湖南邵阳市邵东市第四中学2025-2026学年高二下学期数学期中考试试卷

**基本信息** 这份高二数学期中卷聚焦概率统计与排列组合核心内容，融入杨辉三角文化素材及汽车配件质量、快递取件人数等现实情境，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|相关系数、排列组合、正态分布|散点图分析结合直观想象，基础概念辨析| |多选题|3/18|事件概率、排列应用|条件概率与对立事件结合，考察逻辑推理| |填空题|3/15|二项式系数、分配问题|教师支教分配体现分类讨论思想| |解答题|5/77|杨辉三角证明、统计案例|19题杨辉三角性质证明传承数学文化，17题频率分布直方图与二项分布结合实际应用|

2026年邵东四中高二数学期中考试卷 考试时间：120分钟；满分 150分 第I卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分。） 1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 2．口袋中装有4个白球和5个红球，每个球编有不同的号码，从中取出2个球，则至少有1个白球的取法数为（   ） A．26 B．30 C．32 D．52 3．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．40个 B．48个 C．52个 D．64个 4．已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 5．二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 6．已知小明和小红参加学校组织的兴趣小组活动，已知两人同时报名围棋兴趣小组的概率为，且在小明已报名围棋兴趣小组的条件下，小红报名围棋兴趣小组的概率为，则小明报名围棋兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 7．现安排甲、乙、丙、丁、戊位数学老师负责学校校本课程的授课任务，学校提供数独、数学建模、数学史、解题逻辑四门课程供学生选择，每位老师仅负责一门课程，每门课程至少有位老师负责，已知甲、乙不能讲授数独但能讲授另外三门课程，丙、丁、戊能讲授这四门课程中的任意一门，则不同安排方案的种数是（    ） A． B． C． D． 8．下列有关说法正确的是（    ） A．已知随机变量服从二项分布，若，则 B．记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强 C．设随机变量ξ服从正态分布，若，则 D．一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。） 9．设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．下列选项正确的是（    ） A．从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法 B．5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法 C．3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法 D．10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法 11．下列结论正确的有（    ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则 C．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．如果随机变量服从，且，那么是上的增函数 第II卷（非选择题） 三、填空题填空题（共3小题，每小题5分，共15分。） 12．的二项展开式中，的系数为____________. 13．某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______. 14．某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是______. 四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知且满足各项的二项式系数之和为256． (1)求的值； (2)求的值． 16（15分）．一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为. (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率. 17（15分）．某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 18．（17分）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 19．（17分）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式其展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：   (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 《2025-2026学年度高中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A C A D D D C ABC 题号 10 11 答案 BC AD 1．B 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 2．A 【详解】至少有1个白球为2个白球或1个白球， 所以至少有1个白球的取法数为. 3．C 【分析】分0，2，4作为尾数三种情况讨论，结合排列知识可得答案. 【详解】三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4 若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为； 若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种； 若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种. 则满足题意的偶数共有：种.故选：C 4．A 【分析】利用正态分布曲线对称性求解即可. 【详解】根据正态分布曲线可知图象关于对称，则． 5．D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 6．D 【分析】本题可根据条件概率公式求解小明报名围棋兴趣小组的概率. 【详解】记小明，小红报名围棋兴趣小组分别为事件，则， 故． 故选：D． 7．D 【分析】对讲授数独课程的教师人数进行分类讨论，结合分组分配法求解即可. 【详解】对讲授数独课程的教师人数进行分类讨论， ①若只有一位教师讲授数独课程，只能是丙、丁、戊中的一位，有种选择， 再将剩余的四位老师分为三组，每组人数分别为、、， 再将这三组老师分配给三门课程，不同的分配方法种数为种； ②若有两位老师讲授数独课程，可从丙、丁、戊中三位老师中选择两位，有种选择， 然后再将剩余的三位老师分配给三门课程，则不同的分配方法种数为种. 综上所述，不同的分配方法种数为种. 8．C 【详解】A选项，，，故． B选项，记两个变量的样本相关系数为，若越接近1，线性相关程度越强． C选项，根据正态分布密度函数对称性，由得． D选项，，该组数据的第60百分位数为5． 9．ABC 【分析】由对立事件概率可得A；利用条件概率公式可求B；根据可得C；由全概率公式可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，根据乘法公式得，，故C正确； 由全概率公式可得，，故D错误， 故选：ABC． 10．BC 【分析】根据对立事件法可判断A；根据捆绑法可判断B，根据插空法可判断C；根据隔板法可判断D. 【详解】对于A：从8人中选2人，总选法为，全是男生的选法为， 因此至少1名女生的选法为，A错误； 对于B：将甲乙看作1个整体，共4个元素全排列，再乘甲乙内部的排列： ，B正确； 对于C：先排3名男生，全排列得，3名男生共形成4个空位， 从4个空位中选3个排入3名女生，得，总排法为，C正确； 对于D：个相同元素分给个对象、每人至少1个，公式为，代入得，D错误. 11．AD 【详解】对于选项A：因为随机变量，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为随机变量，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强；反之线性相关性越弱，故C错误； 对于选项D：由正态曲线的性质可知，是上的增函数，故D正确． 12． 【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 13．150 【详解】先将5位教师分成3组，且每组至少1人，一共有2种分组方式： 其中1、1、3分配方式有种； 1、2、2分组方式有种； 再将分好组的3组教师分配到3所乡村中学，其分法有种， 所以分配方案的总数为 14． 【分析】利用条件概率公式与全概率公式计算即可得. 【详解】设事件表示预报为雨天，事件表示实际为雨天， 则由题意可得，， ， 则， 解得，则，故， 故. 15．(1)448 (2)255 【分析】（1）先由各项的二项式系数之和为256．可得，求得，再利用通项求解即可； （2）利用赋值法令，得，再令，得，再减去即可． 【详解】（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以， 二项式展开式的通项为， 所以； （2）令，得， 令，得， 所以． 16．(1) (2) 【分析】（1）设A=“这位教授迟到”；B1=“乘飞机”；B2=“乘动车”；B3=“乘非机动车”，根据全概率公式，即可求得答案； （2）由题意可知所求概率为，根据贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】（1）设“这位教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“乘非机动车”， 则， 由全概率公式得：. （2）由题意可知所求概率为， 由贝叶斯公式得：． 17．(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）由频率分布直方图可得； （2）由（1）结合频率分布直方图可求平均数； （3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题可得，则随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，据此可得答案. 【详解】（1）由题知，，解得. （2）设为样本数据的平均数， 则， 故这组样本数据的平均数为76.5. （3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品， 所抽取的产品为优秀品的概率，由题知， 随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， ∴X的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量X的数学期望. 18．(1)；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 (2)分布列见解析；期望：1.8 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1），， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 19．(1) (2)存在，且这三个数为，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用题中公式可计算出图中第行的各数之和； （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件，利用题中公式可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出结论； （3）证明出当且、时，，然后利用题中性质可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， （3）因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $