21.3.2 菱形 课件2025-2026学年 人教版数学八年级下册

21.3.2 菱形 人教版(2024)八年级下册 第二十一章 四边形 学习目标 1 理解菱形的概念，知道菱形与平行四边形的区别与联系 2 探索并证明菱形的性质定理 3 会运用菱形的性质定理进行证明和计算 知识回顾 我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些性质？ 平行四边形 矩形 一个角是直角 平行四边形 矩形 边 对边平行且相等 对边平行且相等 角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分 对角线相等且互相平分 对称性 中心对称 既是中心对称，又是轴对称 探究点1 将一个菱形分别沿它的两条对角线对折,然后打开. 观察图形,回答下列问题: （1）菱形在对称性方面有什么特点? 菱形的性质 菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 菱形在平行四边形的基础上多了邻边相等的条件. 探究点1 将一个菱形分别沿它的两条对角线对折,然后打开. 观察图形,回答下列问题: （2）菱形是特殊的平行四边形,它和平行四边形相比,有什么特殊之处? 菱形的性质 由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形,由平行四边形对边相等的性质容易发现菱形的四条边都相等. 探究点1 将一个菱形分别沿它的两条对角线对折,然后打开. 观察图形,回答下列问题: （3）平行四边形的两组对边分别相等,那么菱形的四条边有怎样的关系呢? 菱形的性质 归纳总结：菱形的四条边都相等. 探究新知 A B C D O 证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 归纳总结 菱形的判定定理1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 符号语言：在□ABCD 中，AC⊥BD， ∴□ABCD是菱形 AC⊥BD A B C D □ABCD A B C D 菱形ABCD 例1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O, 且AB=5,AO=4,BO=3. 求证： ABCD是菱形. A B C D O 证明：∵AB=5,AO=4,BO=3, ∴ . ∴△OAB是直角三角形. ∴AC⊥BD. ∴ ABCD是菱形. 典例精析 　 1. 如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若添加一个条件,可推出▱ABCD是菱形,则该条件可以是 (　 　) 　 A. AB=AC　 　B. AC=BD　 C. AC⊥BD　　D. AB⊥AC C A B C D O 典例精析 四条边都相等的四边形是菱形. 归纳 通过以上证明，我们得到菱形的一个判定定理： 数学语言： 在四边形ABCD中， ∵ AB=BC=CD=DA, ∴四边形ABCD是菱形. A B D C 归纳 1.如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O， ① AB∥CD ；②AB＝CD；③AD＝BC； ④∠ADB＝∠CDB ；⑤∠BAC＝∠DCA ；⑥∠DAB＝∠DCB ； 要判定四边形ABCD是平行四边形， 则添加的条件可以是（ ） A. ① ② ③ ⑤ B. ① ③ ⑤ ⑥ C. ① ② ⑤ ⑥ D. ① ② ④ ⑥ A D B C O B 【考点】平行四边形的判定方法. 难度系数：☆☆☆ 四、巩固新知，灵活运用 2.如图，E是□ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是（ ）. A.∠ABD＝∠DCE C.∠AEB＝∠BCD D.∠AEC＝∠CBD B. DF＝CF 【考点】平行四边形的判定方法. 难度系数：☆☆☆ A B D C E F C A　 B　 C　 D　 O　 解：∵花坛ABCD是菱形， 如图，某公园有一个菱形花坛ABCD，它的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求：两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积.（保留小数点后一位） 练一练 如图，菱形ABCD的周长为24，一条对角线AC的长为8，则菱形的面积为 .（结果保留根号）　　　　 1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）. A.两对角线互相垂直 B.两对角线相等 C.两对角线互相平分 D.两对角线互相垂直平分 D 随堂练习 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 2.如图，在菱形ABCD中，对角线 AC, BD 交于点O，点 E, F, G, H 分别是 OA, OB, OC, OD 的中点. 求证：四边形EFGH是菱形. D A B C O E F G H 利用三角形的中位线定理，证明四边形EFGH的四条边相等 解：四边形ABCD是菱形 理由如下： 过A点作AE⊥BC与点E，AF⊥CD与点F ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵菱形的面积=BC·AE=CD·AF， 又∵ AE=AF ∴ BC=CD ∴四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形) D C B A E F 1.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【解答】解：这个条件可以是AE＝AF， 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，即AF∥CE， ∵AF＝EC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF． 感受中考 3.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，添加下列条件，能判定▱ADCE是菱形的是 A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C.AB=AC D.AB=AE √ 课堂练习 解析　添加∠BAC=90°， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD=BC=CD， ∴平行四边形ADCE是菱形，选项A正确； 添加∠DAE=90°， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是矩形，选项B错误； 课堂练习 3.如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若ED=2AE， ，求EF·BD的值． 感受中考 ∴OE=OF， ∵OB=OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． 【解答】解：（1）证明：矩形ABCD沿EF折叠，使B，D重合， ∴OB=OD，EF⊥BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°，AD∥BC， ∴∠ODE=∠OBF， 在△OBF和△ODE中， ， ∴△OBF≌△ODE（ASA）， $