辽宁辽阳市第一高级中学2025-2026学年高二下学期期中检测数学试题

2025一2026学年度下学期高二期中检测试题 数 学 姓名： 考生考号： 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项！ 1答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。 2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第1卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合要求） 1.设a,b,c∈R,命题甲：d,b,e成等比数列，命题乙：2=aC,则甲是乙的(） A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C,必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2数列0，名，46 3:.5,亏的个通项公式为()· A.6.=2-DaeN） -(neN) 2n-1 2n+ C.a,-4-(neN) n+2 2n(neN) D.a,二2nt1 3.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是（) A.函数y=f(x)在(-oo,-1)上是增函数 Bx=3是函数y=f(x)的极小值点 C.f(3)<'() D.f(-1)sf(3) 9 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,a2+a5= 2,4+a6 4则 A.1 B. c D P 试卷第1页，共4顷 5.如图甲是第七届国际数学家大会（简称1CME-7）的会徽案，会徽的主题图案是由图 乙的一连串直角三角形演化而成的其中已知： 0M=44与44544=44=A人=A4,=44=…=1,A,小，4…为直角顶点，设这 些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为化}，则上， ICME-7 甲 A,2 B.3 C.22 D.22-1 6.给出定义：设f”(x)是函数y=(x)的导函数，若方程f”()=0有实数解，则称点 (o,f(x)为函数y=f(x)的拐点”.已知函数f(x)=3x+4sic-cosx的拐点为 M(,f()》,则下列结论正确的为(） A.tanx,=4 B.点M在直线y=3x上 cm2,号 D.点M在直线y=4x上 7已知函数f)=e-,对于任意5e0m)且*，都有，）上）。，则 3一无 实数a的取值范围是 .A.（-∞，2-2h2) B.（-oo,2-21n2] C.(2-2n2,+oo） 8.已知函数f(y)=1nx+ex+只-a,若f)0对x∈(0，+m)时恒成立，则a的值为(， ex A. B.1 C.2 D.e c 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共8分。每小题有多个选项符合要求，部分选 对得部分分，错选不得分) 9.已知S,等差数列{a,}的前n项和，且a,<0,a,+4。>0,则下列选项不正确的是 试卷第2须，共4顷 A.数列{a,}为递减数列 B.a,<0 C.S,的最大值为S, D.5g>0 10.已知S,是数列{a,}的前n项和，S,=17S,.下列结论正确的是 A.若{an}是等差数列，则S2=48S, B.若{a,}是等比数列，则S2=273S, C.若{a}是等差数列，则公差d>0 D.若{an}是等比数列，则公比是2或-2 11.“中国剩余定理“又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题（如7被3除余1,1被2除余 1).现有这样一个整除问题：将1到500这500个正整数中能被4除余1且被5除余1的数按 从小到大的顺序排成一列，构成数列{a},余下的数按从小到大的顺序排成一列构成数列 色}，记数列a的前n项和为A,数列色}的前项和为B,则下列说法正确的有{） A.an=20n-19(n≤25，n∈N门 B.A=10n2-9n(ns25,ne N) C.数列也}共有46项 D.B200=21255 第卷（佳观题） 三、填空题（体题共3小题，每小题5分，共15分 12.设Sn为数列{aa}的前n项和，若2Sn=5an-7,则a,= 13.由正整数组成的数对按规律排列如下：（，1)，（山，2），(2，)，（山3)，(（2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3),(3,2),(4,1)，(1,5),(2,4),则数对(5,21)排在第 。位 14已知a>l,b>1时，不等式be-nalnb≥0恒成立，则n的最大值是 四、解答题（本题共5小题，共刀分） 15.(13分)求下列函数的导数 试卷第3页，共4页 (0)y=ln3; (2)y=x3; am:08: ④y=(2x2-13x+1: (⑤f()=lnV+x2; (⑥y=1+cosx sinx 16.15分)已知数列{a}的前n项和为S,满足a4=2a,(neN),且S,=24,-1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记b,=3n-2,求数列{a,+b}的前n项和为T 17.(15分求下列数列的和： ()1+2x+3x2+…+x-(x≠0) ②1+11+111+1111++1 个1 18.(17分)已知{a}是递增的等差数列，4，=8，目a,441,&成等比数列. (1)求{an}的通项公式； (2远{a,}中满足3<a,<3(（k∈N)的项的个数为，求数列{色}的前k项和T. 19.（17分)已知函数f(x)=2sinx-ax (若曲线y=f:)在x=处的切线斜率为-5，求a的值 (2)讨论函数f(x)在区间[0，x上的极值点个数； 祁设g(x)=f(x)+a2e-2a,证明：当a≥1时，对Vx∈R,gx)≥1恒成立. 试卷第4项，共4《高二期中考试》参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A 0 D B 心 C BD AB 题号 11 答案 ABD 1.B 【分析】利用等比数列的性质结合充分必要条件求解即可. 【详解】若实数a,bc成等比数列，则g=。,即B=ac, b c 所以命题甲可以推出命题乙，即甲是乙的充分条件： 当a=b=0,c≠0时，b2=ac,但a,b,c不成等比数列， 所以命题乙不可以推出命题甲，即甲不是乙的必要条件： 故甲是乙的充分不必要条件， 故选：B. 2.A 【分析】分析数列前4项的特征，确定并判断即得。 【详解1作思意，0-烈子》子沿9-…南比将0》 2n-1 A是： 1 2 12 42 而选项B中a2=三≠ 53 4*行，选项D中a,=4*召 ，选项C中a,=二≠ 5*3,BCD不是 故选：A 3.D 【解析】由图得出函数y=f(x)的单调性判断ABD,根据f'(3)=f'(S)=0判断C. 【详解】当x∈(-oo,-I)时，f'(x)<0,则函数y=f(x)在(-o,-1)上是减函数，故A错误； 函数y=f(x)在(-1,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，则x=3是函数y=f(x)的极大值点， 故B错误； 由图可知，f'(3)=f'(5)=0,故C错误： 函数y=f(x)在[-1,3]上单调递增，则f(-1)<f(3),故D正确： 故选：D 4.D 答案第1页，共12页 【分析】设等比数列{an}的公比为9，根据所给条件求出9、a,即可得解. 【详解】设等比数列{an}的公比为9， 9 9 4+a=2’a+a,=4’ 99 六4+a,=ga,+a,)=9=4,解得g=2 9 a+a=4(g+g）-之，解得a=8, 所以a,=ag 1)61 2=8 故选：D 5.A 【分析】由题可得1=1+√n+√n+1,利用裂项相消可求出 【详解】由题意，1=1+1+V1+1,l=1+√2+√2+1，l,=1+√3+√3+L,.… 以此类推可得ln=1+√n+√n+1, u2六-含而a两同-： 故选：A 6.B 【分析】求出f'(x)、f"(x),依题意可得-4sinx+cosx=0,即可判断A,再由二倍角公 式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可判断C,再计算∫(xo),即可判断B、D. 【详解】因为f(x)=3x+4sinx-cosx,则f'(x)=3+4cosx+sinx,f"(x)=-4sinx+cosx, 依题意可得f"()=-4sim+cosx,=0,则tan=4'故A错误： 2× sinsinco tam 2sin xo cos xo 2tan xo 4 8 17，故C错误： (4 +1 又f(x)=3x+4sinx,-cosx=3x,,所以点M(xo,f(xo)在直线y=3x上，故B正确，D错 误； 故选：B 答案第2页，共12页 7.B 【分析】由题意推出f(x,)-ax2>f(x)-ax,令g(x)=f(x)-ax,可得g(x)在(0，+∞)上 单调递增，即得g'(x)=e-2x-a≥0在(0，+o)上恒成立，分离参数，a≤e-2x在(0，+o)上 恒成立，从而构造函数h(x)=e-2x,x∈(0，+∞)，求出其最小值，即可求得答案. 【详解】由愿意知对于任意，0，)且x+5,都有儿：)儿>口， x2-x 不妨设x<x2,即得f(x)-f(x)>a(x2-x),即f(x)-ax2>f(x)-ax, 令g(x)=f(x)-ax,则g(x)=f(x)-ax在(0，+oo)上单调递增， 即g'(x)=e*-2x-a≥0在(0，+o)上恒成立，且g'(x)不恒等于0， 故a≤e-2x在(0+o)上恒成立， 令h(x)=e-2x,x∈(0，+∞，则h(x)=e-2, 令h'(x)=e-2>0,则x>ln2,令h'(x)=e-2<0,则0<x<ln2, 故h(x)在(In2,+oo)上单调递增，在(0，n2)上单调递减， 故g(x)mim=g(n2)=2-ln2,故a≤2-ln2, 即实数a的取值范围是(-o,2-2n2], 故选：B 8.C 【分析1分桥可知m==0,可得出 (e 0,求出实数a的值，再利用导数法 进行验证，即可得出实数a的值. 【详解】：f()=nx+er+0-a,fy)=↓+c-a=e2+ex-a er er2 图为7[得-11+a-a=0,所以.xe0+o）.72日-0 又因为函数f(为可导函数，所以，x为函数f()的极值点， 得22-0，可得a2,此时，树-e2=@-es+2, ex2 e er? 答案第3页，共12页 当0<x<1时，'(x)<0,此时函数f()单调递减， 当x>时，∫(x)>0,此时函数f()单调递增， 所以，当x>0时，f(x)m= 0,满足题意 综上所述，a=2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立，解题的关键在于分析出 转化为函数f(x,)的极值点为进行求解，但同时要注意进行检验. e 9.BD 【分析】AB选项，由等差数列的性质得到a,>0,从而确定d=a-a,<0;C选项，a,>0, a<0,故C正确；D选项，根据等差数列求和公式和性质得到Ss=15ag<0. 【详解】AB选项，由等差数列性质得到a,+ao=a+4>0, 又a<0,所以a1>0, 设公差为d,则d=a-a,<0,数列{an}为递减数列，A正确，B错误： C选项，因为a,>0,a<0,则Sn的最大值为S,C正确。 D选项，因为4+as=2a,故Ss=15(a+a=15a,<0,D错误 2 故选：BD 10.AB 【分析】根据等差数列与等比数列的定义、性质、求和公式计算即可. 【详解】若{an}是等差数列，设其公差为d,则S4,S-S4,S2-S成等差数列，公差为16d, 由S2-S+S4=2(Sg-S4)→S12=3Sg-3S4=48S4,即A正确； 当an=0时显然符合题意，但C错误： 若{an}是等比数列，设其公比为q(q≠-1)，则S4,S-S4,S2-Ss成等比数列，公比为g, 由(.-8-3.=(5-5→S,-86,→S.=8,2565.2735,即B正确， 答案第4页，共12页 当9=-1时，Sg=17S4=0也符合题意，故D错误. 故选：AB 11.ABD 【分析】由能被4除余1且被5除余1的数即为能被4和5的最小公倍数除余1的数，可判 断AB选项，注意到{an}与bn}的项数之和为500，B2o等于数列{1}的前211项和减A, 然后可解。 【详解】由题知，数列{an}是以1为首项，20为公差的等差数列，故a=20n-19(n≤25， n∈N,An=10n2-9n(n≤25，n∈N,AB正确： 已知数列{an}共有25项，所以数列bn}共有475项，故C不正确： 数列m的前21项和为210+21山=2366，在将1到211的所有整数中，能被20除余1 2 的数共11个，其余的数有200个.所以，B20=22366-A,=22366-1111=21255,故D正 确。 故选：ABD 2.3gr 【解析】由2S,=50,-7,当n≥2时，可得2S=501-7,两式相减整理得a=≥2， an-13 7 又由n=1时，求得4=3，得出数列{a,}为等比数列，即可求解。 【详解】由题意，数列{an}满足2S。=5an-7, 当n≥2时，可得2Sn1=5an-1-7, 两式相减，可得2Sn-2Sm-1=5an-7-(5a-1-7), 即2a,=5a,-5a1,即-a≥2， am-13 1时，可得2S,=50-7,即2a=50-7,解得4子 所以数列口，表示首项为4-了，公比为g-的等比数列， ,75 所以数列{a,}的通项公式为a,3·写 答案第5页，共12页 故答案为： 13.305 【分析】首先观察得到和为n的分解共有n-1个，再求数对(5,21)所在位置即可. 【详解】观察规律发现： 1+1=2: 1+2=3,2+1=3: 1+3=4,2+2=4,3+1=4: 1+4=5,2+3=5,3+2=4,4+1=5: 得到和为n的分解共有n-1个. 则数对(5,21)和为26， 因此前面共有1+2+3++24=1+24)×24 300个， 2 又因为(5,21)在和为26中为第5个， 所以数对(5,21)排在第305位， 故答案为：305 14.e2 【分析】转化不等式be“-nanb≥0，通过构造函数，结合导数研究所构造函数的单调性， 由此列不等式来求得n的取值范围，进而求得n的最大值 【详解】由题意，可得e n地恒成立，令心)-号8)-号 Inx )e-,当xe+w)时，f>0,f)单调递增，所以f>了0=c, x2 g)-l严，当ee时，单调道增， 当，时小0fd)单调递减，又8e=ge)- 婴彼不等式≥n地恒成立，必有e之总，即n≤e. a b 故答案为：e2 【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，关键点在于“划归与转化”，将恒成立的不等式转 化后，利用构造函数法，结合导数研究函数的单调性、范围等来对问题进行求解 15.(1)y'=0 答案第6页，共12页 (2)y'=-3x4 (3)f(x)=-sinx+cosx (4)y=18x2+4x-3 rw42 (6)y--1-cosx sin2x 【分析】(1)(2)根据基本初等函数的导数即可求解，(3)(4)(6)根据基本初等函数的导 数和导数的四则运算即可求解，(5)根据复合求导法则即可求解. 【详解】(1)y'=(1n3)=0 (2)y'=-3x31=-3x4 (3))-c'sinx-ocossin+cosx (e) (4)y'=4x(3x+1)+3(2x2-1=18x2+4x-3 (5)令f()=nV+平=n1+x2), 令=1+，则r)-如小+）222=14 (6)y-sin xsinx-coscosx)-1-c0sx (sinx)月 sinx 16.(1)an=2m- 2)2”-1+3m2-n 2 【分析】(1)根据an=2an,知{an}为公比为2的等比数列，再由条件求出a,求得{an}的 通项公式： (2)由b,=3n-2,an-2"-,求得an+b,=2”+3n-2,再分别用等比数列求和公式和等差 数列求和公式求出T 【详解】(1)因为S3=2a3-1,所以a,+2a,+4a=8a,-1,所以a,=1. 由an+1=2an（n∈N)可知数列{an}是公比为2的等比数列，所以9=2. 答案第7页，共12页 所以数列{an}的通项公式为a,=2 (2)an+bn=2"-+3n-2 T=0+2+2++2+1+4++(3m-2刃=2-1+3n2-n 2 (1+n)n x=1 2 17.(1)1+2x+3.x2+…+xn0= 1-(n+1)x"+x -,x≠0,1 (（1-x)月 210-9n-10aeN) 81 【分析】(1)利用分类讨论思想结合等差数列公式法和错位相减法求和； (2)先得到通项公式，再进行分组求和，以及利用等比数列求和公式求和即可 【详解】(1)当x=1时，1+2x+3x2++x4=1+2+3++n= (1+n)n 2 当x≠1时，记Sn=1+2x+3x2+…+nx"① ①×x:xSn=x+2x2+3x3++x"② ①-②：(-x)S,=1+x+x2++x时-x”=1- -x”, 1-x 化简得：3，=1(n+1)+r (1-x)2 (1+n)n 2,s1 综上所述：1+2x+3x2+…+xm= 1-(n+1)x"+x 一，x≠0,1 (1-x)2 (2)该数列为{an},其前n项和为Sn, 因为 a=1=。x0-10, 9 4=1-=g×10-小， a=11=g×(00-0 a=11=g0-4, 答案第8页，共12页 a,=11111=×105-1, 所以该数列的一个通项公式为a,=)×10-m∈N), s,=号×[0-0+(02-+(102-+…+(10-月 -g0+10+10++10心- 110(1-10） 91-10 101-91-10L (n EN). 81 18.(1)an=3n-1 (2)T=3-1 【分析】(1)根据题意得(a4-1)=a2a,公差d>0,进而转化为a与d的关系求d,最后 求得a,通项公式： (2)根据题意解不等式3<3n-1<3H(k∈N)得b=2·3,进而根据等比数列求和公式 求解即可. 【详解】(1)设等差数列的公差为d, 因为{an}是递增的等差数列，所以d>0, 因为a2,a4-1,a,成等比数列，所以(a,-1)=a,a,, 又因为a=8, 所以(a+d-1)=(a,-d)(a+4d,即(7+d)2=(8-d)8+4d) 整理得d2-2d-3=0,解得d=3或d=-1, 由于d>0,所以d=3, 所以a1=a3-2d=8-6=2, 所以an=a,+(n-1)d=3n-1, 所以{an}的通项公式为an=3n-1 答案第9页，共12页 (2)由3*<an<3(k∈N)得3<3n-1<3+(k∈N), 解上述不等式<eN 3 因为n∈N,所以3+1≤n≤3*(k∈N), 所以满足不等式3+1≤n≤3*(k∈N)的n的个数为：3-3-=23-， 所以b=2·3 因为1=2.3 b-2.3=3,keN 所以数列{b}为等比数列，首项为2，公比为3. 所以数列{b}的前k项和T= 60-4)20-3）3-1, 1-91-3 所以数列{b}的前k项和为T=3-1 19.(1)a=1+5 (2)当a≤-2或a≥2时，f(x)在[0，]上无极值点；当-2<a<2时，f(x)在[0，π]上有一 个极值点 (3)证明见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义知函数在x=π的导数值是过该点的切线的斜率，所以对 函数求导可得切线斜率，进而得a的值； (2)先求函数y=f(x)的导函数f'(x),再分a≤-2，a≥2，-2<a<2三种情况分类讨论，分 析导函数的正负情况，再结合导函数的零点求解，进而判断求出函数极值点的个数： (3)将g(x)=2sinx+ae-3ax转化成以a为自变量的函数G(a)=ea2-3x·a+2sinx,分析 区个三次函数对称轴α的范围，进一步得出Go)在L,+切)上单调递增，间题可钱 证明G)≥1，再次转化成F()3江-2smx+,研究其最小值即可。 【详解】(1)由已知可得f'(x)=2cosx-a,由题意得f' =2cos花-a=-5,解得 、3 a=1+V5. 答案第10页，共12页 (2)f'(x)=2cosx-a,因为x∈[0，π]，所以cosx∈[-1，l,故2cosx∈[-2,2]， 若a≤-2，则f'(x)=2cosx-a≥0恒成立，所以f(x)在[0，π]上单调递增，无极值点； 若a≥2，则f'(x)=2cosx-a≤0恒成立，所以f(x)在[0，π]上单调递减，无极值点； 若-2<a<2,由f()=0得cosx=2 在[0，网上，cosx单词递减，存在唯一的，使得coa,-分 当0<x<x时，cosx>号f()>0,当x<x<元时，osx<号f(<0, 所以f(x)在(O,)上单调递增，在(x,π)上单调递减，有一个极值点： 综上所述，当a≤-2或a≥2时，f(x)在[0，π]上无极值点；当-2<a<2时，f(x)在[0，π] 上有一个极值点。 (3)因为g(x)=2sinx+a'e-3ax,令G(a)=2sinx+a2e-3ax是关于a的二次函数， G(a)=ea2-3xa+2sinx对称轴为a=3x Γ2ex 令器则号， 令h(x)>0,则x<1;h(x)<0,则x>1, 所以h(x)在(-o,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， 所以s=A0=名<1，所以G回+o)上单调港拉 问题可转化为证明G(1)≥1，即证e-3x+2sinr-1≥0 令F)=3t-2sinx+l,则F'(y)-2-3x+2sinr-2cosr er (x)=2-3x+2sinx-2cosx, 则()-2asr+2mr-3=2in+}3<0, 所以p(x)在R上单调递减，且p(O)=0, 所以当x<0时，F(x)>0;当x>0时，F'(x)<0, 所以函数F(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 答案第11页，共12页 所以F()sF(0)=l,即3x-2si+1≤1. e 综上：当a≥1时，g(x)≥1恒成立. 答案第12页，共12页