湖南岳阳市汨罗市第三中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

汨罗市三中2025级高一下学期数学科期中考试试卷 时长120分钟 总分150分 一、单选题 1. 已知为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，E为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 4. 一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 8. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 10. 下列四个命题中为假命题的是（ ） A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 11. 如图，已知正方体边长为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积是正方体体积的 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题 12. 在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________. 13. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3. 14. 如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 四、解答题 15. 已知向量，满足，，且，的夹角为． （1）求； （2）求在上的投影向量；（用表示） （3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 17. 设的内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求角的值； （2）若，．，边上的两条中线，相交于点，求． 18. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 汨罗市三中2025级高一下学期数学科期中考试试卷 时长120分钟 总分150分 一、单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1） 证明：取中点，连接，， 在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且， 又因为底面ABCD为平行四边形，为的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：连接，交于，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，在中，为中点， 所以为中点. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以 ， 即. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $