内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期九年级学情自测试卷（一）数学学科

绝密★启用前 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（一） 数 学 学 科 时间：40分钟 满分100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.财政部下达亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制将“亿”用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价元销售细心的小夏发现，降价后用元可以比降价前多购买袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 4.对于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点是和 D. 当时，随的增大而增大 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分。 5.在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数一根弹簧不挂物体时长，当所挂物体的质量为时，弹簧长，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为      ． 6.如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为       结果保留根号． 7.如图，菱形中，，面积为，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则______． 8.如图，在菱形中，，，分别是边，的中点，连接，，若，则的长为     ． 第6题图 第7题图 第8题图 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 计算：； 化简：． 10.本小题4分 卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同． 求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？ 若学校需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，至少要花多少钱？ 11.本小题4分 如图所示，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的平行线与的延长线相交于点． 求证：是的切线； 求证：∽； 当，时，求的长． 12.本小题分 如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点，连接，． 如图，求证：； 如图，在左侧作，延长分别交，于点，，当，时 求的面积； 证明：． 绝密★启用前 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（一） 数 学 学 科 评 分 标 准 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 答案 C C C B 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分。 9. 15 10.    11.    12.    三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.解：原式..................................................................3分 ....................................................................................................................................................5分 原式 ....................................................................................................................3分 .................................................................................................................................................5分 【考点解析】 根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质进行计算即可； 先把括号里的化成分母是的分式，先算括号里面的，再把被除数和除数的分子分解因式，除法化成乘法，然后化简即可． 本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质． 10.解：设一件种器材的价格为元，则一件种器材的价格为元， 元， .........................................................................................................................4分 解得， 经检验：是方程的解..............................................................................................6.分 ， 则购买一件种器材需元、一件种器材需元...............................7分 设购买器材件，总费用元， 根据题意得，，..........................................................................................9分 解得.......................................................................................................................................10分 .................................................................11分 ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最小值，为元， 则至少要花元...................................................................................................................14分 【考点解析】 设一件种器材的价格为元，则一件种器材的价格为元，根据题意，列出分式方程，求解即可； 设购买器材件，则器材件，总费用元，根据不等关系，列出不等式求出的取值范围，再根据题意，求出一次函数，利用函数的性质，求解即可． 本题考查一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 11.证明：如图，连接，    是的直径，  ，  平分，   ...............................................................................................................2分 ，  ，  ，   ........................................................................................................4分 ，  是半径，  是的切线；..................................................................................................................5分 证明：，  ，  ，  .........................................................................................................................................6分 四边形是圆内接四边形，  ，  ，  ，  ∽................................................................................................................................9分 解：是的直径，，，  ，  ，  平分，  ，   ........................................................................................................................12分 ，  ，  ，  ∽，  ，，即，  ..................................................................................................................................................14分 【考点解析】 先得出，进而得出，得出即可得出结论；  先说明，再推出，即可得出结论；  先求出，再推出，利用勾股定理求出的长，最后利用相似比即可得解． 12. 证明：正方形中，是对角线上的一个动点， ，， 在和中， ， ≌， ...........................................................................................................................5分 解：由知≌， ， 又， ， 又四边形为正方形， ， ， ， 是等腰三角形， 如图，过点作于点， 点是的中点， 又， ， 又， ， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：， .......................................................................10分 证明：延长分别交，于点，， ， 又， ， 四边形是正方形，是对角线， ， ∽， ， ， ， ，即，............................................................................................................12分 ， 由知是等腰三角形，， 平分， ， ．..............................................................................................................................14分 【考点解析】 根据正方形的性质证明≌，继而得证； 首先证明是等腰三角形，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到的长度，根据 ，得到的长度，根据勾股定理得到的长度，进而得到的面积； 首先证明∽，得到，根据，得到，进而得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，进而得到． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $