1.2 等腰三角形 课件 2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

2 等腰三角形 第一章　三角形的证明及其应用 2 ｜ 等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 第一章　三角形的证明及其应用 知识点1 　等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等。简写成“等边对等角”。 1. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB。若 ∠B＝25°，则∠C的度数为 ⁠。 50°　 2. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝50°，则 ∠B＝ ，∠C＝ ⁠。 65°　 32.5°　 3. 如图，若AB＝AC＝BC＝DB，则∠D的度数为 ⁠。 30°　 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于 点D。若∠A＝36°，则∠BDC的度数为 ⁠。 72°　 知识点2 　三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 5. (教材P20习题T1·改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD 是△ABC的高，∠BAC＝108°，则∠BAD的度数为 ⁠。 54°　 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D。若 ∠B＝39°，则∠CAD的度数为 ⁠。 51°　 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线。若 AB＝5，BC＝6，则AD的长为 ⁠。 4　 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的高。若 AB＝13，BC＝10，则AD的长为 ⁠。 12　 9. 如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，AB＝AE， BC＝ED，AM⊥CD于点M。求证：CM＝MD。 解：如图，连接AC，AD。 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS)。 ∴AC＝AD。 ∵AM⊥CD， ∴CM＝MD。 2 ｜ 等腰三角形 第2课时　等边三角形的性质 第一章　三角形的证明及其应用 知识点1 　等边三角形的性质：三个内角都相等，并且每个角都等于60° 1. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上。若∠DBC＝ 40°，则∠ADB的度数为 ⁠。 100°　 2. 已知直线a∥b，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B 在直线b上。若∠2＝48°，则∠1的度数为 ⁠。 12°　 3. (教材P15练习T2·改编)如图，在△ABC中，D，E是BC 的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为 ⁠。 120°　 4. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同 一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为 ⁠。 15°　 5. (教材P21习题T4)已知：如图，D，E分别是等边三角形ABC 的两边AB，AC上的点，且AD＝CE。求证：CD＝BE。 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°。 在△ADC和△CEB中， ​ ∴△ADC≌△CEB(SAS)。 ∴CD＝BE。 6. 如图，△ABC为等边三角形，E，D分别为AB，AC上一 点，且BE＝AD，CE，BD相交于点O，则∠EOB的度数 为 ⁠。 60°　 知识点2 　等边三角形的性质：三线合一 7. 如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平 分线，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则BE的长为 ⁠。 9　 8. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝4 cm，BD⊥AC于 点D，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是 (　B　) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm B 2 ｜ 等腰三角形 第3课时　等腰三角形的判定及反证法 第一章　三角形的证明及其应用 知识点1 　等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰 三角形。简述为“等角对等边”。 1. 下列能确定△ABC为等腰三角形的是(　A　) A. ∠A＝50°，∠B＝80° B. ∠A＝42°，∠B＝48° C. ∠A＝2∠B＝70° D. AB＝4，BC＝5，周长为15 A 2. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分 ∠ABC，则图中等腰三角形的个数是(　D　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 D 3. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点， DE∥BC，∠1＝∠2。求证：△ABC是等腰三角形。 证明：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C。 ∵∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C。 ∴AB＝AC。 ∴△ABC是等腰三角形。 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BP，CQ是△ABC两腰上 的高。求证：△BCO是等腰三角形。 证明：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB。 ∵BP，CQ是△ABC两腰上的高， ∴∠BQC＝∠CPB＝90°。 ∵∠OBC＝180°－∠CPB－∠ACB， ∠OCB＝180°－∠BQC－∠ABC， ∴∠OBC＝∠OCB。 ∴OB＝OC。 ∴△BCO是等腰三角形。 知识点2 　反证法 5. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不 大于45°”时，应假设直角三角形中(　A　) A. 两锐角都大于45° B. 有一个锐角小于45° C. 有一个锐角大于45° D. 两锐角都小于45° A 6. (教材P17例2)用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是 直角。 已知：△ABC。 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角。 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A 和∠B是直角，即∠A＝90°，∠B＝90°。 于是∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°。 这与三角形内角和定理相矛盾， 因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立。 所以，一个三角形中不能有两个角是直角。 2 ｜ 等腰三角形 第4课时　等边三角形的判定及含30 °角 的直角三角形的性质 第一章　三角形的证明及其应用 知识点1 　等边三角形的判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形；　　　 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 1. 若△ABC的三边长分别是a，b，c，且(a－b)2＋ ＝ 0，则△ABC是 三角形(填“等边”或“等腰”)。 等边　 2. 如果a，b，c为三角形的三边长，且满足(a－b)(b－c)(c－ a)＝0，那么该三角形的形状为(　A　) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 无法确定 A 3. (教材P21习题T8)已知：如图，△ABC是等边三角形，与 BC平行的直线分别交AB和AC于点D，E。求证：△ADE是 等边三角形。 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C。 ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C。 ∴∠A＝∠ADE＝∠AED。 ∴△ADE是等边三角形。 4. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，点E在边AC上，连接 BE，∠CEB＝∠CBE。若∠ABC＝80°，求证：△BCE 是等 边三角形。 证明：∵∠CEB＝∠CBE， ∴△BCE为等腰三角形。 ∵∠A＝40°，∠ABC＝80°， ∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝180°－40°－80°＝60°。 ∴△BCE是等边三角形。 知识点2 　含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°。 (1)若∠B＝30°，AB＝8， 则AC的长为 ⁠； (2)若∠A＝60°，AC＝5， 则AB的长为 ⁠。 4　 10　 6. 如图，AC＝BC＝8 cm，∠B＝15°。若AD⊥BD于 点D，则AD的长为 cm。 4　 7. 如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点。若 AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 ⁠。 2　 8. 如图，△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为E。若AE＝3，则△ABC的边长为(　A　) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 A $