精品解析：江西南昌中学教育集团2025—2026学年八年级下学期期中数学试卷

南昌中学教育集团2025—2026学年八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 5. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 6. 如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简______． 8. 已知，则______________． 9. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为___________. . 10. 如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则_______． 11. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 12. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，已知实数在数轴上的对应点，请化简：． 15. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等． 16. 如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 17. 如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． （1）求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ （2）若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． （1）求的长； （2）求的周长． 19. 如图，在中，交于点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求证：四边形是菱形． 20. 已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________（填“”，“”或“”） （3）计算：； （4）若，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标分别为，，，其中，，满足关系式． （1）求，，的值； （2）在第二象限内有一点，使的面积与的面积相等，求出点的坐标； （3）以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 六、解答题（本大题12分） 23. 已知正方形，，为平面内两点． 【探究建模】 （1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：； 【类比应用】 （2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系； 【拓展迁移】 （3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学教育集团2025—2026学年八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 2. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 3. 已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 5. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 6. 如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 已知，则______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 9. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为___________. . 【答案】120 cm 【解析】 【分析】设三边的长是，，，根据周长即可求得x的值，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解． 【详解】设三边的长是，，， 则， 解得：， 则三边长是10 cm，24 cm，26 cm． ∵ ∴三角形是直角三角形， ∴三角形的面积是（cm） 故答案为：120 cm 【点睛】考查勾股定理逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 10. 如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】由得到，，因此，再由得到，从而根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴． 11. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 12. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________． 【答案】或或5 【解析】 【详解】解：如图所示： ①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴底边PE=AE=； ②当PE=AE=5时， ∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°， ∴PB==4， ∴底边AP===； ③当PA=PE时，底边AE=5； 综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或5； 故答案为或或5． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 14. 如图，已知实数在数轴上的对应点，请化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的特点、绝对值和实数的运算与二次根式化简，根据数轴上点的位置判断出二次根式被开放数的正负与绝对值内的正负是解答本题的关键． 【详解】解：由题图可知， 所以原式 ． 15. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等． 【答案】（1） 射线即为所作； （2） 直线即为所作． 【解析】 【分析】（1）连接，，与交于点，作射线即可； （2）取格点，过点和点作直线即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位， ∵线段和是矩形的两条对角线且交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分， 【小问2详解】 如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位， ∴，， ，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，，且， 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 16. 如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 【答案】 证明∶ 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 根据可得且平行，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对角线互相平分得到与互相平分即可得结论． 【详解】略 17. 如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． （1）求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ （2）若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． （1）求的长； （2）求的周长． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，直角三角形的性质，勾股定理定理，利用勾股定理求出线段是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出线段，根据轴对称的性质，最后求得的长； （2）由翻折知，在中，利用勾股定理求出，在中，求出，即可求得的周长． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 由折叠得： ， 的长为4； 【小问2详解】 由翻折得， ， 在中，， 设，则， ， 解得， ， 在中，， 的周长． 19. 如图，在中，交于点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． （2） ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形ABCD为菱形， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键． 20. 已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________（填“”，“”或“”） （3）计算：； （4）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ∴ ； 【小问4详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标分别为，，，其中，，满足关系式． （1）求，，的值； （2）在第二象限内有一点，使的面积与的面积相等，求出点的坐标； （3）以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），， （2）存在点P， （3）或或 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质得，即可得出结论； （2）过点C作轴于点E，求出，再由面积法求出，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可； （3）分三种情况，分别为对角线时，利用中点坐标公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：存在点P，使的面积与的面积相等，理由如下： 如图1，过点C作轴于点E，则轴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积， ∴， 解得：， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设， ∵ 当为平行四边形的对角线时， 解得：，则 当为平行四边形的对角线时， 解得：，则 当为平行四边形的对角线时， 解得：，则 综上所述，的坐标为：或或． 六、解答题（本大题12分） 23. 已知正方形，，为平面内两点． 【探究建模】 （1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：； 【类比应用】 （2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系； 【拓展迁移】 （3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，，，三点共线， ∴, ∵， ∴， ∴, 在和中， , ∴, ∴; （2）； 理由： ∵，四边形是正方形， ∴,, ∴, ∵，， ∴, ∴, 在和中， , ∴, ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴, 即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质以及题意证明即可得出结论； （2）根据已知条件证明，然后证明为等腰直角三角形即可得出结论； （3）先证明，得出为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出的长度，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过点D作于点H，连接BD， ∵， ∵， ∴， ∵, ∴， 在和中， , ∴, ∴，， ∵且, ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，, ∴, ∵是正方对角线， ∴, ∵ ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴, ∴在中，, ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $