精品解析：福建三明市2025-2026学年初中毕业班第二次教学质量监测数学

2025-2026学年三明市初中毕业班第二次教学质量监测 数学 本试卷共7页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后使用0.5毫米黑色字迹签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比 小的数即可． 【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知， 所以比低的温度是． 故选：． 2. 下列数学符号对应的图形中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. △ B. ⊙ C. ∽ D. ≌ 【答案】D 【解析】 【分析】先明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再逐一判断每个选项，选出既不是轴对称也不是中心对称的选项．轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形．中心对称图形的定义：绕某一点旋转 ，旋转后的图形能与原图形重合的图形． 【详解】A、△，沿底边中线折叠可重合，是轴对称图形，不符合要求； B、⊙，过圆心的直线都是对称轴，圆心是对称中心，既是轴对称也是中心对称图形，不符合要求； C、∽，存在点使旋转 后与原图形重合，是中心对称图形，不符合要求； D、，不存在直线使折叠后重合，也不存在点使旋转 后与原图形重合，因此既不是轴对称图形也不是中心对称图形，符合要求． 3. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图是从立体图形的左边看到的图形解答即可． 【详解】解：将一个“堑堵”按如图方式摆放，从左边看到的图形是 4. 将不等式的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式 解得：， 在数轴上表示如下： 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则逐一判断选项即可． 【详解】A、合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数不变，∴，A错误； B、∵和不是同类项，不能合并，∴，B错误； C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，C错误； D、同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，D正确． 6. 在一组数据1，2，2，3中，再添加一个数据2，得到一组新的数据．新的这组数据与原来的一组数据相比，发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，对比后即可找出发生变化的统计量． 【详解】原数据为： ，共 个数据， ， 排序后原数据中间两个数为，原中位数为， 出现次数最多，原众数为 ， 原方差：； 添加数据 后，新数据为： ，共 个数据， ，平均数不变， 新数据排序后第 个数为 ，中位数为 ，中位数不变， 仍然是出现次数最多的数，众数不变， 新方差： ，方差发生变化， 因此发生变化的统计量是方差． 7. 如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图：过P作于N，利用点P的坐标以及勾股定理可得，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：过P作于N， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产，它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华拨了一颗上珠和一颗下珠作为一个三位数的百位数字，若个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍，且个位数字比十位数字多4，则这个三位数为多少？设个位数字为x，十位数字为y，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得百位数字为，利用已知条件列出方程组即可． 【详解】解：根据题意可得：百位数字有一颗上珠和一颗下珠组成，即百位数字为， 设个位数字为x，十位数字为y， 个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍， ，即， 个位数字比十位数字多4， ， 可列方程组为． 9. 如图，在 与中， ， 相交于点G，且C，D，E，F四点共线．下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：四边形 和是平行四边形， ， 而不一定成立， 故选项A错误； ， ， ， 故选项B正确； 四边形 和是平行四边形， 、， 若要，则需， 而题干中并未给出与相等的条件， 不一定成立， 故选项C错误； ，而题干中并未给出 与相等的条件， 无法得到，即不一定成立， 故选项D错误． 10. 如图，在正五边形内，以 为边作等边 ，再以点A为圆心画．若 ，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正五边形每个内角的度数，结合等边三角形的性质求出的度数，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， 、， 是等边三角形， ， ， 扇形的面积为． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 化简的结果是______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 12. 如图， 中，， 是 的中点，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该性质即可解题． 【详解】解：在中， ， 是 的中点， 线段 是斜边 上的中线； 又， ． 故答案为：． 13. 如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设光线在上方平面镜的反射点为点A、在下方平面镜的反射点为点B， 根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ， 两个平面镜平行， ， 根据光的反射性质、光线在点B处再次反射， ， ． 14. 在函数中，当 时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到m的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，且当 时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m的值可以是1． 15. 某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校1000名学生中随机抽取了50人进行问卷调查，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．根据图中信息估计该校学生中对垃圾分类“了解较多”的人数为_____． 【答案】340 【解析】 【分析】先根据统计图求出抽取的样本中“了解较多”的人数，再利用“样本估计总体”进行求解即可． 【详解】解：抽取的样本中“了解较多”的人数为（人）， 则该校学生中对垃圾分类“了解较多”的人数为人． 16. 在平面直角坐标系中，射线与双曲线和依次交于点A，B，射线与双曲线和依次交于点C，D．对于任意的，给出下列四个结论： ① ；② ；③；④． 其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】先通过联立方程求出四个交点A，B，C，D的坐标，再根据相似三角形的性质与判定，两点间距离公式逐一验证四个结论，得到正确结论即可． 【详解】解：由题意可得如图所示： 过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴， ∴， ∴， 联立，解得：（负根舍去）， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴，故③错误； 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∴ ，故①正确； 由两点间距离公式， ， ， 因为， 所以，故②错误； 综上所述：正确的有①④． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式法再用平方差公式法即可． 【详解】解：原式== 【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式和平方差公式是解题的关键． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 19. 如图，点A是线段 上一点， 由线段 逆时针旋转得到， 平分 ，且 ．求证：． 【答案】 解：由旋转可得，， ， ， 平分， ， ， 在 和 中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到， ，结合角平分线的性质得到，证明，从而得出结论． 【详解】略 20. 求代数式的值，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 21. 如图，在课外体育锻炼中，甲、乙、丙三人做传球的游戏．开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球等可能传给其余两人中的一人． （1）求事件“传球两次，球传回到甲的手中”的概率； （2）事件“传球三次，球传回到甲的手中”是否可能发生？若可能，求该事件的概率；若不可能，说明理由． 【答案】（1） （2）该事件可能发生， 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图，求出所有等可能结果数、符合题意的结果数，利用概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，求出所有等可能结果数、符合题意的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：传球两次后的结果画树状图如下： 共4种等可能结果，其中传回给甲的有2种， 因此，“传球两次，球传回到甲的手中”的概率为； 【小问2详解】 解：该事件可能发生， 画树状图如下： 传球三次，共有8种等可能的结果，其中传回给甲的有2种， 因此，“传球三次，球传回到甲的手中”的概率为． 22. 如图，在菱形中，， ，E是 中点． （1）求的长； （2）在 上求作点F，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） 解：如图，点F为所求作的点． 【解析】 【分析】（1）连接 ，易得 为等边三角形，三线合一，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据，得到 四点共圆，由（1）可知，进而得到圆心为的中点，作的中垂线，确定圆心，再以为直径画圆，圆与 的交点即为点 ． 【小问1详解】 解：连接 ， ∵四边形是菱形， ∴， ． ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∵E是 中点， ∴ ，． ∴在中，， ∵ ， ∴， ∴在中，． 【小问2详解】 略 23. 如图1，C是以 为直径的半圆O上一点，D是 的中点，交 的延长线于点E， ， 相交于点F． （1）求证：； （2）如图2，若O，F，E三点共线，求． 【答案】（1） 证明：解法一：连接 交 于点G，连接 ， ∵D是 的中点， ∴，， ∴， ∵ 为直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 解法二：延长 ， 相交于点N． ∵ 为直径， ∴． ∵D是 的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 交 于点G，连接 ，由D是 的中点结合垂径定理的推论得，，再由得到四边形为矩形，，即可证明； （2）根据三角形中位线得到，由，，，得到，即可证明，得到，设 ，，则，，代入整理得，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解法一：由（1）知，， 又∵ ， ∴， 由（1）知，四边形为矩形， ∴，，， ∴， 且，， ∴， ∴， ∴， 设 ，， 则，， ∴， ∴， ∴． 解法二：过O作 的平行线交 于点H， 则，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 由（1）得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设 ，，则，，， ∴， ∴， ∴． 24. 阅读材料，回答问题． 将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为m，竖直方向边长为n的网格矩形称为“矩形”，例如，图1，图2，图3中的网格矩形分别称为“2×1矩形”“2×3矩形”“4×3矩形”．小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究． 小海分别画出图1，图2，图3中网格矩形的一条对角线，制作了下表： （表示矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 3 2 2 3 5 4 4 3 7 ① 小海根据表中数据发现与之间满足等量关系：②．记这个等量关系为“*”． 小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点． 小江的观点是：在矩形中，当正整数m，n中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立． 小河的观点是：在矩形中，当正整数m，n互质（m，n的公因数只有1）时，等量关系*一定成立． （1）①的内容是_______，②的内容是_______； （2）判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例； （3）m，n均为正整数，且，写出满足的所有数对． 【答案】（1）6； （2） 小河的观点正确，小江的观点不正确； 针对小江的观点，反例为矩形，如下图： ，而. （3），，，，， 【解析】 【分析】（1）通过画图和观察表格的数据规律即可获解； （2）通过构造矩形，即可作出正确判断； （3）按照 ， 是否互质分类讨论，当 ， 互质时，用上述规律列方程求解即可，当 ， 不互质时，用公约数去约它们，转化为互质的情况讨论即可． 【小问1详解】 如图： 所以①的内容为6； 观察表格数据规律可知： ②的内容为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 满足条件的所有数对为： ，，，，，， 理由如下： 当m，n互质时，矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为． 当m，n不互质时，设其最大公因数为p，则正整数，互质，故矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为，从而． 依题意，分成四类： 第一类，m，n互质，此时，即，共有， ， 三种情形； 第二类，m，n的最大公约数为2，此时，则； 第三类，m，n的最大公约数为3，此时，则； 第四类，m，n的最大公约数为6，此时． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且 是等腰直角三角形． （1）求证：； （2）已知， 过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在 内． ①求抛物线的函数表达式及点P的坐标； ②若直线 ： 过点P，且抛物线在的部分与 有公共点，求实数 的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵ 是直角三角形， ∴，或 ，或 ， 如果，则， 此时，但，，，与函数的定义不符， ∴， 同理，， ∴ ， ∵ 是直角三角形， ∴， 又∵，所以 ，即抛物线的对称轴为y轴， ∴； （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）先得到，，则只能 ，由等腰直角三角形得到，结合，得到 ，即抛物线的对称轴为y轴，； （2）①由（1）知， ， ，得到，，代入 解方程即可求出解析式；设为抛物线上一点． 依题意，的最小值为．根据勾股定理，，得到当，即时，取得最小值．结合点P位于第一象限，得到． ②代入 得到，与抛物线联立得到．根据是方程的一个根，求得．再根据列不等式计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）知， ， ， 所以． 因为，所以， 因为C在y轴正半轴上，所以． 又因为，所以解得 所以抛物线的函数表达式为． 设为抛物线第一象限图象上一点． ∵ 过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在 内， ∴的最小值为． 根据勾股定理，． 当，即时，取得最小值． 因为点P位于第一象限，所以，所以． ②因为直线 过点， 所以，所以． 由（2）知，抛物线的函数表达式为． 由 ，，得， 整理得， 将代入方程得． 因为直线 过点，且在抛物线上， 所以是方程的一个根． 设方程的另一个根为． 因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以． 依题意，，即． 解得． 即实数m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年三明市初中毕业班第二次教学质量监测 数学 本试卷共7页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后使用0.5毫米黑色字迹签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数学符号对应的图形中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. △ B. ⊙ C. ∽ D. ≌ 3. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图是（ ）． A. B. C. D. 4. 将不等式的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一组数据1，2，2，3中，再添加一个数据2，得到一组新的数据．新的这组数据与原来的一组数据相比，发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产，它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华拨了一颗上珠和一颗下珠作为一个三位数的百位数字，若个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍，且个位数字比十位数字多4，则这个三位数为多少？设个位数字为x，十位数字为y，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在 与中， ， 相交于点G，且C，D，E，F四点共线．下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正五边形内，以 为边作等边 ，再以点A为圆心画．若 ，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 化简的结果是______． 12. 如图， 中，， 是 的中点，，则______． 13. 如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 14. 在函数中，当 时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 15. 某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校1000名学生中随机抽取了50人进行问卷调查，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．根据图中信息估计该校学生中对垃圾分类“了解较多”的人数为_____． 16. 在平面直角坐标系中，射线与双曲线和依次交于点A，B，射线与双曲线和依次交于点C，D．对于任意的，给出下列四个结论： ① ；② ；③；④． 其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解： 18. 解方程：． 19. 如图，点A是线段 上一点， 由线段 逆时针旋转得到， 平分 ，且 ．求证：． 20. 求代数式的值，其中． 21. 如图，在课外体育锻炼中，甲、乙、丙三人做传球的游戏．开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球等可能传给其余两人中的一人． （1）求事件“传球两次，球传回到甲的手中”的概率； （2）事件“传球三次，球传回到甲的手中”是否可能发生？若可能，求该事件的概率；若不可能，说明理由． 22. 如图，在菱形中，， ，E是 中点． （1）求的长； （2）在 上求作点F，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 23. 如图1，C是以 为直径的半圆O上一点，D是 的中点，交 的延长线于点E， ，相交于点F． （1）求证：； （2）如图2，若O，F，E三点共线，求． 24. 阅读材料，回答问题． 将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为m，竖直方向边长为n的网格矩形称为“矩形”，例如，图1，图2，图3中的网格矩形分别称为“2×1矩形”“2×3矩形”“4×3矩形”．小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究． 小海分别画出图1，图2，图3中网格矩形的一条对角线，制作了下表： （表示矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 3 2 2 3 5 4 4 3 7 ① 小海根据表中数据发现与之间满足等量关系：②．记这个等量关系为“*”． 小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点． 小江的观点是：在矩形中，当正整数m，n中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立． 小河的观点是：在矩形中，当正整数m，n互质（m，n的公因数只有1）时，等量关系*一定成立． （1）①的内容是_______，②的内容是_______； （2）判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例； （3）m，n均为正整数，且，写出满足的所有数对． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且 是等腰直角三角形． （1）求证：； （2）已知， 过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在 内． ①求抛物线的函数表达式及点P的坐标； ②若直线 ： 过点P，且抛物线在的部分与 有公共点，求实数 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $