精品解析：北京市朝阳区北京中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学

2025~2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题50分和非选择题100分 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定为（ ） A. ， B. ，都有 C. ， D. ，都有 3. 某班学生的考试成绩中，数学优秀的占，语文优秀的占，两门都优秀的占，已知一学生数学优秀，则他的语文也优秀的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. “”是“不等式的解集为空集”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 52种 7. ，则（ ） A. B. C. D. 8. 设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 9. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 10. 当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（ ） A. 3200 B. 1600 C. 1550 D. 800 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 二项式的展开式中的常数项是________．（用数字作答） 12. 某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为. 从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为____________. 13. 要将甲、乙、丙、丁4名同学分到，，三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为______.（用数字作答） 14. 已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为________． 15. 已知函数；若方程恰有三个根，写出一个满足条件的实数为__________. 16. 如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线的一部分，给出下列四个结论： ①点在上； ②在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为整数； ③若在轴上方的部分为函数的图象，则是的极小值点； ④在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若是的极大值点，证明此时的极小值小于零. 18. 某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体 （收入<20万元/年） 中收入群体 （收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. （1）在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； （2）从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； （3）若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 19. 已知椭圆：的左焦点，. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，过点作斜率为且不经过焦点的直线，直线与椭圆交于不同两点，，直线，与轴正半轴分别交于点，.求证：的值为定值. 20. 已知函数． （1）求的最小值； （2）求证：； （3）设，已知，求x的取值范围． 21. 已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. （1）若（），写出集合； （2）若（），且（），求的最小值. （3）若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题50分和非选择题100分 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式可化为， 故不等式的解集为 ，又， 所以. 2. 命题“，使得”的否定为（ ） A. ， B. ，都有 C. ， D. ，都有 【答案】D 【解析】 【详解】根据存在量词命题的否定形式可知，命题“，使得”的否定为“，都有”. 3. 某班学生的考试成绩中，数学优秀的占，语文优秀的占，两门都优秀的占，已知一学生数学优秀，则他的语文也优秀的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设为事件“数学优秀”，为事件“语文优秀”， 则 由条件概率公式， 所以当一学生数学优秀，则他的语文也优秀的概率为． 4. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，判断选项. 【详解】A.若，当，，当，，故A错误； B. 若，则，故B正确； C. 若，当，则，故C错误； D. 当且仅当时，才有，故D错误. 5. “”是“不等式的解集为空集”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】“不等式的解集为空集”等价于“不等式在上恒成立”， 其充要条件为，即. 因为能推出，推不出， 所以“”是“不等式的解集为空集”的充分不必要条件. 6. 立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 52种 【答案】B 【解析】 【详解】数列排在第一道的排序方法有种； 数列排第二道时，第一道有种排法，第三、四、五道有种. 根据分步乘法计数原理，数列排第二道时的排序方法有种. 根据分类加法计数原理，不同的题目分配方式有：种. 7. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，得，解得， 等式左边的最高次项是，所以， 所以． 8. 设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 9. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 10. 当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（ ） A. 3200 B. 1600 C. 1550 D. 800 【答案】B 【解析】 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 二项式的展开式中的常数项是________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，写出展开式的通项公式，令，得到，代入即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项公式， 令，可得，则常数项为. 故答案为：. 12. 某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为. 从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全概率公式的应用，根据各品牌手机的销售占比和优质率， 分别求出甲乙两种品牌的优质品概率，概率相加即可解决问题. 【详解】解：由甲品牌的销售量占比为，则乙品牌的销售量占比为， 所以（买到优质品）. 13. 要将甲、乙、丙、丁4名同学分到，，三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为______.（用数字作答） 【答案】12 【解析】 【分析】根据A班人数分类讨论，最后根据分类计数加法原理求结果. 【详解】由题意可分两类， 第一类，甲与另一人一同分到，有种； 第二类，甲单独在，有种，共12种 故答案为：12 【点睛】本题考查分类计数加法原理、排列组合应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性和导数之间关系，即可解不等式. 【详解】由导函数图象可知当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增， 因为，，当时，， 即不等式的解集为； 故答案为： 15. 已知函数；若方程恰有三个根，写出一个满足条件的实数为__________. 【答案】， 【解析】 【分析】本题可将方程根的问题，转化为函数图像交点的问题，先分析分段函数每段情况，画出函数图像. 要使方程恰有三个根，即函数与函数有三个不同的交点，观察图像可知，当时，均可满足方程有三个根，从而解决问题. 【详解】解：当时，，令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减，因此为的极大值点， 此时极大值，亦为最大值，因此，； 当时，，由二次函数开口向上，对称轴， 所以，函数图像如下所示， 要使方程恰有三个根，则函数与函数有三个不同的交点， 由图可知，当时，函数与函数均有三个不同的交点， 即方程恰有三个根，可以取. 16. 如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线的一部分，给出下列四个结论： ①点在上； ②在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为整数； ③若在轴上方的部分为函数的图象，则是的极小值点； ④在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据题意将点代入曲线方程中判断是否在曲线上；求出切线方程并与曲线方程联立判断交点情况；对函数求导，求出单调性得到极小值点；设曲线上的一点，求得点到原点距离，构造函数求出最小值与比大小即可. 【详解】对于①，将点代入到曲线方程中得，，所以点在曲线上，故①正确. 对于③，当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则是的极小值点，故③正确. 对于②，由③可知，，则以为切点的切线方程为 ，即， 将切线方程代入到曲线方程中得， ，即， 显然是方程的根，所以， 解得或，故②错误. 对于④，设的解为， 则当，单调递增； 当时，单调递减， 又， ， ， 所以， 设曲线上的点，则， 到原点的距离为， 由可得， 令，则， 令，因为，所以取， 当 时，单调递增； 当时，单调递减， 又， 所以当时，，则，故④正确. 故答案为：①③④ 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若是的极大值点，证明此时的极小值小于零. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可； （2）根据是的极大值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极小值，进一步证明即可. 【小问1详解】 当时，函数，. 则. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 函数的定义域为， . 若是的极大值点，则，即，解得. 当时，， . 令，则或，即或； 令，则，即. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以是的极大值点，符合题意. 所以在处取得极小值，极小值为. 18. 某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体 （收入<20万元/年） 中收入群体 （收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. （1）在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； （2）从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； （3）若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 【答案】（1）  （2）分布列见解析, （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率来估计概率即可； （2）由于是从该市全体中来抽取，即从总体中来抽取，故用频率估计概率，再结合独立事件同时发生用乘法公式和分类加法原理来求解； （3）利用全概率公式来进行求解.   【小问1详解】 由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； 【小问2详解】 用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计， 由题意可知X可能取值为0，1，2，3， 分布列如下： X 0 1 2 3 p 【小问3详解】 低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 利用全概率公式可得： 所以 19. 已知椭圆：的左焦点，. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，过点作斜率为且不经过焦点的直线，直线与椭圆交于不同两点，，直线，与轴正半轴分别交于点，.求证：的值为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据左焦点坐标和及的关系，求出的值，进而求出椭圆的方程； （2）设直线的方程为：，联立椭圆与直线方程，根据韦达定理求出求出为定值，进而证明. 【小问1详解】 因为椭圆：的左焦点，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 证明：设直线的方程为， 联立，消去并化简得， 又，其中， 且 设，则有， 所以 ， 即， 又，所以， 所以的值为定值. 20. 已知函数． （1）求的最小值； （2）求证：； （3）设，已知，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数研究的单调性，从而得到最小值； （2）由，构造函数，利用导数判断出单调性得到，即，所以得证； （3）先利用导数判断函数在上单调递增且 ，所以当时，成立；再证明时，，进而得出结果. 【小问1详解】 由题得， 令得到， 在上，，所以在上单调递减； 在上，，所以在上单调递增； 所以的最小值为. 【小问2详解】 由得到， 令，， 令，则， 令得到， 在上，，所以在上单调递减； 在上，，所以在上单调递增， 由 ，且当时，,故： 当 时，，即，所以在上单调递减； 当 时，，即，所以在上单调递增， 所以 ， 即，所以得证. 【小问3详解】 由题得，， 则， 令，则， 在单调递增，， 所以在上，，在上，, 所以 时，函数取得极小值即最小值，， 所以 ，所以函数 在 上单调递增，， 所以当时，成立，当时，成立， 当时，，此时函数单调递减， 因此，而 ，可得 ， 综上得到：. 21. 已知是由，，…，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则.定义：①与的差，②与的距离，其中，. （1）若（），写出集合； （2）若（），且（），求的最小值. （3）若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数. 【答案】（1）； （2）当为偶数时，；当为奇数时，； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据定义直接写出即可； （2）分为偶数和为奇数时讨论即可； （3）设，分析有，三式相加再根据数的性质即可证明. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ①当为偶数时：． 中含有个整数对，其中， 将所有这样的整数对交换位置变为组成， 此时每一个整数对中对应数字之差均为1，那么，则的最小值为； ②当为奇数时： 假设，，不妨设， 则或3，若则，矛盾，以此类推，值，矛盾． 所以． 将中所有数字分成个整数组， 共中含有个整数对，个整数组． 将所有这样的整数对交换位置变为． 此时每一个整数对中对应数字之差均为1， 整数组中对应数字之差为1，1，2，因此， 则的最小值为． 【小问3详解】 设， 因为，所以的值只能为0或1， 故的值等于满足的坐标的个数， 所以和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个， 和中有满足的个数有个． 因为，所以不可能存在互不相等的情况。 设为的个数，为的个数， 为的个数，为的个数。 则，三式相加. 因此为偶数，则，，中含有一个或者三个偶数， 即三个数中至少有一个偶数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $