精品解析：四川省达州市通川区2026年中考适应性测试数学试题

2026年中考适应性测试 数学试卷 本试卷为闭卷考试，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷2至6页，共6页．考试时间120分钟，满分150分． 温馨提示： 1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信息是否一致． 2．客观题必须使用2B铅笔，在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；主观题用0.5毫米黑色签字笔作答，作答必须写在答题卡的对应框内，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效． 3．保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀． 4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国是一个严重缺水的国家，淡水资源总量为28000亿立方米，人均淡水资源低于世界平均水平，因此珍惜水、保护水是我们每一位公民的责任，其中数据28000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据：6，7，9，6，9，10，11，6．则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 9和7.5 B. 6和7 C. 6和8 D. 6和7.5 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则为（ ） A. B. C. D. 7. 下列语句叙述正确的是（ ） A. 矩形是中心对称图形但不是轴对称图形 B. 三角形的三条高所在直线交于一点 C. 有一个角是 的等腰三角形都相似 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式 技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 内接于 ，是 的直径，点P是的中点，连接 ，若，则 的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 3.5 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ） A. ②④⑤ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 若，则_________． 13. 若为方程的两个实数根，则的值为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段 经过原点，以 为边作等边 ，反比例函数恰好过点B，则k的值为______． 15. 如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 16. 按要求完成各题 （1）计算： （2）解二元一次方程组： 17. 已知 ， ， ， ， 五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中， 所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去 基地的大约有___________人； （3）甲、乙两所学校计划从 ， ， 三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率． 18. 如图， 为的对角线，点E在 边上． （1）尺规作图：求作点E，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，，，求证：． 19. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线 与轴交于点 ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）是轴上一点，且，求点的坐标； 20. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 21. 某商场准备购进甲、乙两种文具，若每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同． （1）求每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元？ （2）该商场购进甲、乙两种文具共90个，且购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍．若每个甲文具的售价为8元，每个乙文具的售价为12元，问该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大？最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 22. 如图， 是 的直径，点C在 上，点E是的中点，延长 交的延长线于点D，点F在 的延长线上，，垂足为G． （1）求证：是 的切线； （2）若，求的长． 23. 小强发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行． 他想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小强记录了一个运行周期内部分温度及对应时间的数据如表所示： 时间 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 温度 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； （2）结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想、验证可得： 当时，y与x的函数表达式为______； 当时，y与x的函数表达式为______； （3）冰箱的一个运行周期时长为______分钟； （4）当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是______． 24. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点 ，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为 ，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 ，使得？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在 中，点M，N分别为 ， 上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 （1）如图1，当 为等边三角形时，小颖发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接 ，则，请思考并证明； 【类比探究】 （2）小颖尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在 中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；； 【拓展延伸】 （3）李老师提出新的探究方向：如图3，在 中，，，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考适应性测试 数学试卷 本试卷为闭卷考试，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷2至6页，共6页．考试时间120分钟，满分150分． 温馨提示： 1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信息是否一致． 2．客观题必须使用2B铅笔，在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；主观题用0.5毫米黑色签字笔作答，作答必须写在答题卡的对应框内，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效． 3．保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀． 4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为 的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 ． 3. 我国是一个严重缺水的国家，淡水资源总量为28000亿立方米，人均淡水资源低于世界平均水平，因此珍惜水、保护水是我们每一位公民的责任，其中数据28000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：数据28000亿用科学记数法表示为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，分别运用单项式除法法则，积的乘方法则，平方差公式和完全平方公式计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 5. 一组数据：6，7，9，6，9，10，11，6．则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 9和7.5 B. 6和7 C. 6和8 D. 6和7.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：∵从小到大排列此数据为：6，6，6，7，9，9，10，11，数据6出现的次数最多， ∴众数为6，中位数为 故选：C． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．由平行线的性质求出，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 7. 下列语句叙述正确的是（ ） A. 矩形是中心对称图形但不是轴对称图形 B. 三角形的三条高所在直线交于一点 C. 有一个角是的等腰三角形都相似 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题为概念辨析题，需要逐一判断各选项对应几何概念的正误． 【详解】解：∵ 矩形对边中点连线所在直线是矩形的对称轴，因此矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，因此A错误； ∵ 任意三角形的三条高所在直线一定交于一点，符合三角形的基本性质，因此B正确； ∵ 有一个角是的等腰三角形，可以是顶角，也可以是底角，两个三角形内角可能不同，不一定相似，因此C错误； ∵ 对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅满足垂直相等无法判定，因此D错误． 8. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为 ，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设下载量的日平均增长率为 ．根据首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设下载量的日平均增长率为 ． 根据题意，得， 故选：C． 9. 如图， 内接于 ， 是 的直径，点P是的中点，连接 ，若，则 的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∴． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ） A. ②④⑤ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据函数的图象确定各参数的取值范围即可； ②根据对称轴得出对称点，然后特殊值代入进行求解即可； ③根据特殊值得出，利用平方差公式进行整理即可； ④根据对称轴得出，然后根据特殊值求解即可； ⑤根据二次函数的顶点坐标进行求解即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于 轴的右侧， ∴符号相异， ∴ ； ∵抛物线与 轴交于正半轴， ∴； ∴，故①错误； ②根据对称轴为直线， ∴与关于对称轴对称， ∵当 时，， ∴当时，，即； 故②正确，符合题意； ③由函数图象可知，当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ④根据对称轴为直线得，， ∴， 当时，， ∴ ∴， 故④正确，符合题意； ⑤当时， 值最大，即最大， ∴，（）， ∴， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确选项为②④⑤， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围是解题的关键；由题意易得且，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且； 故答案为且． 12. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，把代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 13. 若为方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 3 【解析】 【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系可得到，，，则，再代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵ 是方程 的实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段 经过原点，以 为边作等边 ，反比例函数恰好过点B，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，反比例函数的图像与性质，等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点 作轴于点 ，过点 作轴于点，设，则，由 是等边三角形，，推出，，证明，得到，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点 作轴于点 ，过点 作轴于点， 设，则， 是等边三角形，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 15. 如图，都是等腰直角三角形，点均在 轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，然后归纳面积的规律并按照规律求解即可． 【详解】解：如图，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入得：，解得：， ∴，， ∴， 同理求得， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 16. 按要求完成各题 （1）计算： （2）解二元一次方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 17. 已知 ， ， ， ， 五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中， 所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去 基地的大约有___________人； （3）甲、乙两所学校计划从 ， ， 三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率． 【答案】（1） 补全的条形统计图如右图所示； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及用树状图或列表法求概率． （1）先根据扇形统计图以及条形图中选择C基地的人数以及占比求出抽取学生的总人数，然后再求出选择B基地的人数即可补全条形统计图． （2）直接用 乘以选择D基地人数得占比即可求出 所在的扇形的圆心角的度数，用总体乘以选项 基地的占比即可推知整体． （3）列出树状图或表格然后用概率公式即可求出两校恰好选取同一个基地的概率． 【小问1详解】 本次抽取的学生有：（人）， 其中选择 的学生有：（人）； 【小问2详解】 在扇形统计图中， 所在的扇形的圆心角的度数为：， 该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去 基地的大约有：（人）， 【小问3详解】 树状图如下所示： 由上可得，一共有9种等可能性，其中两校恰好选取同一个基地的可能性有3种， 两校恰好选取同一个基地的概率为． 18. 如图，为的对角线，点E在 边上． （1）尺规作图：求作点E，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，，，求证：． 【答案】（1） 如图，点E为所求： （2） 证明：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴ 是直角三角形，且， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）作出BD的垂直平分线，交AD于点E即可； （2）先根据勾股定理的逆定理证明 为直角三角形，再利用等角的余角相等得出，然后由“等角对等边”即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的做法与性质、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、余角的性质以及等腰三角形的判定等知识，解决本题的关键是掌握垂直平分线的作法． 19. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线 与 轴交于点 ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2） 是 轴上一点，且，求点 的坐标； 【答案】（1）， （2）点 的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数中，求得m的值，即可求得反比例函数解析式；将B点坐标代入所求反比例函数式中，可求得n的值，从而得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设，即，由可求得 的面积为3，则得，即可求得点M的坐标． 【小问1详解】 解：将A点代入反比例函数中，得， 解得：， ∴反比例函数表达式：， 将B点代入反比例函数中，得， 解得：，即， 将A、B两点代入一次函数中， 得， 解得：， ∴一次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：设，即，如下图， 对于一次函数， 令 ，则，即， ∵，， 而 ， ∴，解得：， ∴或． 20. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 【答案】58m 【解析】 【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解． 【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则． 又∵， ∴四边形ACHG是矩形． ∴． 由题意，得． 在中，， ∴（m）﹒ ∵是的外角， ∴． ∴． ∴m． 在中， ∴(m)． ∴． 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键． 21. 某商场准备购进甲、乙两种文具，若每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同． （1）求每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元？ （2）该商场购进甲、乙两种文具共90个，且购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍．若每个甲文具的售价为8元，每个乙文具的售价为12元，问该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大？最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 【答案】（1）5元、8元；（2）当该商场应购进甲种文具68个、乙种文具22个时，才能使销售完这批文具时利润最大，最大利润是292元 【解析】 【分析】（1）根据每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同，可以列出相应的分式方程，从而可以求得每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元； （2）根据（1）中的结果和题意，可以得到利润和甲种文具数量的关系，再根据购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍，可以求得甲种文具数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大，最大利润是多少元． 【详解】解：（1）设每个乙文具的进价为x元，则每个甲文具的进价为（x﹣3）元， 由题意可得： 方程两边同乘以x（x﹣3），得 200x＝320（x﹣3）， 解得x＝8， 经检验，x＝8是原分式方程的解， ∴x﹣3＝5， 答：每个甲文具和每个乙文具的进价分别是5元、8元； （2）设购进甲文具a个，则购进乙文具（90﹣a）个，利润为w元， w＝（8﹣5）a+（12﹣8）×（90﹣a）＝﹣a+360， ∴w随a的增大而减小， ∵购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍， ∴a≥3（90﹣a）， 解得a≥67.5， ∴当a＝68时，w取得最大值，此时w＝﹣68+360＝292，90﹣a＝22， 答：当该商场应购进甲种文具68个、乙种文具22个时，才能使销售完这批文具时利润最大，最大利润是292元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系进行求解计算. 22. 如图， 是 的直径，点C在 上，点E是的中点，延长 交的延长线于点D，点F在 的延长线上，，垂足为G． （1）求证：是 的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ，如图所示， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则，再由等边对等角推出，则可证明，进而证明，据此可证明结论； （2）设 的半径为r，则， ，由勾股定理得，解方程可求出，，，证明，得到，据此代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 的半径为r，则， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴，即， ∴． 23. 小强发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行． 他想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小强记录了一个运行周期内部分温度及对应时间的数据如表所示： 时间 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 温度 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； （2）结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想、验证可得： 当时，y与x的函数表达式为______； 当时，y与x的函数表达式为______； （3）冰箱的一个运行周期时长为______分钟； （4）当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）； （3）36 （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式，再逐一验证即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想，当时，y与x的函数为一次函数，当时，y与x的函数为反比例函数， 当时，设y与x的函数表达式为， 把代入函数解析式得： ，解得：， ∴当时，设y与x的函数表达式为； 当时，y与x的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，y与x的函数表达式为； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； 【小问4详解】 解：当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，总共为124分钟， ∵， ∴124分钟冰箱运行3个周期零16分钟， 当时， ， ∴冰箱内的温度是 ， 故答案为：． 24. 如图，抛物线经过，两点，与 轴交于点 ，连接 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线 ：经过点A，点为直线 上的一个动点，且位于 轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点 （点 在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； （3）如图3，设抛物线的顶点为 ，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 ，使得？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段PQ和QM的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值； （3）先利用锐角三角函数证明出，进而得到F点的其中一个位置，在BC另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）∵经过点A， ∴， ∴， ∴直线 ：； 设，则， ∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称， ∴M点横坐标为， ∴； 又∵， ∴， 当时，的值最小，为； ∴该矩形周长的最小值为； （3）存在，或； 由（2）可知，， ∵抛物线的函数表达式为：； 且， ∴顶点D坐标为， 如图4，作DE⊥QM， 因为，， ∴； 又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B， ∴ 令，解得：，； ∴,, ∴, ∴， ∴当F点在点A处时，能使得，此时; 如图5，在BC另一侧，当时，， 过C点作CN⊥BH，垂足为点N， 由角平分线的性质可得：CN=CO=2， ∴BN=BO=4， 由勾股定理可得：且, 即，且； 解得：，; ∴ 设直线BH的函数解析式为：， ∴， ∴， ∴直线BH的函数解析式为：， 联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得： 解得：（与B点重合，故舍去），或， ∴， 综上可得，抛物线上存在点 ，使得，或． 【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等． 25. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在 中，点M，N分别为 ， 上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 （1）如图1，当 为等边三角形时，小颖发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】 （2）小颖尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在 中，，，于点E，交 于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接 ，．试猜想四边形的形状，并说明理由；； 【拓展延伸】 （3）李老师提出新的探究方向：如图3，在 中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵ 为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点 逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， 如图所示，将绕点 逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $