7.1 相交线 课件 -2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 新课引入 在之前的学习中，我们初步认识了相交线，知道相交是直线之间的一种基本位置关系. 本节我们借助直线相交所形成的角的位置关系和数量关系，进一步研究相交线. 观察上图，说明：平面内两条直线有哪些可能的位置关系？并再举其它的例子说明. 平面内两条直线的位置关系：平行或者相交. 合作探究 取两根木条，将它们钉在一起，在转动木条的过程中，它们所成的角的大小也在变化. 仔细观察在木条转动的过程中，这些角之间不变的关系. 木条在转动的过程中，观察到： 如右下图，∠α与∠β有一条公共边OD，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 下列各图中，∠α与∠β是邻补角的是( ) 显然，邻补角互补. 右下图中还有别的邻补角吗？ 合作探究 如右图，∠α与∠θ有一个公共顶点O，∠α的两边分别是∠θ的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 右上图中， 由于 ∠α与∠β互补，∠θ与∠β互补 所以 ∠α=∠θ(同角的补角相等) 对顶角相等. 下图中，∠1与∠2互为对顶角的是( ) 右上图中，若∠α=40°，求∠β与∠θ. 邻补角共顶点，对顶角共顶点. 如图是一把剪刀的简笔画，其中∠1= 40°，则∠2= ，其理由是 . 小试牛刀 1. 直线AB、CD相交于点O，如右图. 在下列情形下分别求各个角的度数： (1)若∠1+∠3=80°； (2)若∠1∶∠2=2∶7. 2. 如图，直线AB、CD、EF相交于点O. (1) 写出∠AOC、∠BOE的邻补角； (2) 写出∠DOA、∠EOC的对顶角； (3) 如果∠AOC=50°，求∠BOD、∠COB的度数. 3. 如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC. (1) 若∠EOC=70°，求∠BOD的度数； (2) 若∠EOC:∠EOD=2:3，求∠BOD的度数. 小试牛刀 4. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=75°， ∠1=25°，则∠2= . 5. 如图，A、O、B三点共线，且∠AOC=60°， 若∠BOD:∠COD=1:2，则∠BOD= . 合作探究 在转动木条的模型(相交线)中，固定其中一根木条，转动另一根木条. 在转动过程中，∠α的大小随之变化. 当∠α=90°时，这两根木条垂直. 一般地，当两条直线a、b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，称a与b互相垂直，记作"a⊥b". 两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 右图中，AB⊥CD，垂足为O. 举例说明，日常生活中两条直线互相垂直的情形. 合作探究 垂线的判定： ∵ ∠AOC=90° ∴ AB⊥CD. 垂线的性质： ∵ AB⊥CD ∴ ∠AOC=90° 1. 在平面内，两条直线垂直和两条直线相交是什么关系？能否认为在平面内两条直线有三种位置关系：平行、相交和垂直？ 2. 两条射线或者是线段垂直，指的是射线或者是线段所在的直线互相垂直. 垂直属于相交的一种情形 小试牛刀 1. 如图，直线AB、CD相交于点O. (1) 若AB⊥CD，则∠AOC= ； (2) 若∠AOC=90°，则直线AB与CD的位置关系是 ； (3) 若∠AOC=∠BOC，则直线AB与CD的位置关系是 . 2. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OD，∠1=25°，求∠2和∠BOE. 再问：若∠1=α，则∠2和∠BOE分别是多少？ 小试牛刀 3. 如图，AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC. (1) 若∠AOF=68°，求∠COE的度数； (2) 若∠AOF:∠COE=4:3，求∠EOF的度数. 4. 如图，AB、CD相交于点O，OE为∠DOB的平分线， MO⊥EO，NO⊥DO，∠AOC=34°，求∠MON. 5. 如图，AB、CD相交于点O，OC为∠AOE的平分线. (1) 若∠BOD=34°，求∠AOE的度数； (2) 过点O作OF⊥OE，若∠AOE:∠BOE=2:3，求∠BOF的度数. 合作探究 如何用三角板作已知直线的垂线？ 在平面内，经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线. 由此得到一个基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 过点P画出射线AB或者是线段AB的垂线. 画一条射线或线段的垂线 就是画它们所在直线的垂线 小试牛刀 1. 已知△ABC如下，过点A作BC的垂线段AD. 垂线段指的是点与垂足之间的线段. 2. 已知△ABC如右，∠ACB=90°，那么 AC是点 到 的垂线段； BC是点 到 的垂线段. 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 合作探究 l P 用数学语言表述：假设点A是直线l上的一动点，随着点A在直线l上移动，线段PA的长度随之发生变化. 点A在什么位置时，线段PA最短？ 右图中，PO⊥l于点O. 观察可知，随着点A逐渐靠近点O然后再远离点O的过程中， PA的长度先减小后增大 当PA⊥l即点A重合于点O时，PA最小. 合作探究 点P是直线l外一点，点A是直线l上的动点. PO⊥l于点O (1) OA越小，PA越小. 反之亦然； (2) PO最小. 有结论： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 回到刚才挖引水渠的问题 过点P作PO⊥l于点O，则PO即为挖引水渠的位置. 点O是唯一的. 思考：为什么？ 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 小试牛刀 1. 如图，下列说法正确的是( ) A. 线段AB叫做点B到直线AC的距离 B. 线段AB的长度叫做点A到直线BC的距离 C. 线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离 D. 线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离 2. 如图，点A到BC的距离是线段 的长， BC的长是点 到直线 的距离. 3. 如图，在某村村头P处有一条河流，为方便出行，村民想在两岸搭起一座简易木桥，则在 处搭建最短. 小试牛刀 4. 如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是 . 选小道 则最慢到达公路MN. 5. 如图，已知AB⊥BC，垂足为B，AB=3，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是( ) A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，AB⊥l，CB⊥l，B为垂足，那么A、B、C三点在同一条直线上吗？请说明理由. 合作探究 前面研究了两条直线相交的情形. 接下来，进一步研究同一平面内一条直线与两条直线同时相交的情形. 直线l与直线a、b同时相交，称直线l为截线. 直线a、b相交与否均可. 右下图(三线八角)中，直线EF同时与直线AB、CE相交. ∠1和∠5有什么样的位置关系？ (1) 顶点在截线上 (2) 在截线的同一侧 (3) 在另两条直线之间 具有这样位置关系的两个角叫作同位角. 右图中，除了∠1和∠5是同位角外，还有哪些角是同位角？共有几组同位角？ 合作探究 继续研究右图. ∠3和∠5有什么样的位置关系？ (1) 顶点在截线上 (2) 在截线的两侧 (3) 在另两条直线之间 具有这样位置关系的两个角叫作内错角. 右图中，除了∠3和∠5是内错角外，还有哪些角是内错角？共有几组内错角？ 右图中. ∠4和∠5有什么样的位置关系？ (1) 顶点在截线上 (2) 在截线的同一侧 (3) 在另两条直线同一侧 具有这样位置关系的两个角叫作同旁内角. 右图中，除了∠4和∠5是同旁内角外，同旁内角还有没有？共有几组同旁内角？ 合作探究 讨论一下：邻补角、对顶角、同位角、内错角和同旁内角之间的区别和联系. 邻补角 对顶角 同位角 内错角 同旁内角 共同点 不 同 点 大小关系 顶点 情形 组数 三线八角 同位角 内错角 同旁内角 1. 下列图形中，∠1和∠2是同位角的有 . 小试牛刀 2. 如图，与∠1是内错角的是 . 3. 下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的有 . 合作探究 如图，直线DE、BC被直线AB所截. (1) ∠B和∠1、∠B和∠2、∠B和∠3各是什么位置关系的角？ (2) 如果∠B=∠3，那么∠B和∠1相等吗？∠B和∠2互补吗？为什么？ 同位角不一定相等，内错角也不一定相等，同旁内角不一定互补. 以下： (1) 同位角相等 (2) 内错角相等 (3) 同旁内角互补 有结论： (1)⇒(2)(3) (2)⇒(1)(3) (3)⇒(1)(2) 小试牛刀 1. 如图，∠B与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠C进行同样的讨论. 2. 如图，下列说法错误的是（     ） A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠3与∠1是同旁内角 C．∠2与∠3是内错角 D．∠1与∠2是同位角 3．如图，∠1 和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1 和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？ 再 见 Lavf57.25.100 Lavf57.25.100 $