精品解析：安徽合肥市第八中学2025-2026学年高三第二学期数学强化训练3

合肥市第八中学2025-2026学年第二学期强化训练3 高三数学试卷 命题人：王仰光 王四一 审题人：王四一 考试说明：1.试卷分值：150分；考试时间：120分钟； 2.所有答案均要答在答题卷上，否则无效.考试结束后只交答题卷. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 在等比数列中，，是方程的两个根，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 6或12 4. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 点G，O分别是 的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A. 6 B. 5 C. 7 D. 3 7. 已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线 的焦点为 ，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某研究所研究耕种深度 （单位：）与水稻每公顷产量 （单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量 与耕种深度 的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 每公顷产量与耕种深度呈负相关 B. 耕种深度的平均数为12 C. 每公顷产量的平均数为7.8 D. 10. 下列关于三次函数叙述正确的是（ ） A. 函数的图象一定是中心对称图形 B. 函数可能只有一个极值点 C. 当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点 D. 当时，则过点的切线可能有一条或者三条 11. 已知圆，圆，直线，直线 与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A. 若时，圆与圆有两条公切线 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 13. 高等数学中对于一类反三角函数（如：，等）的求导过程如下： ，，两边对x求导得：， 由于，代入上式可得：，即 请仿照上述方法，写出在 处的切线斜率＝______. 14. 已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中A，B，C，且），且空间向量为该平面的一个法向量. （1）求原点O到平面：的距离； （2）根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并利用法向量和投影向量的相关知识证明. 16. 为数列的前项和，已知. （1）设，证明：，并求； （2）证明：. 17. 某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章. （1）记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； （2）若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 18. 已知 为坐标原点，是椭圆的左、右焦点， 的离心率为，点 是 上一点，的最小值为. （1）求椭圆 的方程； （2）已知 是椭圆 的左、右顶点，不与 轴平行或重合的直线 交椭圆 于两点，记直线 的斜率为，直线的斜率为，且. ①证明：直线 过定点； ②设的面积为 ，求 的最大值. 19. 已知函数． （1）当 时， （I）求处的切线方程； （II）判断的单调性，并给出证明； （2）若恒成立，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市第八中学2025-2026学年第二学期强化训练3 高三数学试卷 命题人：王仰光 王四一 审题人：王四一 考试说明：1.试卷分值：150分；考试时间：120分钟； 2.所有答案均要答在答题卷上，否则无效.考试结束后只交答题卷. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到 ，进而根据补集和交集求出答案. 【详解】或， ，故. 故选：A 2. 复数 满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先待定结合复数相等求得，结合模长公式即可求解. 【详解】由题意不妨设，所以， 所以，解得，所以. 故选：C. 3. 在等比数列中，，是方程的两个根，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 6或12 【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以， 在等比数列中，有， 所以，所以或， 所以或． 4. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图像求出函数的解析式，再由三角函数的变换过程求解即可 【详解】由图知：且，则，故， 则， 由，则，， 所以，， 又，故， 综上，， 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍得到，再向左平移个单位得到， 故选：B 5. 甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用分组分配法、分步计数求活动安排的方法数，最后运用古典概率模型概率公式即得. 【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总方法数为， 因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在三项活动中选择， 其方法数为. 故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为． 故选:C． 6. 点G，O分别是 的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A. 6 B. 5 C. 7 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】延长交 于点 ，过点 作于点 ，作 于点 .将用，表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交 于点 ，过点 作于点 ，作 于点 . 因点分别是 的重心和外心，则 ，，， 则 于是 即得. 又由和，可得 整理得解得 因，则 即边 的长为6. 7. 已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线 的焦点为 ，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点 ，使得恒成立，转化为，当且仅当在一条直线上时，取得最小值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为， 又由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径 ， 设定点，满足成立，且 即恒成立， 其中，代入两边平方可得： ，解得， 所以定点 满足恒成立， 可得， 如图所示，当且仅当在一条直线上时， 此时取得最小值， 即， 设，满足， 所以， ， 当 时，等号成立， 故选：C. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将所求转化为三点共线时，线段的长的问题，结合抛物线方程即可求解. 8. 斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式推导出，从而求出 ，再推导出即可得解.. 【详解】因为，，…，，， 以上各式相加得，， 化简得， 由，即， 所以，解得； 因为， 所以，，，， 所以 . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某研究所研究耕种深度 （单位：）与水稻每公顷产量 （单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量 与耕种深度 的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 每公顷产量与耕种深度呈负相关 B. 耕种深度的平均数为12 C. 每公顷产量的平均数为7.8 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线性回归方程的概念即可判断A；求出即可判断BC；将点代入方程求出即可判断D. 【详解】A：对于，，所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A错误； B：由题意知，，故B正确； C：由题意知，，故C错误； D：将点代入方程， 得，解得，故D正确. 故选：BD 10. 下列关于三次函数叙述正确的是（ ） A. 函数的图象一定是中心对称图形 B. 函数可能只有一个极值点 C. 当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点 D. 当时，则过点的切线可能有一条或者三条 【答案】AC 【解析】 【分析】根据为定值可判断A的正误，求出结合判别式可判断B的正误，求出切线方程，结合构建方程判断其解后可判断C的正误，再将代入切线方程后判断解的个数后可得D的正误. 【详解】对于A， ， 故为定值，故函数的图象一定是中心对称图形. 对于B，， 若有极值点，则有变号零点，而的图像为抛物线， 故，故有两个变号零点， 故有两个极值点，故B错误. 对于C，在处的切线方程为， 令， 则，当时，， 所以， 因为，故，不妨设 ， 若，则当或时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 而，故， 而 时，，故有两个不同的零点， 故的图像与切线有且只有两个不同交点， 同理可得当时，故的图象与切线有且只有两个不同的交点，故C正确. 对于D，过点的切线的切点为， 由（2）的切线方程可得， 故， 整理得到：， 故或， 下面考虑的解， 整理得到：， ， 而， 故方程有且只有一个异于的实数根， 过点的切线有且只有两条，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛： （1）判断函数的图象是否关于对称，可检验是否恒成立； （2）切线问题的核心是切点的横坐标，切线条数问题可转化为关于切点横坐标的方程的解的个数问题. 11. 已知圆，圆，直线，直线 与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A. 若时，圆与圆有两条公切线 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】确定两圆位置关系判断A；两圆方程相减求出公共弦所在直线方程判断B；求出直线 所过定点，进而求出最短弦长判断C；求出弦 的中点的轨迹，进而求出最大值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误； 对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得 ，即，B正确； 对于C，直线恒过定点，，点 在圆内， 当时，取得最小值，此时直线,但是直线不能表示直线,所以C不正确； 对于D，令弦 的中点为 ，线段的中点为，当 与点都不重合时， ，有，当 与点之一重合，上式成立，则， 因此点 的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，， 而，因此的最大值为，D正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题D选项，求出弦 的中点的轨迹，转化为定点与圆上点间距离最大值问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】先利用正态分布对称性求出 的值，然后利用二项展开式求出常数项即可. 【详解】由随机变量，正态分布关于均值对称， 因为， 所以 和 关于2对称， 所以， 所以二项式为：， 又二项展开式的通项为：， 令解得： ， 所以二项展开式中常数项为：， 故答案为：60. 13. 高等数学中对于一类反三角函数（如：，等）的求导过程如下： ，，两边对x求导得：， 由于，代入上式可得：，即 请仿照上述方法，写出在 处的切线斜率＝______. 【答案】## 【解析】 【分析】参照例题方法对反三角函数求导得到导函数，再代入 计算得到切线斜率. 【详解】由 ，根据反正切定义得 ； 两边对 求导，得：； 整理得 ，利用三角恒等式 代入得： ； 将 代入，得  切线斜率为  处的导数值，代入得：. 14. 已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程，，求出，，，再利用诱导公式和积化和差求值. 【详解】由题意：，， 得：， 所以或，， 又，所以，，， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中A，B，C，且），且空间向量为该平面的一个法向量. （1）求原点O到平面：的距离； （2）根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并利用法向量和投影向量的相关知识证明. 【答案】（1） （2） 类比平面内点到直线的距离公式，可得点到平面的距离公式为： .​​ 证明： 在平面上任取一点，由平面方程得，平面的法向量为， 因为 ，， 点到平面的距离 . 【解析】 【分析】（1）在平面内取一点，根据平面方程得到其法向量，利用点到平面的向量方法计算距离； （2）类比点到直线的距离公式猜想得到点到平面的距离公式，最后结合平面上任一点与点构成的向量与平面的法向量证明猜想得到的距离公式. 【小问1详解】 原点坐标为，在平面上取点， 又平面的一个法向量为， 所以点 到平面的距离，  故原点到平面的距离为​​​. 【小问2详解】 略 16. 为数列的前 项和，已知. （1）设，证明：，并求； （2）证明：. 【答案】（1）证明：由，，得， 由，可知. 可得. 所以. 所以当 时 . 因为，所以，，因此. （2）证明：由（1）可知. 于是. 因此. 【解析】 【分析】（1）由题得，，两式相减即得，再利用累加法求出； （2）求出，再利用裂项相消法得证. 【详解】（1）略 （2）略 17. 某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章. （1）记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； （2）若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 4 （2）4 【解析】 【分析】（1）由题意可得可取0，1，2，3，4，进而分别求出概率即可求解； （2）先求得每一轮获得纪念章的概率，由每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，进而可得，，，由，解出 即可求解. 【小问1详解】 由题意，可取0，1，2，3，4. , ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 . 【小问2详解】 每一轮获得纪念章的概率为， 每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布， 设10轮答题获得纪念章的数量为，则， ，. 由，得， 解得，又，得，则获得4枚纪念章的概率最大. 18. 已知 为坐标原点，是椭圆的左、右焦点， 的离心率为，点 是 上一点，的最小值为 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知 是椭圆 的左、右顶点，不与 轴平行或重合的直线 交椭圆 于两点，记直线 的斜率为，直线的斜率为，且. ①证明：直线 过定点； ②设的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）①证明如下： 证明：设直线 的方程为，， 由得， ，即， ， 在椭圆 上 ， ，即， ， ，即， 在直线 上， ， ， ，即， 此时， 直线 的方程为，即直线 过定点. ②. 【解析】 【分析】（1）应用离心率公式及焦点到椭圆距离的最值列方程组求解，即可求出椭圆方程； （2）①设直线方程联立方程组得出韦达定理再应用斜率公式得出，再结合韦达定理计算求出即可得出定点；②先表示面积计算化简结合对勾函数得出最值. 【小问1详解】 由题可知，， 解得， ， 椭圆 的方程为 . 【小问2详解】 ①略 ②记直线 过定点， ， ， ， ， 令，则， 在上单调递增， 当时，有最大值. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造对勾函数形式应用函数的单调性得出函数的最值进而求出面积的最大值. 19. 已知函数． （1）当 时， （I）求处的切线方程； （II）判断的单调性，并给出证明； （2）若恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）（I）；（II）单调递增，， 设，则单调递增， 所以，即， 所以当时， 单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可求得切线的斜率，从而可求切线方程；由，令，求导判断单调性得，即可求解； （2）当 ，取判断不成立；当 时，三次求导结合隐零点进行判断不成立；当时，，可得，即. 【小问1详解】 当 时，，可得. （I）， 所以在处的切线方程为，即. （II）略 【小问2详解】 设， 由题意恒成立. ①当 时，不恒成立，不合题意； ②当 时，设，， ，，， 设，，，单调递增， 由零点存在定理得，使得. 在上，，即 ， 所以在上单调递减，，不恒成立，不合题意； ③当时， ， 则， 当时，，即，则， 所以当时，单调递增. 可得：，即，所以. 综上， 的取值范围为． 【点睛】不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图象在 上方即可)； ③分类讨论参数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $