精品解析：湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷

黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（   ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，，则的度数为（      ） A. B. C. D. 5. 据统计，在发布后的18天内，全球下载数量达到16000000次，是的同期下载数量的2倍．将16000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 6. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 9. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. C. 关于x的一元二次方程（）的两解为，，则 D. 方程有3个根，则 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若有意义，的值可以是______（写出一个即可） 12. 直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为______________． 13. 小王掷一枚硬币，结果是一连4次掷出正面朝上，那么他第5次掷硬币时，出现正面向上的概率是__________． 14. 计算：___________． 15. 如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，，作，分别与边、交于点F、G，点M，N分别是，的中点，则________，的面积是________． 三、解答题（共9题，共75分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 如图，已知，．求证：四边形是平行四边形． 18. 某校的教学楼和宿舍楼之间隔了一个小湖，湖中有一观景平台，已知教学楼和宿舍楼高度均为20米． 校庆来临之际，校团委想在两楼之间拉一条横幅，横幅长度准备做成42米． 小亮所在的数学兴趣小组为核算横幅长度是否够用，对两楼之间的距离进行以下测量：如图，他们在观景平台F处测得教学楼楼顶A的仰角为，测得宿舍楼楼顶C的仰角为，已知测角仪的高度为米，点B，F，D在同一水平线上． 请你通过计算，说明校团委准备做的横幅长度是否够用． （参考数据：，，，） 19. 某校为了解落实“双减”政策后学生每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）的情况，在全校随机抽取部分小学生进行调查，按四个组别进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 抽取的学生作业时间统计表 组别 调查结果 人数（人） A 120 B a C 180 D 90 （1）这次调查抽取学生的总人数是_______，B组的学生人数______； （2）该校共有学生1500人，请估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生人数； （3）请结合数据对该校“双减”工作提出一条合理性建议． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，连接． （1）求k，b，n的值； （2）求的面积． 21. 如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连接交于点G，连接，过点C的切线交的延长线于点H． （1）求：； （2）若的半径为6，，求的长． 22. 图1所示是温州南塘河面上的一座石拱桥，已知其桥洞均可近似看作形状相同的抛物线．经测量，在正常水位时，主桥洞顶端离水面，水面宽度；右侧第一个小桥洞顶端离主桥洞顶端的水平长度为，铅直高度为．图2所示为主桥洞和右侧第一个小桥洞的截面图． （1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求出主桥洞的函数关系式 （2）在（1）坐标系前提下，直接写出第一个小桥洞的函数关系式 （3）水位正常时，一艘长，宽，高的渔船能否顺利通过右侧第一个小桥洞？请通过计算说明． 23. 在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； （3）如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． （1）如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； （2）如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； （3）定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了温度的比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．以下记为负数，以上记为正数，温度都小于时，绝对值最大的，温度最低． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴气温最低的是北京． 故选：A． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图为： 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除，根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，已知，，，则的度数为（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，延长交于M，根据平行线的性质，求出，求出，根据三角形外角的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长交于M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形外角定理得：， 故选：B． 5. 据统计，在发布后的18天内，全球下载数量达到16000000次，是的同期下载数量的2倍．将16000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将16000000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选D． 6. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式得到不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∴数轴表示如下所示： ， 故选：A． 7. 我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设醇酒有瓶，薄酒有瓶， 由题意得，， 故选：． 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 9. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，圆周角定理，由作图可知垂直平分，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. C. 关于x的一元二次方程（）的两解为，，则 D. 方程有3个根，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，函数与坐标轴的交点． 把点C的坐标代入中，求出抛物线解析式即可得到抛物线的顶点坐标，判断A选项．根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断B选项．方程的解，是抛物线先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标，根据抛物线平移的性质即可判断C选项．画出函数的图象，根据数形结合的思想即可判断D选项． 【详解】∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线为，即， ∴抛物线的顶点坐标为．故A选项正确； 把代入函数中，得， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵抛物线的开口向上， 且抛物线上的两点，中， ∴．故B选项正确； 将抛物线向下平移m个单位长度，得到， 该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在店的右侧， ∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确． ∵方程有3个根， ∴函数的图象与直线有3个交点， ∵函数的图象与x轴的交点为，， 如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即 此时把点代入函数中，得到， 解得， 当时， 如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点 ∴对于方程可化为，即， ∴， 解得， 综上所述，或．故D选项错误． 故选：D 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若有意义，的值可以是______（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键． 由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一） 12. 直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为______________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数与坐标轴的交点求一元一次方程的解，根据直线与轴交于点即可得出答案． 【详解】解：直线与轴交于点， 关于的方程的解为， 故答案为：2024． 13. 小王掷一枚硬币，结果是一连4次掷出正面朝上，那么他第5次掷硬币时，出现正面向上的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的意义理解．概率等于所求情况数与总情况数之比． 根据一枚硬币只有正反两面求解即可． 【详解】解：∵一枚硬币只有两面，掷出正面朝上或朝下的概率均为， ∴他第5次掷硬币时出现正面朝上的机会为． 故答案为：． 14. 计算：___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 15. 如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，，作，分别与边、交于点F、G，点M，N分别是，的中点，则________，的面积是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，先证明、是矩形，即可得到N是FC的中点，然后根据等腰直角三角形的三线合一得到，，然后求出长，即可得到长，再根据解题即可． 【详解】连接， ∵是正方形， ∴，，， ∴、是矩形， ∴，，， 又∵是的中点， ∴F、C、N共线，且N是FC的中点， 又∵，， ∴， ∴， 又∵点M是的中点， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵N是的中点， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（共9题，共75分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据乘方、算术平方根、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，已知，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定是解题的关键． 由，可知是直角三角形，，由，可得，由勾股定理得，，则，进而可证四边形是平行四边形． 【详解】略 18. 某校的教学楼和宿舍楼之间隔了一个小湖，湖中有一观景平台，已知教学楼和宿舍楼高度均为20米． 校庆来临之际，校团委想在两楼之间拉一条横幅，横幅长度准备做成42米． 小亮所在的数学兴趣小组为核算横幅长度是否够用，对两楼之间的距离进行以下测量：如图，他们在观景平台F处测得教学楼楼顶A的仰角为，测得宿舍楼楼顶C的仰角为，已知测角仪的高度为米，点B，F，D在同一水平线上． 请你通过计算，说明校团委准备做的横幅长度是否够用． （参考数据：，，，） 【答案】 校团委准备做的横幅长度不够用，理由如下： 如图，过点E作于点G，延长交于点H． 则米 ∴米 在中，米 在中，米 ∴米 ∵ ∴校团委准备做的横幅长度不够用． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义是解本题的关键．过点E作于点G，延长交于点H．在中，在中，分贝求出米，米，再求出与42米比较即可． 【详解】略 19. 某校为了解落实“双减”政策后学生每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）的情况，在全校随机抽取部分小学生进行调查，按四个组别进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 抽取的学生作业时间统计表 组别 调查结果 人数（人） A 120 B a C 180 D 90 （1）这次调查抽取学生的总人数是_______，B组的学生人数______； （2）该校共有学生1500人，请估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生人数； （3）请结合数据对该校“双减”工作提出一条合理性建议． 【答案】（1）600，210 （2）该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数为675人 （3）建议该学校作业布置要减少题量或降低难度．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据总人数=A组人数÷A组所占百分比，总人数×B组百分比，即可求出本题答案；（2）1500×不低于90分钟学生的百分比，即可求出结果；（3）合理即可． 【小问1详解】 这次调查抽取学生的总人数是600，B组的学生人数； 故答案为：600，210； 【小问2详解】 （人）， 答：该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数为675人； 【小问3详解】 该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数占比高达45%，建议该学校作业布置要减少题量或降低难度．（答案不唯一，理由合理即可，没有结合数据得1分） 【点睛】本题考查统计表和扇形统计图，考查数据处理和分析的能力，解题关键在从不同的图中读出相应的统计量． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，连接． （1）求k，b，n的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． （1）把代入求出k，把代入求出，再把和代入求解即可； （2）根据直线解析式求出点C的坐标得到长，依据，进而计算即可得解． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 把代入得， 点的坐标为， 把和代入得： ， 解得：， ， ． 【小问2详解】 解：令时，则， 解得， 点的坐标为， ． 21. 如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连接交于点G，连接，过点C的切线交的延长线于点H． （1）求：； （2）若的半径为6，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的三等分点， ， ， 是直径， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由是的三等分点，可得，则，由是直径，可得，证明，进而可得； （2）如图，连接，作的延长线于，由题意得，由勾股定理得，，则，由切线的性质可知，，则，，则，即，可得，设，则，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，作的延长线于， ， ， 由题意知，， ， ， 由勾股定理得，， ， 由切线的性质可知，， ， ， ， ，即， 解得，， ， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得，或(舍去)， ， 由勾股定理得，， 的长度为． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，垂径定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等角对等边，正切，勾股定理等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等角对等边，正切，勾股定理是解题的关键． 22. 图1所示是温州南塘河面上的一座石拱桥，已知其桥洞均可近似看作形状相同的抛物线．经测量，在正常水位时，主桥洞顶端离水面，水面宽度；右侧第一个小桥洞顶端离主桥洞顶端的水平长度为，铅直高度为．图2所示为主桥洞和右侧第一个小桥洞的截面图． （1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求出主桥洞的函数关系式 （2）在（1）坐标系前提下，直接写出第一个小桥洞的函数关系式 （3）水位正常时，一艘长，宽，高的渔船能否顺利通过右侧第一个小桥洞？请通过计算说明． 【答案】（1）平面直角坐标系见解析，； （2）； （3）渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞， 如图，船可以从桥洞正中间通过， 由（2）知，船中心的横坐标为， ∵船宽为， ∴船从正中间通过时最左侧的横坐标为， 当时，， ∵， ∴渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形，求出点，即可求解； （3）船宽为，船从正中间通过时最左侧的横坐标为，求出当时，，，即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 由题意知：B点坐标为，D点坐标为， 设主桥洞的关系式为， 将代入中，得， 解得：， ∴主桥洞的关系式为； 【小问2详解】 解：如图：过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 23. 在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； （3）如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 【答案】（1） 证明∶∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由长方形的性质及折叠的性质证出，在根据等角对等边即可得出结论． （2）设，则，由（1）的结论以及翻转的性质可得出，，由勾股定理可得出答案． （3）方法1：连接，设，，，由折叠得，，， 由勾股定理解，，可得，由勾股定理解，可得，联立，通过加减消元解出，即可求解； 方法2：延长交的延长线于点M，证明，得出，，设，，由折叠知，，，由勾股定理得出，进而求出y，进而可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∴， 在中， ， 即， 解得： ∴． 【小问3详解】 解：方法1：如图，连接， 设，，， 则，， 由折叠得，，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 由得：， 由得：， 得：， ∵， ∴， 即． 方法2：延长交的延长线于点M， ∵， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴ ∴，， 设，， 由折叠知， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． （1）如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； （2）如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； （3）定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点为A的横坐标为2，得到，再将点代入解析式求解，即可解题； （2）过点A作于点D，作轴交直线l于点E，结合一次函数解析式得到，，利用勾股定理求出，结合二次函数解析式得到顶点A的坐标为，进而求出，再证明，最后利用相似三角形性质和二次函数最值求解，即可解题； （3）通过抛物线的解析式可得对称轴为直线，过点，对a分情况讨论或求解，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为2， ， ， 点在抛物线M上， ， t的值为． 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点D，作轴交直线l于点E， 则， 对于直线，易知，， ， ， 抛物线M：， 顶点A的坐标为， 把代入到，得， ， ， 轴， ， 又， ， ，即， ，即， 当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为． 【小问3详解】 解：， ，其对称轴为直线，图象必过点， 当时，开口向上，如下图： 当时，此时整点有，，，，，根据对称性，整点显然超过9个，不符合题意； 当时，开口向下，如下图： 要保证封闭区域内（包括边界）共有9个整点，需要同时满足： 当时，，当时，， 即， 解得， 故a的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数性质，一次函数与坐标轴交点，勾股定理，二次函数一般式化顶点式，相似三角形的性质和判定，二次函数与一元一次不等式组，解题的关键在于理解题意列出不等式组． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $