9.1直线与圆综合 课件——2026届高考数学二轮复习

专题九 解析几何 【新高考二轮复习专题】 专题9.1 直线与圆综合 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 直线与圆综合 直线与直线的方程 圆与圆的方程 直线与圆综合 曲线与方程 直线的方程 两条直线的位置关系 圆的方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 圆的弦长问题 圆的切线问题 动点轨迹方程 新定义曲线问题 考点概览 考点一 直线与直线方程 20-25 年真题统计 具体考查方式 2020年全国丙卷文科第8题 点到直线的距离公式 考频统计 直线与直线方程 需注意直线的斜率与倾斜角之间的关系. “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 直线方程有5种表示形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式. 需明确每种表达形式的方程与适用范围. 考点一 直线与直线方程 知识点拨 两条直线位置关系 两条直线的位置关系：平行、垂直、相交. 两点间距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离. 点，． 点到直线：的距离. 两条平行直线：与：间的距离. 考点一 直线与直线方程 知识点拨 ，即，斜率，倾斜角为， 所求直线经过，当所求直线垂直轴时，满足条件，直线方程为 当所求直线不垂直轴时：设直线方程为， 即，， 解得：，直线方程为， 综上：直线方程为或．故选：． 过点且与直线所成角为的直线方程为(    ) A. B. C. D. 或 考点一 直线与直线方程 重点题型 因为直线和直线平行，所以，解得或，当时， 两直线方程分别为，，两直线平行，符合题意，当时，两直线方程分别为，，两直线重合，不符合题意，故选A． 若直线和直线平行，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 考点一 直线与直线方程 重点题型 因为点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为， 由反射光线的性质可知点、均在所在直线上，所以所在直线方程为，即．故选：． 光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，又 被轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是(    ) A. B. C. D. 考点一 直线与直线方程 重点题型 解题通法 假设两条直线的方程分别为： 1.2. 平行：如果 则两条直线平行.这意味着两条直线的斜率相同，但它们在轴上的截距不同. 相交：如果则两条直线相交.这意味着两条直线的斜率不同，它们会在一个点上相交. 重合：如果则两条直线重合.这意味着两条直线实际上是同一条直线，只是可能被不同的常数缩放. 垂直：如果则两条直线垂直.这意味着两条直线的斜率存在时互为负倒数. 考点一 直线与直线方程 归纳总结 考点二 圆与圆的方程 20-25 年真题统计 具体考查方式 2025年北京卷第3题 由标准方程确定圆心和半径 2022年新课标全国I卷第14题 圆的公共弦、公切线 2022年全国甲卷文科第14题 圆的方程求解 2020年全国甲卷文科第8题 圆的标准方程和点到直线距离公式的应用 2020年全国甲卷理科第5题 圆的标准方程和点到直线距离公式的应用 2020年北京卷第5题 圆心的轨迹方程 考频统计 圆与圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 点与圆的位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内. 直线与圆的位置关系：相离、相交、相切 几何观点（圆心到直线的距离与半径比较）与方程观点（联立直线与圆的方程，消元，判别式与0比较）. 圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含 量的关系：两圆圆心的距离与两圆半径的关系. 考点二 圆与圆的方程 知识点拨 由题意得，即， 则其圆心坐标为， 则圆心到直线的距离为 ．故选：C. 求圆的圆心到的距离(    ) A. B. C. D. 考点二 圆与圆的方程 重点题型 设圆心 则， 解得．从而得的方程为． 设点在直线上，点和均在上，则的 方程 ． 考点二 圆与圆的方程 重点题型 ，故圆心，记，设切点为， ，，故， ， ， ． 故选B． 过点与圆相切的两条直线的夹角为则(    ) A. B. C. D. 考点二 圆与圆的方程 重点题型 设，则， 所以，即点在以原点为圆心，为半径的圆上，又因为点在以点为圆心，为半径的圆上，所以点为两圆的公共点，因此，解得，故选D． 平面直角坐标系中，已知点其中，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点二 圆与圆的方程 重点题型 根据题意，，则有，解可得：或，又由，则或，即直线与圆：的交点为和；又由直线被圆：截得的弦长为，则有，解可得，又由，则，则圆的方程为，其圆心为，半径，圆的方程为，即，其圆心为，半径；两圆圆心距，则有，则两圆相交．故选：． 已知直线被圆：截得的弦长为，且圆的方程为，则圆与圆的位置关系为(    ) A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切 考点二 圆与圆的方程 重点题型 解题通法 以，为直径端点的圆的方程为 . 考点二 圆与圆的方程 归纳总结 考点三 直线与圆综合 20-25 年真题统计 具体考查方式 2025全国一卷第7题 已知圆上到直线的距离为1的点的个数，求圆半径的取值范围 2025年天津卷第12题 已知直线与坐标轴相交线段和与圆相交线段之间的长度关系，求圆的半径 2024年全国甲卷理科第12题 直线与圆的位置关系中的最值问题 2024年全国甲卷文科第10题 直线与圆的交点坐标、弦长 2023年新课标全国I卷第6题 圆的切点坐标、切线长 2023年全国甲卷文科第9题 直线与圆的交点坐标、弦长 2023年全国甲卷理科第8题 直线与圆的交点坐标、弦长 2023年全国乙卷文科第11题 圆的标准方程和点到直线距离公式的应用 2022年新课标全国II卷第15题 直线与圆的位置关系、直线关于直线的对称直线 2022年北京卷第3题 直线过圆心求参数 2022年天津卷第12题 直线与圆相交弦长 考频统计 考点三 直线与圆综合 20-25 年真题统计 具体考查方式 2021年新课标全国I卷第11题 直线与圆的位置关系、点到圆上点的距离最值 2021年新课标全国II卷第11题 直线与圆的位置关系 2021年北京卷第9题 直线与圆的交点弦长 2021年天津卷第11题 直线与圆的交点弦长 2020年全国乙卷文科第6题 直线与圆的交点弦长 2020年全国乙卷理科第11题 圆的切点弦及方程的应用 2020年全国丙卷理科第9题 直线与圆相切，求直线方程 2020年天津卷第12题 直线与圆的交点弦长 2020年浙江卷第13题 直线与两个圆相切，求参数 考频统计 直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形，弦长 . (2)代数法：设直线与圆相交于点，，代入，消去，得关于的一元二次方程，则可求. 考点三 直线与圆综合 知识点拨 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离，然后令，进而求出. (2)代数法：设切线方程为，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式进而求得. 注意验证斜率不存在的情况． 考点三 直线与圆综合 知识点拨 由题可得圆心为，半径为，则圆心到直线的距离， 弦长为．故当时，弦长取得最小值，得，解得．故选：． 已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为，则常数(    ) A. B. C. D. 考点三 直线与圆综合 重点题型 圆心到直线的距离为，圆的半径为， 设，则，， ， 当取得最小值时，取得最小值，取得最小值， 当取得最小值时，三角形周长取得最小值， 最小周长为．故选：． 点是直线上的动点，，是圆：的两条切线，，是切点，则三角形周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 考点三 直线与圆综合 重点题型 ，，过点、的直线方程为，即， 圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离， 点到直线的距离的范围为， ，，，点到直线的距离小于， 但不一定大于，故A正确，B错误； 已知点在圆上，点，，则(    ) A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 考点三 直线与圆综合 重点题型 如图，当过点的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大， 此时， ，故CD正确． 故选ACD． 考点三 直线与圆综合 已知点在圆上，点，，则(    ) A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 重点题型 由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时，圆上 有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有 三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 考点三 直线与圆综合 若圆上到直线的距离为1 的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 重点题型 因为直线与轴交于，与轴交于， 所以，所以， 圆的半径为， 圆心到直线的距离为 ， 故，解得； 故答案为：2. 考点三 直线与圆综合 ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 重点题型 解题通法 判断直线与圆的位置关系： 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． 圆的切线方程常用结论 (1)过圆上一点的圆的切线方程为. (2)过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为. 考点三 直线与圆综合 归纳总结 考点四 曲线与方程 20-25 年真题统计 具体考查方式 2024年新课标全国I卷第11题 给出曲线上点满足的条件，得到曲线方程 2024年新课标全国II卷第5题 求动点轨迹方程 2020年全国丙卷文科第6题 求动点轨迹方程 2020年浙江卷第6题 与椭圆、双曲线有关的轨迹问题 考频统计 动点轨迹方程 求点轨迹方程的步骤： (1)建立直角坐标系 (2)设点：将所求点坐标设为，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）. (3)列式：从已知条件中发掘的关系，列出方程. (4)化简：将方程进行变形化简，并求出的范围. 新定义曲线问题 根据题目给出的描述得到曲线，得到的曲线往往是陌生的图形，需要具体问题具体分析. 考点四 曲线与方程 知识点拨 表示动点与两个定点，的距离之和，而两个定点，的距离之和等于． 而动点满足， 则动点的轨迹是线段．故选B． 已知动点满足，则动点的轨迹是(    ) A. 双曲线 B. 线段 C. 抛物线 D. 椭圆 考点四 曲线与方程 重点题型 点，． ，又动点满足， 点的轨迹方程射线：．故选：． 已知点，，动点满足，则点的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 考点四 曲线与方程 重点题型 对于．设点为曲线上任意一点，则由题意知：，因此由曲线过坐标原点得：，因此，故A正确； 对于由选项A知：曲线的方程为， 因此将代入曲线的方程得：，所以点在曲线上，故B正确； 设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为，则 B. 点在上 C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D. 当点在上时， 考点四 曲线与方程 重点题型 对于因为，所以由得：， 因此令，则． 因为，，所以曲线在点左侧附近单调递减， 因此必存在一个很小的正数，当时，， 即必存在一个很小的正数，当时，，故C错误； 对于因为当点在上时，，而曲线上的点满足横坐标大于，所以得：，故D正确． 故选：． 考点四 曲线与方程 重点题型 对于，先求曲线方程，设曲线上一点， 由已知，即， 若点在曲线上，则也满足曲线方程， 所以曲线关于直线对称，故 A正确． 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则(    ) A. 曲线关于直线对称 B. 曲线经过点，其方程为 C. 曲线围成的图形面积小于 D. 存在，使得曲线上有个整点即横、纵坐标均为整数的点 考点四 曲线与方程 重点题型 对于，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，故B错误． 对于，，则， 所以在以圆心为，半径为的圆内，结合图形知道，故 C正确． 对于，由于，所以 由曲线的对称性可知，要使曲线上有个整点， 则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，， 此时整点都在曲线上，其有个整点，不满足题意 当整点为时，，此时整点均在曲线上，且均不在曲线上，其有个整点，满足题意，故D正确． 故选：． 考点四 曲线与方程 重点题型 解题通法 从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程 常见的曲线特征及要素有： 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角→圆：若，则点在以为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标，半径 考点四 曲线与方程 归纳总结 解题通法 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和，定点距离 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离 考点四 曲线与方程 归纳总结 博学深思 未来可期 $