精品解析：2025年山东省烟台蓬莱区中考一模数学试题

2025年初四数学一模试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是：． 故选：A． 2. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查从不同角度观察图形．画出从左边看到的图形即可求解． 【详解】解：从左面看到的平面图形为 故选：A 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项计算不正确，不符合题意； B、，故此选项计算正确，符合题意； C、，故此选项计算不正确，不符合题意； D、，故此选项计算不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，把一张长方形纸片沿上下两边中点连线向右折叠成第二个图形，再沿左右两边中点的连线向下折叠成第三个图形，然后沿左上角的平分线向右上折叠成第四个图形，并在如图所示的位置剪去一个钝角三角形．最后把纸片全部展开，得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，画轴对称图形,根据轴对称图形的特征逐步推理是解题的关键．从第4个图开始，根据轴对称图形的特征进行倒推，一直倒推到第一个图，即可判断答案． 【详解】解：从第4个图反过来推得第三个图为： 再推得第二个图为： 最后推得第一个图为： 故选：B． 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴可得，进而可得，，据此即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 6. 如图是一台电脑E盘属性图的一部分，从中可以看出该硬盘容量的大小．该硬盘的可用空间约为（ ）字节(精确到亿位) A. B. C. 148000000000 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，取近似数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位．的绝对值与小数点移动的位数相同，确定的值是解题的关键． 【详解】解：该硬盘的可用空间约为， 故选：． 7. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 的权数是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算公式，平均数，中位数，样本容量，权数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据可得出样本容量，平均数，中位数，权数的信息，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A. 样本容量是，正确，故该选项不符合题意； B. 平均数是，正确，故该选项不符合题意； C. 数据从小到大排列，第五和第六个数是，， 中位数是， 故该选项错误，符合题意； D. 的权数是，正确，故该选项不符合题意； 故选：C ． 8. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人分9两，还差8两．问银有几两？设银有两，则（ ） A. 6 B. 8 C. 42 D. 46 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程在生活中的实际应用，解题的关键是：读懂题意，根据题目中的条件，建立等量关系． 设银有两，根据人数不变列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设银有两， 解得：， 即银子共有两． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，且点的坐标为，点是对角线的中点．将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由每次旋转，每旋转6次为一个循环，确定第2024次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同，再有点的坐标和特殊角三角函数值，确定，继而可得出菱形和点旋转后的位置，根据图像求解即可． 【详解】解：∵每次旋转，， ∴每旋转6次为一个循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同，即菱形绕原点顺时针旋转， ∵点的坐标为，，， ∴与轴的夹角为，， ∴， ∴第2024次旋转结束时点（）的位置如图所示： ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 又∵点是对角线的中点， ∴点的坐标为，即， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，点的坐标与图形的旋转，根据特殊角三角函数值求角的度数，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2024次旋转后点的位置是解题的关键． 10. 如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解和根与系数关系是关键． 先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 13. 如图，已知，射线平分，C是上一点，，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点D．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角等于已知角，平行线的判断和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是得到为等腰三角形．作，根据作图易得，证明为等腰三角形，利用三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于E， 由作图可知：， ∴， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为4，点O是的中点，以点O为圆心作弧，与相切，交，于点E，F．将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，解直角三角形，先根据相切得到圆的半径，然后根据余弦得到圆心角，然后代入弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形与边切于点G，则， ∵是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 而点为边的中点， ， 在中， ， ∴， 同理可得， ∴， ∴圆锥的底面圆周长为， ∴该圆锥的底面半径长为． 故答案为：． 15. 已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有__________．（填序号） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④当时，． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数的图像与性质等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 首先将代入一元二次方程，可求得，即可判断①；确定，即可确定该抛物线的对称轴，再求得，，可确定顶点坐标为，即可判断②；结合，，，可知，即可判断③；由题意易知该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，且当时和当时，函数值相等，易得，进而可得当时，，即可判断④． 【详解】解：由题意，一元二次方程有两实根， ∴得，由②①，可得． ∴，故①正确； 由可得， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线的顶点为， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴顶点坐标为，故②不正确； ∵， ∴， 又∵，， ∴，故③正确； ∵，且抛物线的对称轴是直线， ∴该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 又∵， ∴当时和当时，函数值相等， ∴当时，可有， 即当时，，故④正确． 综上，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 16. 在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得，将线段绕点顺时针旋转得，得，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分．解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程．） 17. 化简求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】当x=﹣3时，原式=﹣，当x=﹣2时，原式=﹣1． 【解析】 【分析】先化简分式，再解不等式组求得x的取值范围，在此范围内找到符合分式有意义的x的整数值，代入计算可得． 【详解】原式=÷ =• =， 解不等式组， 解不等式①，得：x＞﹣4， 解不等式②，得：x≤﹣1， ∴不等式组的解集为﹣4＜x≤﹣1， ∴不等式的整数解是﹣3，﹣2，﹣1． 又∵x+1≠0，x﹣1≠0∴x≠±1， ∴x=﹣3或x=﹣2， 当x=﹣3时，原式=﹣， 当x=﹣2时，原式=﹣1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，求分式的值时，一定要选择使每个分式都有意义的未知数的值. 18. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）__________，__________，__________； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）①18； ②补全第1小组得分条形统计图如下， （2）5；；3 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图，求中位数和众数，利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）①利用360度乘以“得分为1分”所占的比例求出圆心角的度数；②根据总数减去其它组的人数求出分的人数，补全条形图即可； （2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①； 故答案为：18； ②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人）， 补全第1小组得分条形统计图略； 【小问2详解】 由条形图可知，得到5分的人数最多，故； 由扇形图可知：； 由折线图可知，第10个和第11个数据均为3分， ∴； 【小问3详解】 由题意，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴． 19. 晒甲河项目是我区画河文化旅游综合改造项目的重要组成部分，在建设过程中十分重视便民利民．其中，规划的晒甲河湿地公园一个休闲区域是一个四边形，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为入口，经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，，若米．（参考数据：，，） （1）求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） （2）小明从A地步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，请分别求出、的长度． 【答案】（1）1738.4米 （2）、的长度分别为米和米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-方位角、等腰三角形的判定与性质，理解题意，正确画出示意图是解答的关键． （1）如图，过作，先根据方位角关系得到，利用锐角三角函数求得求得米，米，再根据角度间的计算得到，进而求得即可解答； （2）过点D作交的延长线于点F，先根据等腰三角形的判定得到，根据锐角三角函数求得米，再求得，再利用正切定义求得米，米即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：如图：过作， ∵， ∴， 米， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可得：， ∴， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米），（米）， ∴米， 答：、的长度分别为米和米． 20. “低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 （1）求a，b的值； （2）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （3）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】（1） （2）A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元 （3）该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）根据第一周和第二周的销售额建立方程组求解即可； （2）设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，根据用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等建立方程求解即可； （3）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，分别求出售出A型车和B型车的销售额，二者求和可得w关于x的函数关系式，再列不等式求出m的取值范围，进而根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元， 根据题意得， 解得： 经检验是原分式方程的解． （元） 答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元． 【小问3详解】 解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元， 由题意得：， 由，解得， 取整数，，10，11，12， ∵随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时（元）． 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元． 21. 如图，直线与双曲线相交于点A、B，已知点A的横坐标为1， （1）求直线的解析式及点B的坐标； （2）以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式． 【答案】（1）y=-0.5x+2；点B坐标为（3，0.5）；（2）过点C的双曲线解析式为． 【解析】 【分析】（1）把点A横坐标代入反比例函数解析式，可求出点A坐标，代入可求出直线解析式，联立反比例函数与一次函数解析式即可得点B坐标； （2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为，根据点A、B坐标可求出AB的长，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC=，根据两点间距离个数求出m、n的值即可得点C坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可得答案． 【详解】（1）∵点A在双曲线上，点A的横坐标为1， ∴当x=1时，y=1.5， ∴点A坐标为（1，1.5）， ∵直线与双曲线相交于点A、B， ∴k+2=1.5， 解得：k=-0.5， ∴直线的解析式为y=-0.5x+2， 联立反比例函数与一次函数解析式得， 解得：，（舍去）， ∴点B坐标为（3，0.5）． （2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为， ∵A（1，1.5），B（3，0.5）， ∴AB==， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC==， ∴， 整理得：， ∴， 解得：， ∴或0（舍去）， ∴点C坐标为（，2）， 把点C坐标代入双曲线解析式得：， 解得：， ∴过点C的双曲线解析式为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键． 22. 已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． （1）请写出与之间的数量关系，并证明； （2）求证：点E是线段的黄金分割点． 【答案】（1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在中，，，，点在斜边上． （1）作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ； （3）设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ． 【答案】（1） 就是所求的图形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形； （2）当圆心在上时，连接，则，由切线的性质可得，根据勾股定理得到，证明得到，求出，即可求解； （3）作于点，连接、、，根据等面积法求出，由可知是的直径，得到，当，且的值最小时，则的值最小，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：作法：连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形； 证明：连接， 点在的垂直平分线上， ， 经过点， 是的半径，且， 与相切于点， 就是所求的图形； 【小问2详解】 如图2，当圆心在上时，连接，则， 与相切于点， ， ， ∠ACB＝90°，AC＝3，， ， ， ， ， ＝， ， 解得:， 的半径长为， 故答案为：． 【小问3详解】 如图3，作于点，连接、、， ， ， 解得:， ， 是的直径， ， ， ， 当，且的值最小时，则的值最小， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识． 24. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； （3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）求出直线的表达式为，设，则，，分情况表示出，，结合，列方程求出，即可求解； （3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数图像的交点，平移等知识点进行解答即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线过原点， ， 将代入抛物线中，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，，其中． 当在点上方时，，． ∵， ∴． ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当M在N点下方时， ． ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴满足条件的点M的坐标有两个． 【小问3详解】 解：存在，满足条件的点的坐标有 4 个． 如图，若是四边形的边， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的对称轴与直线相交于点， 联立， 解得：或（舍去）， ， 过点分别作直线的垂线交抛物线于点， ， ， ， ， ， ∴点与点重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到． ∴向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到， 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与抛物线的交点， ∴， 解得：（舍去）． ， 当时，四边形是矩形， ∵向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． ∴向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． 如图，若是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为． 可得， ， ， 设， ， ∵点不与点重合， 和， ， ， ∴如图，满足条件的点有两个． 即． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向向平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形，进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初四数学一模试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一张长方形纸片沿上下两边中点连线向右折叠成第二个图形，再沿左右两边中点的连线向下折叠成第三个图形，然后沿左上角的平分线向右上折叠成第四个图形，并在如图所示的位置剪去一个钝角三角形．最后把纸片全部展开，得到的图形是（ ） A. B. C. D. 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一台电脑E盘属性图的一部分，从中可以看出该硬盘容量的大小．该硬盘的可用空间约为（ ）字节(精确到亿位) A. B. C. 148000000000 D. 7. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 的权数是 8. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人分9两，还差8两．问银有几两？设银有两，则（ ） A. 6 B. 8 C. 42 D. 46 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，且点的坐标为，点是对角线的中点．将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 13. 如图，已知，射线平分，C是上一点，，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点D．则__________． 14. 如图，正方形的边长为4，点O是的中点，以点O为圆心作弧，与相切，交，于点E，F．将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径长为__________． 15. 已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有__________．（填序号） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④当时，． 16. 在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分．解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程．） 17. 化简求值：，其中x是不等式组的整数解． 18. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）__________，__________，__________； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 19. 晒甲河项目是我区画河文化旅游综合改造项目的重要组成部分，在建设过程中十分重视便民利民．其中，规划的晒甲河湿地公园一个休闲区域是一个四边形，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为入口，经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，，若米．（参考数据：，，） （1）求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） （2）小明从A地步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，请分别求出、的长度． 20. “低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 （1）求a，b的值； （2）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （3）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 21. 如图，直线与双曲线相交于点A、B，已知点A的横坐标为1， （1）求直线的解析式及点B的坐标； （2）以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式． 22. 已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． （1）请写出与之间的数量关系，并证明； （2）求证：点E是线段的黄金分割点． 23. 在中，，，，点在斜边上． （1）作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ； （3）设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； （3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $