精品解析：湖南岳阳市汨罗市第三中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

汨罗市三中2025级高一下学期数学科期中考试试卷 时长120分钟 总分150分 一、单选题 1. 已知为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 如图，在平行四边形中，E为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】E为的中点，， 是平行四边形，， . 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误； 对于B，零向量的长度是0，故B正确； 对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误. 4. 一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用水的体积不变计算可求解. 【详解】设底面的面积为， 当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为， 设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为， 则水的体积为，所以，所以， 设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得. 故选：D. 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，即可求出． 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以，所以， 则， 故选：B． 6. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，， ，故A、B错误； 对于C，四边形的面积为：，即C错误． 对于D，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解. 【详解】由题意， 而，由正弦定理可得，即，解得， 注意到， 从而. 故选：C. 8. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】分别取线段的中点为，则可求得和，再根据即可求出. 【详解】分别取线段的中点为， 因为圆心，则， 则，， 又为边的中点，则， 则. 故选：C 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的性质和运算法则求出复数，进而利用共轭复数的定义，复数的模的计算公式，复平面坐标及几何意义分析判断选项． 【详解】， ， ，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确； 复数满足， 复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， ，故的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 10. 下列四个命题中为假命题的是（ ） A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 【答案】BCD 【解析】 【分析】由点线面的关系，结合平面的基本性质判断A、B、C的真假，根据圆锥的性质及三角形面积公式，知：面积最大的截面为母线夹角最大，即知D的真假. 【详解】A：且为不同的三个点，若为不同平面且，，，，则，则为异面直线与题设矛盾，故为同一平面，正确； B：过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，若三点共线则有无数个平面，错误； C：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，错误； D：通过圆锥两母线的截面中，若轴截面顶角为直角或锐角，要使截面面积最大，即母线夹角最大，此时截面为轴截面，若轴截面顶角为钝角，则顶角为直角的截面面积最大，即面积最大的截面不一定是轴截面，错误； 故选：BCD 11. 如图，已知正方体边长为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积是正方体体积的 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】连接和，得到，利用异面直线所成角的求法，可判定A不正确；利用线面垂直和面面垂直的判定定理，可判定B正确；利用锥体的体积公式，可判定C正确；利用线面角的定义，得到为直线与平面所成角，可判定D错误. 【详解】对于A，连接和，在正方体中，可得， 所以直线与所成角即为直线与所成角， 因为等边三角形，可得，则直线与所成角为，故A不正确； 对于B，在正方体中，可得平面， 因为平面，可得， 又因为正方形，可得，，且平面， 所以平面，又因平面，所以平面平面，故B正确； 对于C，因为平面，所以三棱锥的高， 又由，所以三棱锥的体积为，所以C正确； 对于D，设和交于点，因为平面，即平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正方体的棱长为，可得， 在直角中，可得，所以D错误. 三、填空题 12. 在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，由求解. 【详解】因为向量，对应的复数分别是，， 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题. 13. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3. 【答案】 【解析】 【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为 圆柱体积为 所求几何体体积为 故答案为： 【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角， 平面平面，平面， 所以平面， 因为，，所以，， ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，其中， 解得，即外接球的半径为， 所以该球的体积为. 四、解答题 15. 已知向量，满足，，且，的夹角为． （1）求； （2）求在上的投影向量；（用表示） （3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量模及向量数量积的运算律，计算求解； （2）利用投影向量的计算公式计算求解； （3）结合已知条件构造不等式，解不等式求实数的取值范围 【小问1详解】 已知，，且，的夹角为， ， ． 【小问2详解】 根据投影向量的定义，在上的投影向量为， ，， 投影向量为． 【小问3详解】 已知向量与向量的夹角为钝角， ，且与不反向共线； 则， 即，解得； 若两向量反向共线，则存在实数，使得，， 即，将代入，得到， 由，解得， 与不反向共线， ， 综上可得，实数的取值范围是． 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 【答案】（1） 证明：取中点，连接，， 在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且， 又因为底面ABCD为平行四边形，为的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：连接，交于，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，在中，为中点， 所以为中点. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可知，利用线面平行的判定定理可证平面； （2）连接，交于，连接，因为平面，利用线面平行的性质定理可得，且为中点，可证E是PD中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 设的内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求角的值； （2）若，．，边上的两条中线，相交于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，再利用余弦定理求解； （2）法1：由，，利用余弦定理求得边a，再利用中线长公式求得MC，BN，由是的重心，得到MP，NP，在中，利用余弦定理求解；法2：利用向量法，由，，利用夹角公式求解；法3：以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为y轴，建立直角坐标系，利用夹角公式求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以由正弦定理得：， 整理得：， 所以， 又因为， 所以； 【小问2详解】 法1：因为，， 所以， 由中线长公式知：，， 得，， 又因为是的重心， 所以，， 连结，则， 在中，； 法2：（向量法），， ， ， ， 故，同理得， 所以； 法3：以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为y轴，建立直角坐标系， 则，，， 所以，， 所以 18. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质即可求解； （3）利用空间向量夹角的余弦公式计算即可． 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 ， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以 ， ， 所以． 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以 ， 即. （3） 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汨罗市三中2025级高一下学期数学科期中考试试卷 时长120分钟 总分150分 一、单选题 1. 已知为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，E为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 4. 一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 8. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 10. 下列四个命题中为假命题的是（ ） A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 11. 如图，已知正方体边长为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积是正方体体积的 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题 12. 在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________. 13. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3. 14. 如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 四、解答题 15. 已知向量，满足，，且，的夹角为． （1）求； （2）求在上的投影向量；（用表示） （3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 17. 设的内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求角的值； （2）若，．，边上的两条中线，相交于点，求． 18. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $