计数原理、排列组合 分类专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

计数原理、排列组合层级问题分类专练 1、 单选题 (一)分类加法计数原理 1．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．7 2．定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 (二)分类乘法计数原理 3．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是（   ） A．5 B．6 C．11 D．30 4．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 (三)捆绑法 5．5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 6．有3对双胞胎孩子站成一排拍照，则每对双胞胎必须相邻的排法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．96种 (四)隔板法 7．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 8．把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 (五)插空法 9．将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 10．某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（    ） A．72 B．96 C．144 D．240 (六)综合训练 二、多选题 11．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种 12．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（    ） A．3名男生排在一起，有6种不同排法 B．2名女生排在一起，有48种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 2、 填空题 (七)数字排列成数问题 13．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 14．从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个. 3、 解答题 (八)排列问题综合 15．将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 16．现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，2名女学生相邻； (2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)2名女学生之间只有2名男学生． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 计数原理、排列组合层级问题分类专练 1、 单选题 (一)分类加法计数原理 1．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B【详解】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种， 元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种， 所以. 2．定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 【答案】D 【详解】按照百位数字进行分类讨论： 当百位数是1，后两位相加为7，有8种；当百位数是2，后两位相加为6，有7种； 当百位数是3，后两位相加为5，有6种；当百位数是4，后两位相加为4，有5种； 当百位数是5，后两位相加为3，有4种；当百位数是6，后两位相加为2，有3种； 当百位数是7，后两位相加为1，有2种；当百位数是8，后两位相加为0，有1种； 总共有种. (二)分类乘法计数原理 3．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是（   ） A．5 B．6 C．11 D．30 【答案】D【详解】根据分步乘法计数原理不同的取法种数为种； 4．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 【答案】B 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择；然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择.根据乘法原理，总共有种选法. (三)捆绑法 5．5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为. 由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：. 6．有3对双胞胎孩子站成一排拍照，则每对双胞胎必须相邻的排法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．96种 【答案】C【详解】将每对双胞胎孩子捆绑在一起，然后再排列，有种排法. (四)隔板法 7．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 【答案】C 【详解】我们可以把10个名额排成一排，会产生9个空隙， 要分成7组，需要插入6个隔板，不同的隔板位置对应不同的分配方案， 所以分配方案数就是从9个空隙中选6个的组合数，即. 8．把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 【答案】B 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球，问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. (五)插空法 9．将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】方法一：由题意，事件总数有种， 将2个1放入3个2排好后形成的4个空隙中，有种，， 方法二：由题意，将3个1和2个2随机排成一行，可以是： ，共10种排法， 其中2个2不相邻的排列方法为：， 共6种方法，故2个2不相邻的概率为. 10．某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（    ） A．72 B．96 C．144 D．240 【答案】C【详解】第一步除代表甲与代表乙以外的3名代表的排法有种， 第二步由代表甲与代表乙不相邻，利用插空法，将代表甲与代表乙插入其他3名代表排好后产生的4个空位，方法为种，第三步将记者安排在两端有种， 所以共有种排法. (六)综合训练 二、多选题 11．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种 【答案】ABC 【详解】对于A，若甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲和乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有（种），故A正确； 对于B，最左端排甲时，有种不同的排法， 最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法， 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（种），故B正确； 对于C，因为甲，乙不相邻，先排甲，乙以外的三人，再让甲，乙插空，则有（种），故C正确； 对于D，甲，乙，丙按从左到右的顺序排列的排法有（种），故D不正确． 12．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（    ） A．3名男生排在一起，有6种不同排法 B．2名女生排在一起，有48种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 【答案】BC【详解】解：由题意得： 对于选项A：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有种，A错误； 对于选项B：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有种，B正确； 对于选项C：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有种，C正确； 对于选项D：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有种，D错误. 2、 填空题 (七)数字排列成数问题 13．从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 【答案】18 【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有种选择；而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有种选择，所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为种选择. 14．从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个. 【答案】167 【详解】当百位数小于3时，共有个；当百位数为3，十位数小于2时，此时共有个；当百位数为3，十位数为2时，共有个. 综上所述，共有个. 3、 解答题 (八)排列问题综合 15．将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【详解】（1）先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）； （2）分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）． （3）分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）； （4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法． （5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）. 16．现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，2名女学生相邻； (2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)2名女学生之间只有2名男学生． 【详解】（1）因老师站在最中间，2名女生相邻，可先考虑从4个男生中选1人与女生在同侧有种， 这三个人与另外三个男生在老师两侧有种，女生与同侧的男生排序有种， 女生内部排序有种，另一边的三个男生排序有种， 由分步乘法计数原理，不同的排法有种； （2）先排老师和女生共有种站法，再排男生甲有种站法，最后排剩余的3名男生有种站法，所以共有种不同的站法； （3）先任选2名男生站两名女生中间，有种站法， 再将这两名男生和两名女生进行捆绑与剩余的3个人进行全排有种， 由分步乘法计数原理，共有种不同的站法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $