内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年下学期九年级学情自测数学

**基本信息** 本卷以“节约用水”“人工智能课程”“电动汽车充电桩”等时代情境为载体，通过基础运算、概率计算、函数建模等梯度设计，考查抽象能力、数据意识与模型意识，适配初三周测阶段性诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/24|正负数意义、幂运算、概率计算、投影面积比|第3题以四门AI课程为背景，考查古典概型，体现数据意识| |填空|4/12|反比例函数应用、解三角形、代数式表示|第9题结合近视度数与焦距关系，强化模型观念| |解答|6/64|统计图表分析、分式方程应用、圆的切线证明、抛物线建模|第17题以洒水车轨迹为情境构建抛物线模型，第18题通过正方形翻折探究全等，发展几何直观与推理能力|

2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（七） 数学学科答案解析 （本试卷共7页，满分100分，考试时间：90分钟 ） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意可得：浪费的水记为， 故选：． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，不符合题意． 故选：． 根据单项式乘单项式的乘法法则，幂的乘方与积的乘方计算法则，平方差公式以及同类项的定义进行分析判断． 本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及同类项的定义等知识点，属于基础题． 3.随着人工智能时代的到来，某学校开设了涵盖人工智能技术的四门兴趣课程，分别为“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，甲、乙两名同学选择同一门课程的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意得，设“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”为，，，， 列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由表格可得，两人选课的所有可能结果总数为种， 甲乙选择同一门课程的结果共有种， 甲、乙两名同学选择同一门课程的概率为：． 故选：． 画出表格，列举出甲乙两名同学选课的所有可能结果数，即可得到两人选择同一门课程的结果数，代入概率公式计算即可． 本题考查列表法与树状图，正确进行计算是解题关键． 4.如图，在点光源的照射下，一块面积为的三角形硬纸板记为平行于投影面时，形成的投影是若：：，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：一块面积为的三角形硬纸板记为平行于投影面时，形成的投影是则与是位似图形， ：：， ：： 与的位似比为：， ， ． 故选：． 由中心投影可知与是位似图形，进而根据位似图形的性质求解即可． 本题考查中心投影，正确进行计算是解题关键． 5.小明和爸爸从家出发前往离家的图书馆，为响应“绿色出行”号召，小明骑自行车先出发，分钟后爸爸骑电动车出发，两人同时到达图书馆已知电动车的速度是自行车速度的倍，设自行车速度为，根据题意，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据题意，可列方程为：． 故选：． 根据两人行驶时间的关系：小明比爸爸多用分钟列方程即可． 本题考查分式方程关于行程问题的实际应用．理解题意是关键． 6.如图所示，用相同的实验装置分别加热质量相同的水和食用油，根据实验数据绘制了如图所示的温度随时间变化的图象，则加热时间为分钟时，水与食用油的温差为(    ) A. B. C. D. 【答案】  【解析】解：由图可知，加热时间为分钟时，水与食用油的温差为． 故选：． 先由图象确定加热时间为分钟时，水与食用油的温度，再两者相减即可得解． 本题考查了函数图象，熟练掌握该知识点是关键． 7.我国古代数学著作算法统宗中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为(    ) A. B. C. D. 【答案】  【解析】解：根据题意可得： ． 故选：． 完成正确单位换算，和的单位为分，需将总价换算为分后列等式． 本题考查根据题意列二元一次方程组，解题关键是找准等量关系． 8.若点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 【答案】C  【解析】解：， 函数图象位于第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， ，且， ，两点不在同一象限， 点在第二象限，点在第四象限， ， 解不等式组得． 故选：． 先根据的符号判断函数图象位置和增减性，再结合判断两点位置，列不等式组即可求解的取值范围； 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了       度 【答案】  【解析】解：设关于的函数解析式为， 由图示知，该函数图象经过点． 把代入， ， 函数解析式为， 当时，， 当时，， 度数减少了度， 故答案为：． 用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入解析式求出的值，进而计算即可． 本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键． 10.某社区有一块锐角三角形草坪，示意图如图，米，且与的夹角为了方便居民通行，计划从点向边修一条小路作为步道，则步道的最短长度为        米 【答案】  【解析】解：如图，过点作于． ， 在中， 米，， 米， 故答案为：． 首先，过点作于，然后，运用在中，及已知数据及角度，代入计算即可． 11.截至年月底，我国电动汽车充电基础设施枪总数达到万个某小区年安装了一批充电桩，其中慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的倍还多个，则该小区安装了       用含的代数式表示个充电桩． 【答案】  【解析】解：由题意可知，快充桩有个， 则该小区安装的充电桩总数为：个． 故答案为：． 根据题意，先用含的代数式表示出快充桩的数量，再将慢充桩和快充桩的数量相加即可得出该小区安装充电桩的总数． 本题考查列代数式，正确进行计算是解题关键． 12.如图，正方形的边长为，连接，点为延长线上一点，，连接，过点作于点，分别交，于点，，则的长为        ． 【解析】解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在中，， ， ∽， ， ， 故答案为：． 首先通过互余关系证明，进而证明≌ 求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用得到∽，根据相似比求出 的长． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 四、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 【解析】解：原式； ， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 即， 检验：把代入得：， 是原方程的解． 根据负整数指数幂，算术平方根定义，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行求解即可； 先变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 本题考查的是特殊角的三角函数值，负整数指数幂，解分式方程，实数的运算，熟知以上知识是解题的关键． 14.本小题分 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： 本次抽测了______名九年级学生， ______； 若该地区有万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ 在本次抽测的优秀学生中抽取名学生，其中有名男生若从所抽取的名学生中随机选取名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 【解析】解：本次抽测了名九年级学生． ， ． 故答案为：；． 人． 体育成绩优秀学生的约有人． 抽取名学生中有名男生， 女生人数为人．   列表如下： 男 男 男 女 女 男 男，男 男，男 男，女 男，女 男 男，男 男，男 男，女 男，女 男 男，男 男，男 男，女  男，女 女 女，男 女，男 女，男  女，女 女 女，男 女，男  女，男  女，女 共有种等可能的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有种， 恰好抽取一男一女的概率为． 由扇形统计图可得的百分比，用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次抽测的学生人数；用乘以本次抽测中的人数所占的百分比，即可得答案． 根据用样本估计总体，用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽取一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 15.本小题分 某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用，两种型号的无人机运送已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． 每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ 该公司决定使用台型无人机和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送，共有几种运送方案？并写出具体运送方案． 【解析】解：设每台型无人机的单次最高载货量为，则 ， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ， 答：每台型无人机单次最高载货量为，每台型无人机单次最高载货量为； 该公司决定使用台型无人机和台型无人机载货， ， ， ，、为整数， 或； 共有种运送方案，方案一：使用台型无人机和台型无人机载货 方案二：使用台型无人机和台型无人机载货． 设每台型无人机的单次最高载货量为，则型无人机的单次最高载货量为，根据“用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货”列出分式方程求解即可； 根据题意得，，再根据的取值范围求解即可． 本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 16.本小题分 如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，． 求证：是的切线； 求证：是等腰三角形； 若，，求的长． 【答案】证明：连接，如图，   是的中点，是的中点， ， ， ， ， 为的直径， ， 即， ， ， 是半径， 是的切线； 证明：点是的中点，，即， ， ， 四边形内接于， ， ， 是等腰三角形； 解：连接，如图， ，， ∽， ，即， ，， ； 在中，由勾股定理得， 即， 解得，则， 是圆的直径， ， ，即． 解得．  【解析】连接，点是的中点，是的中点，即有，，即可得到根据为的直径，有，即，，则有，可知是的切线； 根据点是的中点，是的中点，可知，根据四边形内接于，可知，即有，结论得证； 先证得∽，则有，可解得，；在中，由勾股定理可得，解得，在和中，利用勾股定理来求即可． 本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，证得是圆的切线是解答本题的关键． 17.本小题分 洒水车是城市绿化的主力军如图，洒水车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物线数学兴趣小组成员为了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带，通过建立数学模型进行探索． 如图，建立平面直角坐标系，喷水口离地面竖直高度为米可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，喷出水的最大射程为米把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米竖直高度米，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的． 【问题解决】 直接写出点，的坐标； 求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与轴交点的坐标； 若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内，求的取值范围． 【答案】；  上边缘抛物线的解析式为；下边缘抛物线的解析式为；的坐标为    【解析】解：喷水口离地面竖直高度为米， ； 喷出水的最大射程为米， ； 上边缘抛物线的顶点为，且过点和， 所以设上边缘抛物线的顶点式为， 将，分别代入，得： ， 解得， 上边缘抛物线的解析式为：， 即， 由题意可得：设下边缘抛物线的解析式为， 将代入，得 ， 解得或与上边缘重合，舍去， 下边缘抛物线的解析式为：， 令，则， 即， 解得或不符合题意，舍去， 下边缘抛物线与轴交点的坐标为． 若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内， ， ，则， 将代入，得： 解得不符合题意，舍去或， 当时，点在上边缘抛物线上，此时， ． 直接根据题意得出点、的坐标即可； 先推导出上边缘抛物线的顶点为，且过点和，设上边缘抛物线的顶点式为，将，分别代入，求出上边缘抛物线的解析式为：，由下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点，设下边缘抛物线的解析式为，将代入，求出下边缘抛物线的解析式为，继而求出点的坐标即可； 先求出，则，将代入，解得不符合题意，舍去或，此时，则，即可解答； 本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 18.本小题分 结合图形，解答下列各题： 发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：≌． 探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长； 在的条件下求的长． 【解析】证明：将沿翻折到处，四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， 故≌； 解：四边形为矩形， ，，， 根据翻折可得：，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； 解：如图，延长，交于点， 根据解析可得：，，， ， ， ∽， ， ， ，， 在矩形中，， ∽，∽， ， ， ， 设， 则， ， ∽， ， ， ． 的长为． 利用证明≌即可； 设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； 延长，交于点，设，根据勾股定理求出，证明∽，设，则，然后对应边成比例即可求出结果． 本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到∽，∽． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（七） 数 学 学 科 （本试卷共7页，满分100分，考试时间：90分钟 ） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.随着人工智能时代的到来，某学校开设了涵盖人工智能技术的四门兴趣课程，分别为“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，甲、乙两名同学选择同一门课程的概率是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在点光源的照射下，一块面积为的三角形硬纸板记为平行于投影面时，形成的投影是若：：，则的面积是(    ) A. B. C. D. 5.小明和爸爸从家出发前往离家的图书馆，为响应“绿色出行”号召，小明骑自行车先出发，分钟后爸爸骑电动车出发，两人同时到达图书馆已知电动车的速度是自行车速度的倍，设自行车速度为，根据题意，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，用相同的实验装置分别加热质量相同的水和食用油，根据实验数据绘制了如图所示的温度随时间变化的图象，则加热时间为分钟时，水与食用油的温差为(    ) A. B. C. D. 7.我国古代数学著作算法统宗中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为(    ) A. B. C. D. 8.若点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了       度 10.某社区有一块锐角三角形草坪，示意图如图，米，且与的夹角为了方便居民通行，计划从点向边修一条小路作为步道，则步道的最短长度为      米 11.截至年月底，我国电动汽车充电基础设施枪总数达到万个某小区年安装了一批充电桩，其中慢充桩有个，快充桩的数量比慢充桩数量的倍还多个，则该小区安装了       用含的代数式表示个充电桩． 12.如图，正方形的边长为，连接，点为延长线上一点，，连接，过点作于点，分别交，于点，，则的长为        ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 14. 本小题分 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： 本次抽测了______名九年级学生， ______； 若该地区有万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ 在本次抽测的优秀学生中抽取名学生，其中有名男生若从所抽取的名学生中随机选取名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 15.本小题分 某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用，两种型号的无人机运送已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． 每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ 该公司决定使用台型无人机和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送，共有几种运送方案？并写出具体运送方案． 16.本小题分 如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，． 求证：是的切线； 求证：是等腰三角形； 若，，求的长． 17. 本小题分 洒水车是城市绿化的主力军如图，洒水车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物线数学兴趣小组成员为了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带，通过建立数学模型进行探索． 如图，建立平面直角坐标系，喷水口离地面竖直高度为米可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，喷出水的最大射程为米把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米竖直高度米，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的． 【问题解决】 直接写出点，的坐标； 求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与轴交点的坐标； 若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内，求的取值范围． 18.本小题分 结合图形，解答下列各题： 发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：≌． 探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长； 在的条件下求的长． Sc 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $