像在处的切线交直线于点，证明出，，再利用不等式的基本性质可得所证不等式成立. 典例剖析 14 解析：(1)由可得，令，，则函数的零点个数等于直线与函数图像的公共点个数， ，令，得，与的关系如下表所示： 由图可知， 当时，函数无零点； 当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； (2)，. ， 一方面，由题意，得 ，两式作差，得， 减 极小值 增 典例剖析 15 要证，即证，即. 另一方面，令，得， 从而,是直线与函数图像交点的横坐标，如图下图所示： 因为，所以与轴的一个交点为，设另一个交点为，且， 因为在上单调递增，且，，所以 易求函数在处的切线方程为，易证. 设直线与直线交于，联立，解得 典例剖析 16 因为，所以， 又单调递减，所以，即. 易求函数在处的切线方程为， 令， ， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，，即. 设直线与直线交于， 则，又单调递增，所以 由，得 联立，解得， 因为，， 典例剖析 17 所以， 所以， 所以 所以，即， 所以原不等式得证． 典例剖析 18 练习 2.已知函数与有两个交点，且， (1)求的取值范围； (2)证明：． 点拨:上凸函数零点差大于型可利用割线缩小，割线通常是极值点与零点的连线． 先求出割线的方程，再求出与直线交点的横坐标，则. 解析：(1)的定义域为，由，解得. 所以在上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以，且时，， 所以，，即的取值范围. 典例剖析 19 (2)设，，， 直线，的方程分别为和 设直线，与直线的交点横坐标为，则 ，， 如图所示，易知， 所以， 典例剖析 20 专题二 导数 专题 2.4 双变量问题(二） 主元法 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1.已知函数，求证：当，时，恒成立. 作为主元 作为主元 令 求导，求最值 令 由是一次函数得 典例剖析 22 解析：(主元法) 第一，变更主元：，， 将看成关于的函数，得， 第二，问题转化：恒成立恒成立 第三，求最值：因为，所以， 所以，为在上单调递减的一次函数， 所以， 所以， 例题 1.已知函数，求证：当，时，恒成立. 切线不等式： 当且仅当时取等号 典例剖析 23 例题 2.已知函数，若， 求证：. 令，则 构造函数，则只需证即可 由得，， 通过求导易知，所以 典例剖析 24 解析：第一，观察、变形： 第二，指定主元，构造函数：令，即证， 设，则只需证即可. 第三，求最值：由，得，． ，易知在上单调递减，在上单调递增. 所以， 所以，，即. 例题 2.已知函数，若， 求证：. 典例剖析 25 核心思想 在导数中主元法是应对双变量问题的常用方法，分为两类： 一类是变更主元：即是题目中涉及到两个变量，已知其中一个变量在给定的范围内任意变动，求另一个变量的取值范围问题，此时可变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决. 另一类是指定主元：即是在一个多变量的代数式或函数中，选取一个变量作为主元（自变量），其他变量视为常数的方法； 解题步骤一般为： 第一：观察结构，确定类型，再对原式进行变形； 第二：确定主元，构造函数，对问题进行转化； 第三：利用导数求解. 方法讲解 核心思想 注意：1.双变量有独立双变量与非独立双变量（伪双变量）之分，独立双变量可以采用独自构造或换元构造成一元函数，也可以采用指定主元法，一般原则是将复杂结构所含的变量作为自变量 ，另一个看作常数；而非独立双变量即两个变量之间相互制约，需先构造特定变量，后整体代换转化为一个变量，或采用变更主元法。 2.若双变量之间只存在大小关系，一般视为独立双变量，特别地，若，通常将作为主元. 方法讲解 练习 1.已知 ， 证明：当时，恒成立. 点拨:如果以为主元求解很繁琐，此时重新确定为主元，要证恒成立，只需证，即证即可. 解析：（变更主元为）设， . 设，，所以在单调递减， 所以， 设，，所以在上单调递增， 典例剖析 28 故，时， 即，在上单调递减， 故 当时， 此时，，， 所以在单调递增，又， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，， 所以，， 所以，当时，，，即恒成立. 典例剖析 29 练习 2.已知函数， 当时，若恒成立，证明： 点拨:本题含三个变量，消元思路如下：先将恒成立转化为，变成双变量问题，再进行变形得，变成单变量，再构造函数，证明即可. 解析：当时，，即，得 令，从而即可. 求导易知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，， 因为，所以，令，利用导数易知，即，所以，. 典例剖析 30 $