精品解析：2026年山东省烟台市蓬莱区中考一模数学试题

2026年初四数学一模试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。 1. 是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去右上方的一部分，则剩下的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接AP，能判断一定是等腰三角形的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ） A. B. 该函数图象的顶点位于第四象限 C. 该函数的最大值不小于 D. 方程没有实数根 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 13. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 14. 如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 15. 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪n刀，绳子变为________段． 16. 如图，在正方形中，，点从点出发，沿边运动到点，连接，过点作交于点，在点的运动过程中，以为边，在上方作等边，则边的中点所经过的路径长是_______． 三、解答题（本大题共8个题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获得最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数/分 80 85 90 95 人数/人 3 7 6 4 根据图形信息，解答下列问题： （1）获得“秦九韶奖”的学生有________人，并补全条形统计图； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______，众数是__________； （3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 19. 项目式学习：为了解智能机械臂的工作情况，某学习小组进行了如下研究： 课题 智能机械臂的工作情况 素材 如图①，水平操作台为l，底座固定，测得，始终与平台l垂直，连杆，，B，C是转动点，，与始终在同一平面内，张角可在与之间变化，可以绕点C转动，张角可在与之间变化，机械臂端点D处装有一个爪子，工作时在操作台上抓取物品． 状态 状态一（工作状态，如图②） 状态二（静止状态，如图③） 图示 （1）工作状态时，机械臂所能抓取的物品离操作台的竖直距离称为工作距离，当，，此时工作距离最大，求工作距离的最大值； （2）静止状态时，机械臂的端点D置于地面，之间的距离称为安全距离，求安全距离的最小值． 20. 某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． （1）请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 21. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． （1）根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； （2）求反比例函数的表达式； （3）轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 22. 为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． （1）如图1，求证：为圆O切线； （2）如图2，过点A作交于点D，求证； （3）在（2）的条件下，连接，当时，，求的长． 23. 综合与探究： 如图，在菱形中，，点P是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作交BC于点E，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转得到线段PF，点D的对应点F恰好落在射线BC上． 问题解决： （1）线段AP与BE之间的数量关系是________； （2）求的度数． 拓展探究： （3）连接PB，若，，PF与CD交于点G．请直接写出GF的长． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初四数学一模试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。 1. 是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根；根据算术平方根的定义，表示的算术平方根，结果为． 【详解】解：∵表示的算术平方根，且， ∴ ． 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意． 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 5. 如图所示，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去右上方的一部分，则剩下的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键．注意，存在看不见的部分用虚线表示．从正面看，确定左视图即可． 【详解】解：几何体的左视图为： 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 7. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先将分母互为相反数的分式进行变形，化为同分母分式，再根据同分母分式的加减法法则进行计算，最后化简得到结果． 【详解】解： ． 8. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定定理，正方形的判定定理，含30度角的直角三角形的性质．根据菱形的判定方法和正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的四个图形中， 第一个四边形中，，， ∴，不是菱形； 第二个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， ∴第二个四边形是菱形； 第三个图形是菱形，如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 第四个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 四个角都等于， ∴第四个四边形是正方形； 综上，是菱形但不是正方形的有2个． 故选：B． 9. 如图，已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接AP，能判断一定是等腰三角形的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：图①，作的直线是线段的垂直平分线，不能保证是等腰三角形； 图②，以点B为圆心，为半径画圆，交于点P，有，所以是等腰三角形； 图③，作线段的垂直平分线，交于点，有，所以是等腰三角形； 图④，作的直线是角平分线，不能保证是等腰三角形； 综上所述，图②与图③，作图是等腰三角形，答案选B． 10. 已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ） A. B. 该函数图象的顶点位于第四象限 C. 该函数的最大值不小于 D. 方程没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次函数的增减性确定开口方向与对称轴的位置，再据此逐一分析选项的正确性． 【详解】解：∵当时，的值随值的增大而减小， ∴抛物线开口向下，即，且对称轴为轴或在轴左侧， ∴对称轴． 又∵， ∴可推出． 对于选项A：∵，， ∴，故A错误． 对于选项B：顶点的横坐标为， ∴顶点可能在轴的左侧或轴上，不在第四象限，故B错误． 对于选项C：∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标， ∵抛物线过点，开口向下， ∴顶点在上方或与重合，即最大值不小于，故C正确． 对于选项D：方程的判别式， ∵， ∴，，方程有两个不相等的实数根，故D错误． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由分式有意义的条件得，由二次根式有意义的条件得，解不等式求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 12. 如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】（或或或）（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查图形的中心旋转，此图案是正五边形，然后根据正五边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ∴n可以为（或或或）． 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 13. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，扇形与圆锥的关系，掌握弧长公式是解题关键． 先构造直角三角形求出扇形圆心角，再利用“扇形弧长等于圆锥底面周长”的等量关系列方程，解出底面半径． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意，，， ，， ， 扇形的圆心角，半径， ， 设底面圆的半径为，则， 解得，即圆锥的底面半径为． 故答案为：． 15. 如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪n刀，绳子变为________段． 【答案】## 【解析】 【分析】通过观察剪1刀、剪2刀时绳子的段数，分析段数与刀数的数量关系，归纳得出剪刀时绳子段数的通用表达式． 【详解】解：当剪刀时，段数为：； 当剪刀时，段数为：； 当剪刀时，段数为：； ； 由此归纳，剪刀时，绳子变为段． 16. 如图，在正方形中，，点从点出发，沿边运动到点，连接，过点作交于点，在点的运动过程中，以为边，在上方作等边，则边的中点所经过的路径长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，， 可得，点，，，四点共圆， 连接，则，进而得到 点在以点为端点，上方且与射线夹角为的射线上， 过作于点， 在中，通过含角直角三角形的性质结合勾股定理即可得出点所经过的路径长． 【详解】 解：如图，连接，取的中点，连接，， 在等边中，，是的中点， ，， 是的中点， ， 在中，，是的中点， ， ， 点，，，四点共圆， 连接，则， 点在以点为端点，上方且与射线夹角为的射线上， 如图，过作于点， 点从点出发，沿边运动到点， 点从点沿运动到点， 在中，， ， ，， 点所经过的路径长是． 三、解答题（本大题共8个题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2） 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获得最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数/分 80 85 90 95 人数/人 3 7 6 4 根据图形信息，解答下列问题： （1）获得“秦九韶奖”的学生有________人，并补全条形统计图； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______，众数是__________； （3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）分；分 （3） 【解析】 【分析】（1）从两个统计图可知，被调查的学生中获得“祖冲之奖”人数除以所占比例，即可求出被调查学生的总数，进而求出获“秦九韶奖”的学生人数，求出获“刘徽奖”的学生人数即可补全条形统计图； （2）根据中位数、众数的定义进行计算即可； （3）用树状图表示从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取2人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：被调查学生总数为（人）， 获得“秦九韶奖”的学生人数为（人）， 获得“刘徽奖”的学生人数为（人）， 【小问2详解】 解：将获得“祖冲之奖”的学生成绩从小到大排列，处在第10位和第11位的数据为85分和90分， 获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是分， ∵获得“祖冲之奖”的学生成绩出现次数最多的是85分，共出现7次， 众数是分； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 一共有12种等可能性的情况，其中恰好抽到甲和乙的有2种可能， 恰好抽到甲和乙的概率为． 19. 项目式学习：为了解智能机械臂的工作情况，某学习小组进行了如下研究： 课题 智能机械臂的工作情况 素材 如图①，水平操作台为l，底座固定，测得，始终与平台l垂直，连杆，，B，C是转动点，，与始终在同一平面内，张角可在与之间变化，可以绕点C转动，张角可在与之间变化，机械臂端点D处装有一个爪子，工作时在操作台上抓取物品． 状态 状态一（工作状态，如图②） 状态二（静止状态，如图③） 图示 （1）工作状态时，机械臂所能抓取的物品离操作台的竖直距离称为工作距离，当，，此时工作距离最大，求工作距离的最大值； （2）静止状态时，机械臂的端点D置于地面，之间的距离称为安全距离，求安全距离的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）过点D作，垂足为点F，过点B作，垂足为点G，易证得四边形为矩形，进而得到、，在中，，进而求出，利用求解即可； （2）过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为H，易证得四边形为矩形，则，，在中，、，在中，根据勾股定理求出长，利用求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点D作，垂足为点F，过点B作，垂足为点G， 由题意得，当工作距离最大时，，， 、、， ， 四边形为矩形， 、， ， 、， ， ， ， 在中，， ， ， 即工作距离的最大值为； 【小问2详解】 解：由题可知，当张角达到最小，即时，之间的距离即为安全距离的最小值， 如图，过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为H， 、、， ， 四边形为矩形， ，，， 在中，， ， ， 、， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即安全距离的最小值为． 20. 某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． （1）请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 【答案】（1）每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元 （2）0.2元 【解析】 【分析】（1）设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，根据题意列出分式方程求解． 【小问1详解】 解：设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元， 根据题意得 解得， 答：每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元； 【小问2详解】 解：设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，优惠后每本手账本的单价为元，每个钥匙扣的单价为元， 根据题意得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个钥匙扣降低的价格是0.2元． 21. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． （1）根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； （2）求反比例函数的表达式； （3）轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察函数图象特点，即可得出解集； （2）运用待定系数法，将点代入直线表达式，求出n，再将点A坐标，代入反比例函数，即可求出反比例函数表达式； （3）过点P作，垂足为点D，根据条件，得出点P的纵坐标，代入反比例函数表达式，得到横坐标；根据直线方程特点，求出B点坐标，最后根据，即可得到所求． 【小问1详解】 解：观察函数图象，点A左侧，反比例函数的图象在直线上方，再结合题目给出的条件，所以不等式成立的解集为：； 【小问2详解】 解：过点， 代入直线解析式，得：，即点， 反比例函数也过点A， 代入得：， 所以反比例函数的表达式为：． 【小问3详解】 解：如图所示，过点P作，垂足为点D， 轴于点C，点A的坐标为， ， ， ， 点P的纵坐标为2， 把代入，解得． ， ． 在中，当，解得， ， ， ， ． 22. 为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． （1）如图1，求证：为圆O切线； （2）如图2，过点A作交于点D，求证； （3）在（2）的条件下，连接，当时，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， （垂径定理）， ， ， ， ， 切圆O于点C， ， ， 为半径， 为圆O切线； （2） 证明：如图，连接， 为圆O直径， ， ∵， , ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ． （3） 【解析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵O，F分别是和的中点， （三角形中位线定理） 设，则， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ． 23. 综合与探究： 如图，在菱形中，，点P是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作交BC于点E，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转得到线段PF，点D的对应点F恰好落在射线BC上． 问题解决： （1）线段AP与BE之间的数量关系是________； （2）求的度数． 拓展探究： （3）连接PB，若，，PF与CD交于点G．请直接写出GF的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）四边形是菱形，，得到是等边三角形，平行线切分的小三角形也是等边三角形，等边减等边，得到结果； （2）连接，由菱形的对称性，易得，所以； 由，得，由（1）知是等边三角形，，可证，所以，再证，得，减去公共角，得到最终结果：； （3）连接，交于点O，分两种情况：①当点P在上时，②当点P在上时，分别求解即可． 【小问1详解】 ，理由如下： 四边形是菱形，，， 是等边三角形， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接，如下图： 四边形是菱形，，， 是等边三角形， 是对角线， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 也是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：连接，交于点O， 由（2）可知：是等边三角形，， 四边形是菱形， ， ， ， ， 分两种情况： ①点P在上，如下图： ， 由（1）可知，， ， 由（2）可知，， ， ， ． ②点P在上，如下图： ， 由（1）可知：， ， 由（2）可知，， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将抛物线与x轴、y轴交点坐标，代入抛物线表达式，即可求出； （2）先求出两直线的表达式，联立求出点Q的坐标，分的两部分以为底，则高相等，两部分面积比等于底边之比；过点P、点Q向x轴做垂线，将面积之比转换成，横坐标差值比；再将面积比分两种情况，分别求出点P坐标； （3）在y轴上取点，，所以，当N在y轴正半轴时，点N在上，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴负半轴时，根据轴对称性求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $