精品解析：湖南省邵东市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

邵东三中2025年上学期高二年级期中考试数学试题卷 时量：150分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数乘法结合共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意，所以. 故选：B. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答. 【详解】直线的斜率为，而直线与直线垂直， 于是得，而，则， 所以. 故选：C 5. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温/℃ 18 13 10 用电量/度 24 34 38 64 若经验回归方程为，则当气温为时，预测用电量约为（ ） A. 68度 B. 52度 C. 12度 D. 28度 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定数据，求出样本的中心点，进而求出预测值. 【详解】由表格知 根据经验回归直线必过，得， 因此经验回归方程为，当时，． 所以当气温为时，预测用电量约为68度. 故选：A 6. 从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出和，再利用条件概率的公式求解. 【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球. 从而，， 故. 故选：D 7. 在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线半焦距为c，求出，由给定的正三角形建立等量关系，结合计算作答. 【详解】设双曲线半焦距为c，则，而轴，由得，从而有， 而是正三角形，即有，则，整理得， 因此有，而，解得， 所以C的离心率为. 故选：A 8. 已知是自然对数的底数，函数，实数满足不等式，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由解析式易得在R上递减、为奇函数，可得，再结合指数函数、对数函数性质及作差法判断各项的正误. 【详解】由在R上递减，且，即为奇函数， 又，则， 所以，A对； ，但的大小、符号不定，无法确定大小，B错； 由的符号不定，故不一定有意义，C错； 由为偶函数，在上递减，在上递增，的符号不定，故大小不定，D错. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（ ） （附：若，则，.) A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的相关概念以及对称性，结合题意，可得答案. 【详解】由题意易知，，故A正确，B错误； 由，则，故C正确； 由，则， 即，故D错误. 故选：AC. 10. 在 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式的二项式系数和是128 B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 的系数是 D. 展开式中的有理项共有3项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可判断CD，由组合数的性质即可判断B,由二项式系数和可判断A. 【详解】对于A,二项式系数和为，故A正确， 对于B，由于 ,所以第四项与第五项的二项式系数均为最大，故B错误， 对于C,的通项为，令， 所以的系数是，故C正确， 当时，为整数，所以有理项有4项，故D错误， 故选：AC 11. 已知圆，则下列命题正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 直线与圆相交所得的弦长为8 C. 圆与圆有三条公切线. D. 圆上恰有三个点到直线的距离为，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由圆，可化为， 可得圆心，半径为，所以A正确； 对于B中，由圆心到直线的距离为， 则相交弦长为，所以B正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径， 可得，且，则， 所以圆与圆相交，可得两圆有两条公共切线，所以C错误； 对于D中，由圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离为，即， 解得或，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的图象恒过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】令可求出过定点的横坐标，代入函数中可求出其纵坐标，从而可求得结果. 【详解】令，解得，又， 所以函数（且）的图象恒过定点. 故答案为： 13. 已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可. 【详解】抛物线方程，则焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为5， 所以，解得：，代入， 则 所以点P到x轴的距离为． 故答案为：. 14. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小： （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解. （2）利用三角形面积公式与余弦定理依次求得，从而得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理得， 又因为， 所以， 所以，所以， 所以的周长为. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面平面ABCD，． （1）证明：平面PCD； （2）若，E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为平面平面ABCD，， 且平面平面，平面， 可得平面ABCD， 由平面ABCD，则， 因为ABCD为正方形，则， 且，平面PCD， 所以平面PCD. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面ABCD，进而可得，，结合线面垂直的性质定理分析证明； （2）建系标点，求平面ABE的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：平面ABCD，且ABCD为正方形， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意可得：， 则， 设平面ABE的法向量为，则， 令，则，可得， 且， 所以直线PC与平面ABE所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分类讨论即可根据导函数的正负，即可求解单调性得解. 【小问1详解】 当时，，则， 故，， 故切线方程为，即， 【小问2详解】 且， 当时，，的单调增区间为，； 当时， 当时，，当时，， 所以的单调减区间为，单调增区间为，； 当时，，所以的单调减区间为， 18. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】根据离心率的值和定义可以求出之间的关系式，待定系数法设出椭圆方程后把已知点代入求解即可. 设出直线方程后，联立直线和椭圆方程，消元化简后，可得，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，的面积可用直线斜率进行表达，通过换元转化为一元二次函数，求出最值即可. 【小问1详解】 椭圆的离心率， 则，即， 所以，椭圆方程为. 将点代入方程得， 故所求方程为. 【小问2详解】 点在椭圆内，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得. 设，则. . 点到的距离. 令，则则. 因为，所以当时，是所求最大值. 19. 数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，...如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列 （1）已知数列满足 （i）求，· （ii）证明：是一阶等比数列； （2）已知数列为二阶等比数列，的前5项分别为1，，求 【答案】（1）（i），；（ii）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】 （1）（i）由列举法，结合题意，可得答案；（ii）根据递推公式，结合等比数列的定义，可得答案； （2）由题意分别写出数列的前几项，根据等比数列的通项以及求和公式，结合累加法，可得答案. 【小问1详解】 （i）由，易得， 由一阶差数列的定义得： ， （ii）证明：因为，所以当时有， 所以，即 即，又因为， 故是以1为首项，2为公比的等比数列，即是一阶等比数列. 【小问2详解】 由题意的二阶差数列为等比数列，设公比为q， 由的前5项分别为1，， 则，，，， 即，，，可得，所以， 由，，，， 则，易知满足上式， 同理可得，易知满足上式， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵东三中2025年上学期高二年级期中考试数学试题卷 时量：150分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温/℃ 18 13 10 用电量/度 24 34 38 64 若经验回归方程为，则当气温为时，预测用电量约为（ ） A. 68度 B. 52度 C. 12度 D. 28度 6. 从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是自然对数的底数，函数，实数满足不等式，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（ ） （附：若，则，.) A. B. C. D. 10. 在 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式的二项式系数和是128 B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 的系数是 D. 展开式中的有理项共有3项 11. 已知圆，则下列命题正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 直线与圆相交所得的弦长为8 C. 圆与圆有三条公切线. D. 圆上恰有三个点到直线的距离为，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的图象恒过定点________. 13. 已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为________． 14. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小： （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面平面ABCD，． （1）证明：平面PCD； （2）若，E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值． 17. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 18. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 19. 数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，...如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列 （1）已知数列满足 （i）求，· （ii）证明：是一阶等比数列； （2）已知数列为二阶等比数列，的前5项分别为1，，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $