10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时-分配、工程、行程问题） 闯关练 2025-2026学年 人教版数学七年级下册

10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时-分配、工程、行程问题） 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册 一、单选题 1．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 2．现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 3．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 4．台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 6．小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ） A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：43 7．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，设从甲地到乙地上坡与平路分别为，依题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 二、填空题 9．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为______． 10．用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板______张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做______个竖式纸盒． 11．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要___________间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要___________间三人间. 12．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 13．一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件．则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为________件． 14．为落实习总书记“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我区政府部门决定由甲、乙、丙三个工程队负责完成一条总工作量为a的公园改造的施工任务．经过一段时间，甲、乙、丙三个工程队完成的工程量之比是为更合理的分任务，经测算，将剩余工程量的交给了丙队，其余工程量由甲、乙两个工程队共同完成，乙工程队再工作一段时间后因另有任务先离开．工程结束时发现，丙队完成的工程量占总工程量的，甲、乙两队完成其余工程的工程量之比为．则乙队完成的工程量与总工程量之比是：______． 15．某同学家离学校4千米，每天骑自行车上学和放学．有一天上学时顺风，从家到学校共用12分钟，放学时逆风，从学校回家共用时20分钟，已知该同学在无风时骑自行车的速度为x千米/时，风速为y千米/时，则根据题意，列出方程组______________． 16．甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是__________千米． 17．自行车轮胎安装在后轮上只能行驶就要报废，安转在前轮上，则可以行驶才报废．为使一对轮胎能够行驶尽可能多的路程后报废，在自行车行驶一段路程后，将前后轮胎进行调换，这样安转在自行车上的一对轮胎最多可以行驶多少________千米． 三、解答题 18．列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 19．春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） (1)水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； (2)水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 20．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 21．草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租）．已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩． (1)每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ (2)若该收割队每小时恰好割草54亩，该收割队的租用方案可以是怎样的？ 22．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶，它们各自单独行驶并返回的最远距离是．现在它们同时从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶中抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．B地最远可距离A地多少千米？ 23．甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．求甲、乙两人的速度． 24．两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B D B C D C 1．D 等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系． 解：由题意，得． 故选：D． 2．B 此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程． 设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，根据一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，盒身与盒底正好配套可知盒底是盒身的两倍，故可列出二元一次方程组． 解：设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套， 列方程为， 故选B． 3．B 本题考查了二元一次方程组的应用，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组即可． 解：设用x 张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得：， 故选：B． 4．D 首先设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到；再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到．联立方程组，即可得到正确的选项． 台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷， 根据题意得：． 故选：D． 本题考查二元一次方程组的实际应用问题，解本题的关键在理解题意，并列出二元一次方程组． 5．B 本题考查二元一次方程组的实际应用，设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨，根据表格列出方程组进行求解即可． 解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨． 根据题意，得，解得：； 答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆汽车平均装物资6吨． 故选B 6．C 设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，根据“10：00时使用甲印制，10：05才开始使用乙一起印制，到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用所需时间=需要印制的总张数甲、乙两影印机的工作效率之和，即可求出结论． 解：设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张， 依题意得：， 解得：， ， 依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在10：42达到2100张． 故选：C． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．D 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用时间路程速度，结合“从甲地到乙地需，从乙地到甲地需”，即可列出关于，y的二元一次方程组，此题得解． 解：从甲地到乙地需， ； 从乙地到甲地需， ， 根据题意得，可列方程组， 故答案为：D． 8．C 此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是分情况讨论． 设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y 根据题意得，或 解得或 ∴甲从A地到B地需要或． 故选：C． 9．12 本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键． 设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个， 由题意得：，解得： ， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故答案为12． 10． 本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解． （1）直接列式计算即可． （2）由x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出x的取值范围即可． 解：（1）制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板； 故答案为： （2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个． 由题意得 解得：； 即； ∵， ∴， 解得：； ∵x是整数， ∴的最大整数为． ∴最多能做个竖式纸盒． 故答案为： 11． 1 8 （1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间； （2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满． 解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人元， 因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间， 花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间， 故答案为：1； （2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元， 此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间， 设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间， 则，， 当，时，满足， 因此27个男生租12个两个间，1个三个间， 此时还剩两人间：（个）， 因此m可以取3，2，1，0， 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，符合题意； 因此需要租三人间：（个）， 故答案为：8． 本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件． 12． 44.5 42.5 本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 13． 25 155 根据一天完成的工件数量与计划完成的工件数额之间的数量关系列出方程组，其中工件数量计算式为：工人数量×平均每人一天完成的件数． 解：设这队工人有x人，全队每天制造的工件数额为y件． 由题意得： 解得： 即：工人有25人，全队每天制造工件数额为155件． 故答案为 ：25；155 本题考查了二元一次方程（组）在工程生产中的应用，根据工人完成的工件数量与计划完成的数额之间的数量关系为思路列出方程组，进而求出解． 14．． 设一开始甲、乙、丙三个工程队完成的工程量为b，则剩余工程量为a-b，然后表示出丙队完成的工程量，根据丙队完成的工程量占总工程量的列出等式，从而得到a与b的数量关系，再表示出乙队完成的工程量，把a与b的数量关系代入计算即可． 解：设一开始甲、乙、丙三个工程队完成的工程量为b，则剩余工程量为a-b， ∴丙队完成的工程量为， ∴， 解得，， 乙队一开始完成的工程量为，后来完成的工程量为， ∴乙队完成的工程量为， ∴乙队完成的工程量与总工程量之比是． 故答案是：． 本题考查工程问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求出一开始完成的工程量与总工程量的数量关系是关键． 15． 本题考查二元一次方程组的实际应用．根据题意，由路程，时间，速度的关系分别列出顺风和逆风时对应的方程即可． 解：根据题意，可列方程组为 ． 故答案为：． 16．154 本题考查的是二元一次方程的应用，设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，根据题意可得，再进一步解方程组即可． 解：设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，则 ， 整理得：， 解得：； ∴， ∴从甲地到乙地的总路程是154千米． 17． 本题考查了应用类问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可． 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为， 又设一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有 ， 两式相加，得， 则， ∴安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶千米． 故答案为：． 18．(1)名工人 (2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人”进行列式，得，可解得答案； （2）设名工人生产桌子，由“张桌子配把椅子”进行列式，可得，即可解得答案． （1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， 答：调入名工人； （2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人）， 设名工人生产桌子，则名工人生产椅子， ∵每天组装的桌椅刚好配套， ∴， 解得：， ∴， 答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 19．(1)购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件 (2)种苹果售价为每件24元时，每天销售利润为96元 本题考查了二元一次方程组和一元二次方程 的应用，根据题意列出方程组或方程是解题的关键． （1）设A种糖心苹果件，B种糖心苹果件，列方程组得，解方程组即可得到答案； （2）设B种苹果每件降价元，得到，求出或， 根据题意舍去，计算即可得到答案． （1）解：设A种糖心苹果件，B种糖心苹果件， 根据题意得：   ，                        解得， 答：商店购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件 （2）解：设B种苹果每件降价元， ，            解得：或 ∵尽快减少库存，舍去， （元） 答：销售价定为每件元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元． 20．(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； (2)能比原来少用天． 本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键； （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可． （1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得． 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 （天）， （天）， 则（天）． 答：能比原来少用天． 21．(1)每台甲型割草机每小时割草6亩，每台乙型割草机每小时割草8亩 (2)可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是∶(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩，根据“已知3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m台甲型收割机，台乙型收割机，根据每小时需要割草54亩，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租用方案． （1）解∶设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩， 依题意得， 解得∶， 答∶每台甲型收割机每小时割草6亩，每台乙型收割机每小时割草8亩； （2）解∶ 设租用m台甲型收割机，n台乙型收割机， 依题意得∶， ， 又均为正整数， 或， 该收割队共有2种租用方案， 方案1∶租用5台甲型收割机，3台乙型收割机； 方案2∶租用1台甲型收割机，6台乙型收割机． 22．B地最远可距离A地 本题考查二元一次方程组的实际应用，设，根据甲车行驶到C地时返回，到达A地时燃料恰好用完，乙车行驶到B地再返回到A地时燃料恰好用完时，B地距离A地最远，列出方程组进行求解即可． 解：设甲车行驶到C地时返回，到达A地时燃料恰好用完，乙车行驶到B地再返回到A地时燃料恰好用完，作示意图如图所示． 设． 根据题意，得， 解得， 故B地最远可距离A地． 23．甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 本题考查二元一次方程组的应用．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两人的速度． 解：设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， ， 解得， 答：甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 24．第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时 本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时，根据题意列方程组即可求解． 解：设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 答：第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时． 学科网（北京）股份有限公司 $