排列中的基础问题训练 -2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

排列中的基本问题训练 题型速览 一、无限制与有限制的排列问题 二、相邻问题——捆绑法 三、不相邻问题——插空法 四、定序问题 五、拓展题型（路灯问题、圆桌问题、空座问题） 典型例题 一、无限制与有限制的排列问题 1．8个人排队： (1)排成一排共有多少种不同的排法？ (2)排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 2．用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 3．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有______个． 4．现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有________种. 5．某电影要在所大学里轮流放映，则不同的轮映顺序有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为_______． 7．六人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 8．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________． 9．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 10．从6名运动员中选出4人参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有_________种． 二、相邻问题——捆绑法 11．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲、乙必须相邻； (2)甲、乙、丙在一起． 12．某演唱会中有4名男歌手与2名女歌手，演出的出场顺序要求2名女歌手之间恰有2名男歌手，则出场方案有______种． 13．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 14．杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 三、不相邻问题——插空法 15．已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 16．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，（1）若程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种； （2）若程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有________种． 17．已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 四、定序问题 18．五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 19．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 20．五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种. (1)A，B，C三人左中右顺序不变（不一定相邻）； (2)A在B的左边且C在D的右边（可以不相邻）. 五、拓展题型（路灯问题、圆桌问题、空座问题） 21．一条街道上原有6个不同的路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个不同的路灯，则一共有多少种不同的安装方法？ 22．5个学生围桌而坐，共有多少种排法？ 23．有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 排列中的基本问题训练 题型速览 一、无限制与有限制的排列问题 二、相邻问题——捆绑法 三、不相邻问题——插空法 四、定序问题 五、拓展题型（路灯问题、圆桌问题、空座问题） 典型例题 一、无限制与有限制的排列问题 1．8个人排队： (1)排成一排共有多少种不同的排法？ (2)排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用排列的定义，计算8个不同元素的全排列数； （2）将前后两排视为一排，或用分步乘法计数原理先选前排再排后排，均转化为8个元素的全排列问题； （3）沿用前后排等价于一排的分析思路，分步排列前排3人和后排5人，结果仍为8个元素的全排列数. 【详解】（1）由排列的定义知共有种不同的排法． （2）8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数； 也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有种排法， 第二步：剩下的4人放在后排共有种排法， 由分步乘法计数原理知共有种排法． （3）同（2）的分析可知，共有（种）． 2．用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据全排列规则，计算结果即可. 【详解】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 3．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有______个． 【答案】144 【分析】要使其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，只需分步完成，先排奇数位数字，再排偶数位数字即可. 【详解】依题意可分两步完成： 第一步，将四个数在奇数位上全排，有种方法， 第二步，将三个数在偶数位上全排，有种方法， 由分步乘法计数原理，共有这样的七位数个． 故答案为：144. 4．现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有________种. 【答案】 【分析】将个医疗小组全排列即可. 【详解】依题意将个医疗小组全排列即可，即不同的分配方法共有种. 故答案为：. 5．某电影要在所大学里轮流放映，则不同的轮映顺序有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】依题意只需将所大学全排列即可. 【详解】依题意只需将所大学全排列即可，即不同的轮映顺序有种. 故选：C 6．某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为_______． 【答案】36 【分析】采用捆绑法和间接法即可求解. 【详解】先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排， 再减去数学排第一节的排法即可， 即不同排法的种数为． 故答案为：36. 7．六人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） 【分析】（1）解法一：特殊元素优先排法，先安排甲再排其余人可得；解法二：特殊位置优先考虑法，先排两端的再排其余的可得；解法三：间接法，先不考虑限制计算总数，再考虑减去甲在两端的情况可得； （2）先排甲乙两个人再排其余人可得； （3）解法一：间接法，先计算总数有种排法，再减去甲站左端有，乙站右端有，再加上甲站左端且乙站右端有，从而可得结果；解法二：以甲的位置分两类计算，一类甲站右端有，二类甲在中间四个位置且乙不站右端有，进而可得结果. 【详解】（1）法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法， 然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理， 共有（种）站法． 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法， 然后其余4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有（种）站法． 法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法， 从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有（种）． （2）首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种， 再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理， 共有（种）站法． （3）法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种， 甲在左端且乙在右端的站法有种，共有（种）站法． 法二：以元素甲分类可分为两类：第一类，甲站右端有种； 第二类，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有种， 故共有（种）站法． 8．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________． 【答案】18 【分析】利用分步乘法计数原理将问题分成三步，分别求得各步骤的方法数，再相乘可得结果. 【详解】根据题意，只适合当学习委员，有1种情况，不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法， 剩余的3人担任剩余的工作，有（种）情况， 由分步乘法计数原理可得出共有（种）分工方案． 故答案为：18 9．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 10．从6名运动员中选出4人参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有_________种． 【答案】252 【分析】由题意用从6名运动员中选出4人参加4×100接力赛，共有不同的出场顺序总数减去甲跑第一棒的出场顺序数和乙跑第四棒的出场顺序的种数，再加上甲跑第一棒同时乙跑第四棒的出场顺序数，即得答案. 【详解】首先从6名运动员中选出4人参加4×100接力赛，共有不同的出场顺序为种， 其中甲跑第一棒的出场顺序有种，乙跑第四棒的出场顺序有种， 甲跑第一棒同时乙跑第四棒的出场顺序有种， 故甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有种， 故答案为：252 二、相邻问题——捆绑法 11．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲、乙必须相邻； (2)甲、乙、丙在一起． 【答案】(1)240 (2)144 【分析】（1）方法一：利用捆绑法，将甲、乙“捆绑”在一起当成一个元素与其他4名学生排列即可求解；方法二：利用间接法和插空法，先求当甲、乙不相邻时的排法，最后利用间接法求出甲、乙必须相邻的排法即可； （2）利用捆绑法，将甲、乙、丙“捆绑”在一起当成一个元素与其他3名学生排列即可求解. 【详解】（1）方法一：捆绑法：第1步，将甲、乙“捆绑”在一起当成一个元素与其他4名学生排列，有种排法； 第2步，排甲、乙，有种排法，所以共有（种）排法． 方法二：间接法和插空法：当甲、乙不相邻时，第1步，先排列除甲、乙之外的4名学生，有种排法； 第2步，如图所示，在排好的4名学生的5个空隙中选择其中2个空隙排甲、乙，有种排法， 所以共有（种）排法．所以甲、乙必须相邻的排法共有（种）．    （2）捆绑法：第1步，将甲、乙、丙“捆绑”在一起当成一个元素与其他3名学生排列，有种排法； 第2步，排甲、乙、丙，有种排法，所以共有（种）排法． 12．某演唱会中有4名男歌手与2名女歌手，演出的出场顺序要求2名女歌手之间恰有2名男歌手，则出场方案有______种． 【答案】144 【分析】先从4名男歌手，选2名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起看做一个元素和另外的2名男歌手进行全排列，问题得以解决． 【详解】由于要求有“女男男女”这样的小团体，故需先组团， 从4名男歌手中选2名排入2女歌手之间，有种（2名女歌手之间自排有种）， 把这2男2女组成的小团体视为1人，与其余2名男歌手进行排列，有种， 由乘法原理知，出场方案共有（种）. 故答案为：144. 13．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 【答案】A 【分析】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得. 【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类： 第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种， 再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法. 由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个. 故选：A. 14．杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 【答案】B 【分析】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解. 【详解】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素， 先排除去丙的5个元素，共有种排法， 再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法， 所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种. 故选：B. 三、不相邻问题——插空法 15．已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 (4)种 【分析】针对相邻问题，采用捆绑法；不相邻问题，采用插空法；情况比较多时，可以间接法. 【详解】（1）（捆绑法）将甲，乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有种排法．甲，乙两人可交换位置，有种排法．故共有种排法． （2）方法一（间接法）：7人任意排列，有种排法．甲、乙两人相邻有种排法，故共有种排法． 方法二（插空法）：将其余5人排列，有种排法．5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有种排法．故共有种排法． （3）（捆绑法）将甲，乙，丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有种排法，甲，乙，丙三人有种排法，共有种排法． （4）（插空法）将其余4人排好，有种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有种排法．故共有种排法． 16．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，（1）若程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种； （2）若程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有________种． 【答案】 96 288 【分析】（1）利用捆绑法及特殊位置分析法分析即可； （2）分B，C相邻和B，C不相邻两种情况利用捆绑法和插空法求解. 【详解】（1）首先，程序A只能出现在第一步或最后一步，有2种方法；其次，将程序B和C看作一个元素，有4个位置可以选择，而B与C又可交换位置，所以有种方法；最后将剩余的3个程序进行排列，有种方法．综上所述，实验顺序的编排方法共有（种）． （2）当B，C相邻，且与D不相邻时，有（种）方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时有（种）方法，故共有288种编排方法． 故答案为：，288 17．已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】由分类加法、分步乘法原理计算即可求解. 【详解】（i）若排在从左到右的第二个位置， 则不能排在从左到右的第一个位置，否则只能相邻，但这与题意矛盾， 若不能排在从左到右的第三或第四个位置， 则此时有种不同的排法； （ii）若排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时有种不同的排法； 由加法原理可知，所求为. 故选：A. 三、定序问题 18．五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 【答案】 【分析】用5个元素的全排列个数除以2各元素的全排列个数可得答案. 【详解】五个人并排站在一排，共有种， 其中甲、乙两人共有种顺序，各占一半， 所以甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)的不同的排法有种， 故答案为：60 【点睛】本题考查了排列中的定序问题，一般地，个元素排成一排，其中个元素的定序排列的种数为，属于基础题. 19．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为______． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 20．五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种. (1)A，B，C三人左中右顺序不变（不一定相邻）； (2)A在B的左边且C在D的右边（可以不相邻）. 【答案】(1)20 (2)30 【分析】（1）先将5人全排列，再消去A，B，C三人的顺序. （2）先将5人全排列，再消去A，B的顺序与C，D的顺序. 【详解】（1）首先五个人站成一排，共有种排法，其中A，B，C三人的全排列有种排法，而A，B，C从左到右的顺序只是其中一种，所以满足条件的排法共＝20(种). （2）首先五个人站成一排，共有种排法，其中A，B的全排列有种排法，C，D的全排列有种排法，因为A和B，C和D被指定了顺序，则满足条件的排法共＝30(种). 四、拓展题型（路灯问题、圆桌问题、空座问题） 21．一条街道上原有6个不同的路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个不同的路灯，则一共有多少种不同的安装方法？ 【答案】504 【分析】利用插空法及分步乘法计数原理得解. 【详解】第一步，原来6 个路灯的中间空位和两端共有7 个空位，将其中一个路灯插入这些空位中，有种方法； 第二步，7个路灯的中间空位和两端共有8个空位，再插入第二个路灯，有种方法； 第三步，8个路灯的中间空位和两端共有9个空位，将最后一个路灯插入，有种方法． 由分步乘法计数原理可得，共有= 504 种不同的安装方法． 22．5个学生围桌而坐，共有多少种排法？ 【答案】24 【分析】根据圆桌的特点，没有首尾之分，因此要固定一人位置， 再排其余4人，求出答案即可． 【详解】由围桌坐成圆形，没有首位之分， 所以固定其中任意一人，并从此位置把圆展开成一条直线， 只要让其余4人进行全排列，即有种排法． 23．有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？ 【答案】72 【分析】根据题意，把这三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单独放置的，先三人坐着人的座位全排列，再把两组不同的空位插入到三个人产生的四个空位里，即可求解. 【详解】根据题意，有6个座位连成一排，安排3个人就坐，有3个空座位， 把这三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单独放置的， 将三个坐着人的座位全排列，共有种情况， 再把两组不同的空位插入到三个人产生的四个空位里，由种， 根据分步计数原理可得，共有种不同的坐法. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $