精品解析：2026年湖北省黄石市黄石港区部分学校九年级质量检测二模数学试题

数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，数轴上表示的相反数的点是（） A. M B. N C. P D. Q 【答案】D 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】-2与2只有符号不同， 所以的相反数是2， 故选D． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：几何体的俯视图是： 3. 计算 的结果是（ ） A. a2 B. -a2 C. a4 D. -a4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 4. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由对顶角可得，再由平行线的性质可得，从而可求的度数． 【详解】解：如图， ∵直线l与a，b分别交于点A，B，， ∴， ∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（    ） A. 的值一定是 B. 的值一定不是 C. 越大，的值越接近 D. 随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性； 故选：． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是有可能发生的事件． 7. 如图，△ABC中，∠ABC=90°沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定成立的是（　　） A. EC=CF B. ∠DEF=90° C. AC＝DF D. ACDF 【答案】A 【解析】 【分析】由平移的性质得出对应边平行且相等，对应角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF， ∴∠ACB＝∠DFE，∠DEF＝∠ABC＝90°，AC＝DF，BC＝EF， ∴AC∥DF，BC﹣CE＝EF﹣CE，即BE＝CF， ∴选项B、C、D正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 8. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答． 【详解】连接OB， ∵点B是的中点， ∴∠AOB＝∠AOC＝60°， 由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 9. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 10. 已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可． 【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示： 由对称性可知，EF=EF’， 此时EF+EB= EF’+EB， 由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知， 当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置， 由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°， ∴∠BAF0=30°， 由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知， BF0=AB=， 故选：B． 【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若一次函数的图象与x轴交于点，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】令，进行求解即可. 【详解】解：令， 解得， ∴直线与轴交于点，即. 12. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 13. 有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为________． 【答案】1.2×10-8 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：0.000000012=1.2×10-8． 故答案为：1.2×10-8 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 14. 如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率．直接根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：∵当蚂蚁走到第一岔路口选择右侧岔路口的概率为，当蚂蚁走到第二个岔路口选择左侧岔路口的概率为， ∴它获得食物的概率是． 故答案为：． 15. 如图1，在中，，D是边上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段的长和线段的长分别为________． 【答案】 【解析】 【分析】从图象看，当时，重合，此时，则，即当时，为以点为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解． 【详解】解：从图象看，当时， ， 即时， ， 当时，，即时，重合， 此时，则， 即当时，为以点为顶点腰长为的等腰三角形，如下图： 过点作于点， 在中，， 则， 在中，． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先由线段和差得出，然后根据“”证明，最后由全等三角形的性质即可求证． 【详解】略 18. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得广场处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高（点在同一平面内）． （1）求仰角的正弦值； （2）求两点之间的距离（结果精确到）． 【答案】（1）；（2）B，C两点之间的距离约为51m． 【解析】 【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正弦的定义求解； （2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD＋CD即可． 【详解】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F， ∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°， ∴四边形BDFE为矩形， ∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m， ∴AF＝AD−DF＝41.6−1.6＝40（m）， 在Rt△AEF中，sin∠AEF=，即sin=． 答：仰角的正弦值为； （2）在Rt△AEF中，EF＝m， 在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6 m， ∵tan∠ACD=， ∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m， ∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m． 答：B，C两点之间的距离约为51m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 19. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比__________； （3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的名学生测试成绩的中位数是__________分； （4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 【答案】（1）补全频数直方图如下： ； （2）20％； （3）84．5分； （4）672人 【解析】 【分析】（1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90~1000”这组的频数，从而补全频数直方图； （2）用“70~80”这组的频数除以样本容量即可； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用1200乘以80分以上人数所占的比例即可． 【详解】解：（1）8÷16％=50人， 50-4-8-10-12=16人， （2）m==20％； （3）∵“50~80”分的人数已有22人， ∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分， ∴中位数是分； （4）人． ∴优秀人数是672人． 20. 项目式学习 背景 某中学为庆祝壮族传统节日“三月三”，拟举办以此为主题的装饰卡制作活动． 素材1 如图，制作一张甲卡片需要彩纸，丝带，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸，丝带，共花费3.8元． 素材2 学校计划制作甲、乙两种卡片共400张，其中甲卡片数量不足240张，制作两种卡片所需彩纸总量不超过 素材3 购买彩纸和丝带有实体商店和网店两种购买方式，它们均有优惠促销活动： ①实体商店：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知学校在此之前不是该商店的会员）； ②网店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）． 问题解决 任务1 求买彩纸需要多少钱？买丝带需要多少钱？ 任务2 若制作甲种卡片张，求的取值范围，并用含的式子分别表示在实体店和网店的购买费用． 任务3 在任务2的条件下，比较实体商店和网店两种购买方式哪种更合算？ 【答案】任务1：彩纸需要0.5元，丝带需要0.8元 任务2：实体商店费用：元，网店费用：元 任务3：当购买甲种卡片数量在（为整数）范围内时，在网店购买更合算；当购买甲种卡片数量时，在实体商店和网店购买一样合算；当购买甲种卡片数量在（为整数）范围内时，实体店购买更合算 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式是解题的关键： 任务1：设彩纸为元，丝带为元，根据制作一张甲卡片需要彩纸，丝带，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸，丝带，共花费3.8元，列出方程组进行求解即可； 任务2：根据甲卡片数量不足240张，制作两种卡片所需彩纸总量不超过，求出的范围，根据两种折扣方式，列出代数式即可； 任务3：分3种情况，列出不等式进行求解即可。 【详解】解：任务1：设彩纸为元，丝带为元， 根据题意列方程组： 解这个方程组得：． 答：彩纸需要元，丝带需要元． 任务2：根据题意得 解得：． 且是正整数 的取值范围是：． 彩纸总数量：， 彩纸总费用：元， 丝带总量：， 丝带总费用：元； 彩纸、丝带总费用（打折前）：元， 实体商店费用：元， 网店费用：元； 任务3：①当实体商店更合算时，有， 解得：； ②当实体商店和网店费用相同时，有， 解得：； ③当网店更合算时，有， 解得：． 答：当购买甲种卡片数量在（为整数）范围内时，在网店购买更合算； 当购买甲种卡片数量时，在实体商店和网店购买一样合算； 当购买甲种卡片数量在（为整数）范围内时，实体店购买更合算． 21. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长． 【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）. 【解析】 【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明即可； （2）过O作于G，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF是菱形，得到，，于是得到结论． 【详解】（1）直线DE与⊙O相切， 连结OD． ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴DE是⊙O的切线； （2）过O作于G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形AODF是菱形， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 22. 某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少； （3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围． 【答案】（1） （2）当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）分2段，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设销售利润为W元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）根据该商品每天的销售利润不低于1200元，列出不等式，利用图象法解不等式即可． 【小问1详解】 设段的解析式为：， 由图可知：图象经过， 则：，解得：， ∴； 设段的解析式为：， 由图可知：图象经过， 则：，解得：， ∴ ∴． 【小问2详解】 设销售利润为W元，则 ①当时，， ∴时，元． ②当时，， ∵x为整数， ∴或43时，W取最大值，． ∵， ∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元． 【小问3详解】 由（2）知，当时，该商品每天的最大销售利润为1000元； ∴只有在时，每天的销售利润才可能不低于1200元； ∴， 当，解得：， ∵， ∴的解集为． 23. 综合与实践： 定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”． 特例感知：已知，为边上一点，将沿折叠，使得点恰好落在边上（不含点），此时折痕称为“落边折痕”． 探究1：如图①，若是直角三角形，其中，，，若点为边上一点，将沿着折叠后，点恰好落在边上的点处，求“落边折痕”的长； 探究2：如图②，若是等腰三角形，其中，请求出“落边折痕”将其分割后的与的面积比； 探究3：如图③，若是等腰三角形，其中，，请求出其“落边折痕”的长度． 【答案】探究1：；探究2：；探究3：或． 【解析】 【分析】探究1：根据叠的性质可知，，则，即可求解； 探究2：分别过点作、的垂线，垂足分别为，．根据折叠的性质可知，，，推出，得到，即可求解； 探究3：分情况讨论：当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，结合相关知识求解即可． 【详解】解：探究1：根据叠的性质可知，， 又，， ； 探究2：如解图①，分别过点作、的垂线，垂足分别为，． 根据折叠的性质可知，，， ， ，（将面积比转化为线段比） 在等腰中，， ， ， 即； 探究3：根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）． 在等腰中， ，，， 只能是点向下折叠，则分情况讨论．（若是其他折叠方式，则对应点落在三角形边的延长线上或顶点处，不满足定义） ①如解图②，当沿折叠，点落在边上的点处时， 由探究2可得， ， ， 过点作于点，过点作于点，（通过面积比，可以推导出对应线段比值，构造等量关系，求解所需线段） ，为中点，， ，， 由勾股定理得:， ， ，， ， ， ∴在中，； ②如解图③，当沿折叠，点落在边上的点处时，同①，则；（此种情况与情况①属于对称状态，折痕相等） ③如解图④，当沿折叠，点落在边上的点处时， 为的垂直平分线，即， 由①可知， ， ； ④如解图⑤，当沿折叠，点落在边上的点处时，为的垂直平分线，则同情况③，则．（此种情况与情况③属于对称状态，折痕亦相等） 综上所述，“落边折痕”的长度为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线经过两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第四象限内抛物线上一点，连接，交线段于点，求的最小值； （3）若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有三个动点． ①当点在点左侧时，、两点（含，两点）之间的图象的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围； ②当、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值和最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）把代入，建立方程组求解即可； （2）过点A作轴交于点M，过点F作轴于点D，交于点N，得，得，由，求出，求出直线的解析式．可得,得，设，，得，的最大值为，得的最小值为； （3）①抛物线，顶点为，∵直线的解析式为：，∴当时，，解得，当在左侧时，，解得．分当时：当时，当时，四种情况求解即可；②对，当时，解得或,分当，，即时，当，即时，两种情况解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：过点A作轴，交直线于点M，过点F作轴于点D，交直线于点N， 则， ∴， ∴， 对，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把代入， 得，解得​， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴, ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴取得最小值，． 【小问3详解】 解：①∵抛物线， ∴顶点为， ∵直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∵图象W由时的抛物线和第三象限的直线组成． 当在左侧时，， 解得． 当时，点P在直线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为点，最高点为 ∵，， ∴； 当时，点P在直线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，点P在抛物线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，点P在抛物线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为，最高点为， ∵，， ∴； 综上：； ②对，当时，， 解得或, 当，，即时， 点P在直线上，点R在抛物线上，、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值为点B的纵坐标值，最小值为抛物线的顶点的纵坐标值，均不随的变化而变化， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， ∴， ∴，解得； 或，解得； ∴； 当，即时， 点P在抛物线上，点R在直线上，、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值为点B的纵坐标值，最小值为抛物线的顶点的纵坐标值，均不随的变化而变化， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得； 或，解得； 当时， ∴， 解得； ∴； 综上，或． 【点睛】每种情况都要画图，帮助理解题意，解答问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，数轴上表示的相反数的点是（） A. M B. N C. P D. Q 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算 的结果是（ ） A. a2 B. -a2 C. a4 D. -a4 4. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关 5. 如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（    ） A. 的值一定是 B. 的值一定不是 C. 越大，的值越接近 D. 随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性 7. 如图，△ABC中，∠ABC=90°沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定成立的是（　　） A. EC=CF B. ∠DEF=90° C. AC＝DF D. ACDF 8. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若一次函数的图象与x轴交于点，则________． 12. 因式分解：a3－a=______． 13. 有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为________． 14. 如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是________． 15. 如图1，在中，，D是边上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段的长和线段的长分别为________． 三、解答题 16. 计算：． 17. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 18. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得广场处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高（点在同一平面内）． （1）求仰角的正弦值； （2）求两点之间的距离（结果精确到）． 19. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比__________； （3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的名学生测试成绩的中位数是__________分； （4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 20. 项目式学习 背景 某中学为庆祝壮族传统节日“三月三”，拟举办以此为主题的装饰卡制作活动． 素材1 如图，制作一张甲卡片需要彩纸，丝带，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸，丝带，共花费3.8元． 素材2 学校计划制作甲、乙两种卡片共400张，其中甲卡片数量不足240张，制作两种卡片所需彩纸总量不超过 素材3 购买彩纸和丝带有实体商店和网店两种购买方式，它们均有优惠促销活动： ①实体商店：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知学校在此之前不是该商店的会员）； ②网店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）． 问题解决 任务1 求买彩纸需要多少钱？买丝带需要多少钱？ 任务2 若制作甲种卡片张，求的取值范围，并用含的式子分别表示在实体店和网店的购买费用． 任务3 在任务2的条件下，比较实体商店和网店两种购买方式哪种更合算？ 21. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长． 22. 某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少； （3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围． 23. 综合与实践： 定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”． 特例感知：已知，为边上一点，将沿折叠，使得点恰好落在边上（不含点），此时折痕称为“落边折痕”． 探究1：如图①，若是直角三角形，其中，，，若点为边上一点，将沿着折叠后，点恰好落在边上的点处，求“落边折痕”的长； 探究2：如图②，若是等腰三角形，其中，请求出“落边折痕”将其分割后的与的面积比； 探究3：如图③，若是等腰三角形，其中，，请求出其“落边折痕”的长度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线经过两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第四象限内抛物线上一点，连接，交线段于点，求的最小值； （3）若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有三个动点． ①当点在点左侧时，、两点（含，两点）之间的图象的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围； ②当、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值和最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $