内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期初二年级阶段试卷（五） 数学学科

**基本信息** 初二年级数学周测试卷聚焦二次根式、特殊四边形及勾股定理，通过基础选择（如二次根式概念）、文化情境填空（九章算术芦苇问题）及分层解答题（正方形动态证明），考查几何直观与推理能力，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|二次根式意义（2）、直角三角形判定（3）、菱形性质（6）|结合方位角考解三角形（7），体现应用意识| |填空题|4/16|二次根式合并（9）、勾股定理应用（10）、矩形翻折（12）|融入古代数学问题（10），渗透文化传承| |计算题|1/10|二次根式运算|基础运算能力考查| |解答题|4/42|平行四边形证明（15）、菱形判定与面积（16）、正方形动态问题（17）|17题含补图及多结论证明，发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年第二学期初二年级周测试卷（五） 数 学 学 科 （本试卷共5页，满分100分，考试时间：60分钟 ） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子中，是二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.若二次根式有意义，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列各组数据中，不能构成直角三角形三条边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.如图，矩形中，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，点表示的数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在菱形中，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏西的方向行海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距海里的点处，若、两点相距海里，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．下列结论：其中正确的有(    ) ≌；；； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.请写出一个能与合并的二次根式      ． 10.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题， 这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形， 在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇 垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为  尺． 11.在矩形中，，则矩形的面积是          ． 12.如图，平面直角坐标系中，长方形 的顶点、 分别位于两坐标轴正半轴，点 的坐标为 ， 为 轴上一动点，连接 ，将 沿 所在直线翻折得到 ，当点 恰好落在 轴上时，点 的坐标为          ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： 四、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分已知与最简二次根式可以加减合并，是的立方根． 求，的值； 求的平方根； 若，求的值． 15.本小题10分 已知，如图，四边形是平行四边形，点、在对角线所在的直线上，． 求证：； 连接、，若，，平分，求四边形的面积． 16.本小题分 如图，在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接 ． 求证：四边形是的菱形 若，，求菱形的面积． 17.本小题分 如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上且，连接． 求证：； 连接，取中点，连接并延长交于，连接， 依题意，补全图形； 求证：； 若，证明：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初二年级周测试卷（五） 数学学科答案解析 （本试卷共5页，满分100分，考试时间：60分钟 ） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子中，是二次根式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，需满足两个条件： 根指数为；被开方数非负．逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，被开方数为负数，不符合条件，排除． 选项B：，根指数为默认省略，被开方数，满足两个条件，是二次根式． 选项C：，根指数为，属于三次根式，不符合条件，排除． 选项D：，，负数，不符合条件，排除． 综上，正确答案为． 故选：． 2.若二次根式有意义，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ； 故选A． 3.下列各组数据中，不能构成直角三角形三条边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D  【解析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：、 ， 三角形是直角三角形， 故不符合题意； 、 ， 三角形是直角三角形， 故不符合题意； 、 三角形是直角三角形， 故不符合题意； 、 三角形不是直角三角形， 故符合题意； 故选：． 4.如图，矩形中，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 先求出，再由矩形性质得，则可证得是等边三角形，则，即可求得长． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， ， 是等边三角形， ， ， 故选：． 5.如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，点表示的数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据题意得到的长，再利用勾股定理得到的长，进而得到的长，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， 由作图可知， 点表示的数为， 故选：． 6.如图，在菱形中，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接交于，根据菱形的性质得出，，，，则可证是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，进而求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接交于， 在菱形中，，， ，，，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：． 7.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏西的方向行海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距海里的点处，若、两点相距海里，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出是解此题的关键求出，根据勾股定理的逆定理得出，根据平角定义求出即可． 【解答】 解：海里，海里，海里， ， ， ， ， 故选C． 8.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．下列结论：其中正确的有(    ) ≌；；； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】根据等腰直角三角形的性质得到，，，，则可根据“”证明≌，于是可对进行判断；利用三角形外角性质得到，加上，则可得对进行判断；由全等三角形得性质和等边三角形得性质得出不正确；证出是直角三角形，由勾股定理得出正确． 【详解】解：和都是等腰直角三角形， ，，，， ， ， 在和中， ≌，所以正确； ，即， 而， ，所以正确； 在上截取，连接，如图所示， 在和中， ， ， 当，是等边三角形， 则，此时， 但无法求证， 故不正确； 由得，≌， ，， ， 是直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故正确； 故选C． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.请写出一个能与合并的二次根式          ． 【答案】答案不唯一  【解析】此题考查了同类二次根式：含有相同的被开方数的最简二次根式，正确掌握同类二次根式的定义是解题的关键．可以合并的二次根式即为同类二次根式，据此解答． 【详解】解： 可以与合并的二次根式是， 故答案为：答案不唯一． 10.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为          尺． 【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．设芦苇的长度为尺，则水深为尺，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于的方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，设芦苇的长度为尺，则水深为尺， 芦苇长在水池中央， 尺， 根据勾股定理，得：， ，解得：， 答：这根芦苇长为尺． 故答案为：． 11.在矩形中，，则矩形的面积是          ． 【答案】  【解析】本题主要考查了矩形的性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理．根据矩形的性质可得，再由含度角的直角三角形的性质，可得，然后根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 矩形的面积是． 故答案为： 12.如图，平面直角坐标系中，长方形 的顶点、 分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为 轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为          ． 【答案】 或  【解析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，先由题意求出，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，轴，轴， 的坐标为 ，  ，  ， 分两种情况： 当点在轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在 中，由勾股定理得 ，  ， 设，则 ， 在中，由勾股定理得 ，  ，  ，  ， 当点在轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在 中，由勾股定理得 ，  ， 设，则 ， 在中，由勾股定理得 ，  ，  ，  ， 故答案为： 或 ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： 【答案】(1)解： ；   (2)解： ． 【解析】  本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． 先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；  根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 四、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 已知与最简二次根式可以加减合并，是的立方根． 求，的值； 求的平方根； 若，求的值． 【答案】(1)解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； (2)解：当，时， ， ∴的平方根； (3)， ∴ ．   【解析】  本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： 根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可；  先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可；  求出的值，将转化为，再代值计算即可． 15.本小题10分 已知，如图，四边形是平行四边形，点、在对角线所在的直线上，． 求证：； 连接、，若，，平分，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵为平行四边形 ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； (2)解：∵， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 则． 【解析】  根据平行四边形的性质得出，，证明，再证明，得出即可；  证明四边形为平行四边形，再证明，得出平行四边形是菱形，根据菱形性质求出菱形的面积即可． 16.本小题分 如图，在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． 求证：四边形是的菱形 若 ， ，求菱形 的面积． 【答案】(1)证明：在中，D，E分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2)解：连接，交于O， ∵四边形 菱形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴ ， ∴菱形BCFE的面积为 ． 【解析】  本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理．根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证；  根据菱形的性质可得，，，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 17.本小题分 如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上且，连接． 求证：； 连接，取中点，连接并延长交于，连接， 依题意，补全图形； 求证：； 若，证明：． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； (2)解：①依题意补全图形如下： ②证明：由（）可知，和都是直角三角形， ∵是的中点， ∴，， ∴； ③证明：由（）可知，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴． 【解析】  证明，可得，进而由，即得，即可求证；  根据题意补全图形即可；根据直角三角形的性质可得，，进而即可求证；由全等三角形的性质得，即得是等腰直角三角形，得到，进而根据等腰直角三角形的性质可证，得到，再根据勾股定理可得，即可求证． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $