精品解析：2024年福建省莆田市城厢区南门学校中考一模数学试题

2023-2024学年南门九年级中考模拟卷 一、选择题（共10小题） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各项计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转后，可以得到，且边上，则的度数为（ ） A. 56° B. 50° C. 46° D. 40° 8. 在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 红色 B. 黄色 C. 蓝色 D. 绿色 9. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（ ） A. B. C. D. 10. 坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（    ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（共6小题） 11. 计算：_____. 12. 七边形的内角和是________度． 13. 如图是甲、乙两组数据的统计图，则较为稳定的数据是______组（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________． 15. 若，则的值为________________． 16. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂：随的增大而减小；关于的函数图象位于第一、第三象限；当为时，抙动石头至少需要的力；当抙动石头需要的力，至少为；上面四种说法正确的是_____．（只填序号） 三、解答题（共9小题） 17. 解方程组：． 18. 已知：如图，点在边上（不与点，点重合），在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点，，．有以下四个结论：；；；请选一个正确结论进行证明． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．    若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元． （1）分别求出这两款车的每千米行驶费用； （2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5000元和7600元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 21. 为了有效引导学生学习环保知识，增强环保意识，某校九年级举行第一次“环保知识测试”，并将K班第一次测试成绩数据整理成统计表． 第一次测试成绩 测试成绩x(分) 人数(人) 4 28 8 4 6 请解决问题1： （1）求该班在第一次“环保知识测试”中，学生测试成绩x（分）为“”的频率； （2）若该校九年级学生有600人，且各班对环保知识了解程度大体一致，请估计该年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数； 第一次测试后，王老师带领K班学生积极开展了环保主题实践活动活动后，该班参加第二次“环保知识测试”，并将第二次测试成绩分成A：，B：，C： ，D：四组进行统计分析，绘制了各组人数占比扇形统计图． 请解决问题2： （3）请至少选择两种以上的统计量，分析比较K班的第一次和第二次的测试数据变化情况，并对王老师带领K班学生开展环保主题实践活动的效果进行评价． 22. 某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度， 与药物施用量的关系数据统计如下表： 0 4 6 8 10 15 18 21 25 21 19 16 14 10 7 4 10 18 22 27 31 40 45 52 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象． 任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式． 任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围． 23. （1）如图，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）中，若以为直径的圆上与相交于点，若，且，求弧的长　　　　　． 24. 抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点． （1）求的坐标； （2）若对任意的实数，且当取其范围中的最小值时，代数式的值都不大于． 求出抛物线的解析式； 点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点做轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形，当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 25. 如图1，在正方形中，点在上（不与点，重合），点在边上，，连接，交于点． （1）如图，连接与交于点，连接交于点． 求证：； 当=时，求的值； （2）如图，若是的中点，以点为圆心，为半径作，是上的一个动点，连接交于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年南门九年级中考模拟卷 一、选择题（共10小题） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：根据有理数的大小比较得，， ∴最小的是， 故选：． 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．从左边观看立体图形即可得到． 【详解】解：从左边观看立体图形可得左视图为直角在左边的直角三角形， 故选：B． 3. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 4. 下列各项计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，根据相应的运算法则逐一分析判断即可，熟记相应的运算法则是解本题的关键． 【详解】解：，故A不符合题意； ，不是同类项，不能合并，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选D 5. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，正确得出的度数是解题关键．直接利用平行线的性质再利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴． 故选：A． 6. 表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，实数与数轴等知识点，根据图示，可得且，，，据此逐项判断即可，正确理解不等式的性质是解此题的关键． 【详解】由图可知，，且，，， ∵， ∴， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴选项C不符合题意； ∵，， ∴， ∴选项D符合题意． 故选：D． 7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转后，可以得到，且边上，则的度数为（ ） A. 56° B. 50° C. 46° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质和等边对等角的性质，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B的度数． 【详解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上， ∴AC=AC′，∠C=∠AC′B′， ∴∠C=∠AC′C， ∵∠C=65°， ∴∠AC′B′＝∠AC′C=65°， ∴∠B′C′B=180°-∠AC′B′－∠AC′C=50°， 故选B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边对等角的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 8. 在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 红色 B. 黄色 C. 蓝色 D. 绿色 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为， 摸到红球出现的频率， 摸到黄球出现的频率， 摸到蓝球出现的频率， 摸到绿球出现的频率， ∴该球的颜色最有可能是绿球， 故选：． 9. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 根据正多边形的边数求出圆心角的度数．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接，， 为正五边形， ， ； 故选：B 10. 坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（    ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同 ，，， ， 又 ． 故选：B． 二、填空题（共6小题） 11. 计算：_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值和负整数指数幂的意义，可得答案. 【详解】1-=. 故答案为. 【点睛】本题考查了绝对值和负整数指数幂的意义，熟练掌握绝对值和负整数指数幂的运算法则是解题关键. 12. 七边形的内角和是________度． 【答案】900 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 13. 如图是甲、乙两组数据的统计图，则较为稳定的数据是______组（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即可得出答案． 【详解】解：根据统计图可得：乙的成绩波动范围是，甲的成绩波动范围是，乙的成绩波动小，数据更稳定，则两人成绩较为稳定的是乙． 故答案是：乙． 14. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 15. 若，则的值为________________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及已知式子的值，求代数式的值，先整理得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵ ∴ 把代入， 得 故答案为：0 16. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂：随的增大而减小；关于的函数图象位于第一、第三象限；当为时，抙动石头至少需要的力；当抙动石头需要的力，至少为；上面四种说法正确的是_____．（只填序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质，由题意知，，则，根据反比例函数的图象与性质，反比例函数的实际应用对各说法进行判断即可，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】解：由题意知，则，， ∵， ∴随的增大而减小， 故正确，符合题意； 由题意知，关于的函数图象位于第一象限， 故错误，不符合题意； 当时，， 故正确，符合题意； 当时，， 故正确，符合题意； 故答案为：． 三、解答题（共9小题） 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为：． 18. 已知：如图，点在边上（不与点，点重合），在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点，，．有以下四个结论：；；；请选一个正确结论进行证明． 【答案】证明： 选： 在和中， ， ∴， ∴； 选： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 选： 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质逐一判断即可，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】首先把括号内的分式通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法运算即可化简，再代入数值计算即可． 【详解】解： = = = 当，时 原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，正确对分式的分子、分母进行分解因式是关键． 20. 班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．    若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元． （1）分别求出这两款车的每千米行驶费用； （2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5000元和7600元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元 （2）当每年行驶里程大于时，买新能源的年费用更低 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用，根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为： （元）， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， （元），（元）． 答：燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元． 【小问2详解】 解：设每年行驶里程为． 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源的年费用更低． 21. 为了有效引导学生学习环保知识，增强环保意识，某校九年级举行第一次“环保知识测试”，并将K班第一次测试成绩数据整理成统计表． 第一次测试成绩 测试成绩x(分) 人数(人) 4 28 8 4 6 请解决问题1： （1）求该班在第一次“环保知识测试”中，学生测试成绩x（分）为“”的频率； （2）若该校九年级学生有600人，且各班对环保知识了解程度大体一致，请估计该年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数； 第一次测试后，王老师带领K班学生积极开展了环保主题实践活动活动后，该班参加第二次“环保知识测试”，并将第二次测试成绩分成A：，B：，C： ，D：四组进行统计分析，绘制了各组人数占比扇形统计图． 请解决问题2： （3）请至少选择两种以上的统计量，分析比较K班的第一次和第二次的测试数据变化情况，并对王老师带领K班学生开展环保主题实践活动的效果进行评价． 【答案】（1）； （2）120人； （3）从中位数看，该班第一次“环保知识测试”成绩的中位数在范围内，第二次“环保知识测试”成绩的中位数在范围内， ∴从中位数看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩； 从频率的看，该班第一次“环保知识测试”成绩在80分以上的频率为， 第二次“环保知识测试”成绩在80分以上的频率为， ∴频率角度看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩； ∴老师带领学生积极开展环保主题实践活动的效果非常好． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，求频率，用样本估计总体，求中位数等等： （1）根据频率频数总数进行求解即可； （2）用600乘以第一次“环保知识测试”中成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案； （3）从中位数和“环保知识测试”成绩在80分以上的频率的角度出发进行描述即可． 【详解】解：（1）， ∴该班在第一次“环保知识测试”中，学生测试成绩x（分）为“”的频率为； （2）人， ∴估计该年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数为120人； （3）略 22. 某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度， 与药物施用量的关系数据统计如下表： 0 4 6 8 10 15 18 21 25 21 19 16 14 10 7 4 10 18 22 27 31 40 45 52 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象． 任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式． 任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围． 【答案】 任务1：如图：即为所求； 任务2：，, 任务3： 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，正确求出植物的生长高度，与药物施用量的关系式是解题的关键． （1）运用描点，连线的方法画出函数图像即可； （2）运用待定系数法求解函数解析式即可； （3）分和两种情况分别建立不等式进行求解，然后借助函数图像即可解答． 【详解】解：任务1：略 任务2：选取两点分别代入可得：，解得， ∴； 选取两点分别代入；得：解得， ∴； 任务3：当时， 解得：． 当，时，解得，． ∴. ∴在时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态． 23. （1）如图，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）中，若以为直径的圆上与相交于点，若，且，求弧的长　　　　　． 【答案】（）如图，点为所求； （）． 【解析】 【分析】（）先作的垂直平分确定的中点，再以点为圆心，为半径作圆，然后作交于点； （）连接，先证明为等腰直角三角形得到，再由（）作法得，利用三角形内角和计算出，则可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算； 本题考查了尺规作图，等边三角形和等腰三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，弧长计算公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）略 （）连接，如图， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（）作法得， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形, ∴， ∴弧的长度， 故答案为：． 24. 抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点． （1）求的坐标； （2）若对任意的实数，且当取其范围中的最小值时，代数式的值都不大于． 求出抛物线的解析式； 点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点做轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形，当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）点； （2）抛物线的解析式为；或． 【解析】 【分析】（）由得抛物线的对称轴为，再利用即可求解； （）由过，得，则设的值都不大于，，则，求出，因此对任意的实数都成立时取其范围中的最小值，故抛物线的解析式为； 由当点在上方时且在轴左侧时和当点在下方时且在轴右侧时两种情况讨论即可； 本题考查了二次函数的图象及性质和与特殊四边形的关系，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∴，即， 解得：， ∴点； 【小问2详解】 ∵过， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∵代数式的值都不大于， ∴， ∵，即， ∴， ∴对任意的实数都成立时，， ∴取其范围中的最小值， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线的解析式为， ∴，，， 如图，当点在上方时且在轴左侧时， ∴解得：， 如图，当点在下方时且在轴右侧时， ∴，解得：， 综上可知：或． 25. 如图1，在正方形中，点在上（不与点，重合），点在边上，，连接，交于点． （1）如图，连接与交于点，连接交于点． 求证：； 当=时，求的值； （2）如图，若是的中点，以点为圆心，为半径作，是上的一个动点，连接交于点，求的最大值． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ， （2）． 【解析】 【分析】() 证明，得到，再证明，得，证明出即可； 作于，利用，得出，， 设为单位，，，利用表示出，再由列出方程，解得，即，在中，由勾股定理得：，则，由四边形是正方形得，证明，求出，然后代入求值即可； () 过点作，交的延长线于，连接，延长交于点，分析出当点与相切时，满足题意，设为单位，求出，再计算解答即可. 【小问1详解】 ①略 解: 作于，如图， ∵， ∴，， 由（）得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 设为单位，则， 设，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，即， ∴， 由（）得， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作，交的延长线于，连接，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当最大时，的值最大， 即的值最大， ∴当与距离最大时，即当点与相切时，满足题意， ∴， ∵， ∴共线， 设为单位， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $