阶段专题培优：因数与倍数应用题（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

**基本信息** 以问题情境为载体，系统构建因数与倍数应用的解题方法体系，强化最大公因数与最小公倍数的实际应用逻辑，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|15题（如1、3、5题）|分解质因数法、短除法求最大公因数/最小公倍数|因数与倍数概念→最大公因数/最小公倍数计算→简单分配问题| |综合拓展|25题（如7、14、30题）|公倍数周期分析、方程建模、奇偶性推理|实际问题抽象→数量关系转化→多知识点综合应用（如质因数分解与应用题结合）|

阶段专题培优：因数与倍数应用题 1．五（1）班学生去植树，人数在40与50之间，按6人一组或者8人一组都正好分完。五（1）班有多少名学生去植树？ 2．在跑道两侧每隔4米种一棵树，结果第一棵与最后一棵相距48米。现在将移栽成每隔6米种一棵，其中有几棵不需要移栽？ 3．有两根木棒，一根长15厘米，另一根长18厘米，如果要把它们截成同样长的小棒，不能有剩余，每根小棒最长是多少厘米？ 4．有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 5．花店有36朵红色玫瑰和48朵黄色玫瑰，店员准备把这些花做成花束，每束花中红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？ 6．一间储藏室，长28分米，宽24分米，要用边长整分米的正方形瓷砖把地面铺满（使用的瓷砖必须都是整块）。正方形瓷砖边长最大应是多少分米？一共需要多少块这样的正方形瓷砖？ 7．3月12日植树节，李老师带五（2）班的同学参加植树活动，五（2）班的同学能平均分成4组进行活动。如果李老师和同学们每人植树一样多，他们一共植树539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 8．用一张长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的等腰直角三角形，如果希望纸正好用完，那么至少能剪出多少个这样的等腰直角三角形？ 9．植树节到了，何老师带五（1）班同学去植树，一共植了123棵，已知五（1）班人数不超过50人，何老师植树的棵数和每个同学植树棵数一样。这个班有多少名同学？每个同学植树多少棵？ 10．有50名同学去公园游玩，他们准备乘船过河，公园划船处提供了4条船。每条船上坐的人数最多不超过20人，而且各不相同，人数都是奇数。请你说说每条船上各坐几个同学？ 11．长途汽车站每20分钟向南京发一次车，每15分钟向徐州发一次车，6：00同时发车后，到什么时间会再次同时发车？ 12．淘气和笑笑都很喜欢阅读。淘气每3天去一次图书馆，笑笑每4天去一次图书馆。5月31日他们一起去了图书馆，那么6月份有哪几天他们再次一起都去了图书馆？将你的思考过程写下来。 13．五（1）班48人和五（2）班56人的同学一起去春游，如果把两个班的学生分别分成若干个小组，要使两个班每个小组的人数相同，每个组最多多少人？ 14．数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 15．张骞一生曾两次出使西域，开辟了中国与西域诸国沟通往来之路，被誉为“第一个睁开眼睛看世界的中国人”。某校五（3）班48人分组去参观张骞纪念馆，每组人数多于5人，少于15人，且每组人数一样多，有多少种不同的分法？ 16．“节分端午自谁言，万古传闻为屈原”端午节是我国的传统节日。端午节前夕学校开展包粽子活动，手工社团的同学包了24个三角粽和32个四角粽，把这些粽子扎成捆，不能混扎且每捆的粽子数量要相等，每捆最多能扎几个粽子？ 17．合唱队有30多人，如果站7行，每行人数刚好同样多；如果站5行，每行人数也刚好同样多。合唱队有多少人？ 18．两条彩带，长度分别是12米、16米，现在要把它们剪成相同的小段，且每一条都不许有剩余，每小段最长是多少米？一共可以剪成多少段？ 19．房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 20．五（2）班的同学参加“保卫环境”活动，利用周末来打扫小区。参加活动的同学每8人一组正好分完，每12人一组也正好分完。已知五（2）班的人数在30到50之间，请问五（2）班有多少人？ 21．9月30日烈士纪念日，学校计划组织学生去宝天铁路英烈纪念馆，准备了12朵百合和18朵菊花，用这两种花搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），请你帮忙设计可以扎成几束（至少2束）？每束有几朵百合？几朵菊花？ 22．某外滩的喷泉由内外双层构成。外层每8分钟喷一次，里面每6分钟喷一次。17：52同时喷过一次后，下次同时喷水是几时几分？ 23．靖边羊肉，乃陕西省榆林市靖边县之瑰宝，其美味与独特之处，早已名扬四海。小明家养了一群羊，小明发现，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完。小明家至少养了多少只羊？ 24．把一盒饼干平均分给6个小朋友或9个小朋友，都正好分完，而且这盒饼干的数量在70~80块之间，这盒饼干有多少块？ 25．两根铁丝分别长18分米、30分米，现在要将它们截成相等的小段，每根都不得有剩余，每小段最长是多少分米？这样一共可以截成多少段？ 26．学校新买一批故事书，不论分给15个小朋友，还是20个小朋友，都正好分完。这批书至少有多少本？ 27．某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 28．五年级学生组织实践活动，五（1）班有32人参加，五（2）班有40人参加，如果把这两班的学生各自分成若干小组，且每个小组的人数都相同，那么每组最多有多少人？两班各有多少组？ 29．老师准备了18个笔记本，12支笔发给获奖的学生，要求每位学生的奖品数量相同，而且正好发完，最多几人获奖？每人获得的笔记本和笔各是多少？ 30．“阳光明媚春三月，正是踏青好时节”，五（6）班同学在一次春游野餐时，每2人合用1个饭碗，每3个人合用1个菜碗，每4个人合用1个汤碗，野餐一共用了78个碗，你知道这次参加野餐的有多少人吗？ 31．把一块长48厘米，宽36厘米的长方形硬纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸板没有剩余。至少可以裁成多少个正方形？每个正方形的边长是多少厘米？ 32．有一根50厘米长的木条，从一端起每隔5厘米做一个记号，每隔6厘米也做一个记号，然后沿着有记号的地方锯开，这根木条一共被锯成多少段？ 33．甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？ 34．小红参加了学校舞蹈社团，她发现社团总人数既可以平均分成3组，也可以平均分成5组，且男、女生人数相等。学校舞蹈社团至少有多少人？ 35．一捆铅笔，如果平均分给6人，最后余下1支；如果平均分给4个人，最后也余下1支，请问这捆铅笔最少有多少支？ 36．用一根铁线围正多边形，无论围成正四边形、正五边形还是正八边形，所围成的正多边形的边长都是整厘米数，且没有剩余。这根铁丝最少有多少厘米？ 37．有三根木条，分别长18分米、24分米和30分米。要把这三根木条截成同样长的苦干小段，三根木条都无剩余。 (1)每小段最长是多少分米？ (2)一共可以截成多少段？ 38．一块长方形铁皮，长30分米，宽24分米，要将它剪成同样：大小的正方形，至少可以剪成多少个？ 39．张老师拿出了一些练习本，如果平均分给第一小组的6名同学，还剩1本；如果平均分给第二小组的8名同学，也剩下1本。这些练习本至少有多少本？ 40．马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？ 41．小朋友到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元，小红认为不对，你能解释这是为什么吗？ 42．课后延时服务开展以来，各个学校都开展了丰富多彩的社团活动。某学校成立了一个合唱团，男生有56人，女生有48人。排练时，男、女生分别站成若干排，要使男、女生每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别站成几排？ 43．张老师要把一张长75厘米，宽50厘米的长方形纸剪成若干个同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？能剪多少个？ 44．除夕夜，爷爷要给孙子们发压岁钱。爷爷的QQ钱包里有24元，微信钱包里有30元，要把这两个钱包的钱分成钱数相等的小红包且没有剩余，小红包里最多是多少元？ 45．小松鼠采了不到100个松子。它试着把这些松子分成12个一堆，发现多了4个；它又试着把这些松子分成18个一堆，发现还是多了4个。它采的松子可能是多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．48名 【分析】按6人一组或者8人一组都正好分完，说明学生人数是6和8的公倍数，且在40与50之间，据此即可找出学生人数。 【详解】6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54、⋯ 8的倍数有：8、16、24、32、40、48、56、⋯ 6和8在40与50之间的公倍数是48。 答：五（1）班有48名学生去植树。 【点睛】掌握求两个数的公倍数的方法，这是解决此题的关键。 2．10棵 【分析】求出两次间隔距离的最小公倍数是不需要移栽的距离，总长度÷不需要移栽的距离＝不需要移栽的段数，根据两端都植，棵数＝段数－1，求出一侧不需要移栽的棵数，乘2即可。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（米） 48÷12＝4（段） 4＋1＝5（棵） 5×2＝10（棵） 答：其中有10棵不需要移栽。 【点睛】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 3．3厘米 【分析】把它们截成同样长的小棒而没有剩余，求每根小棒最长是多少厘米，每根小棒最长的长度就是15和18的最大公因数，再用求最大公因数的方法进行计算即可。 【详解】15＝3×5 18＝2×3×3 15和18的最大公因数是3。 答：每根小棒最长是3厘米。 【点睛】本题考查了最大公因数，掌握最大公因数的求法是解题的关键。 4．****﹣5054631 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；一个数的因数的个数是有限，最小的因数是1，一个数的最大因数是它本身；最小的自然数是0，1只有一个因数，据此解答。 【详解】A：5的最小倍数是5； B：最小的自然数是0； C：5的最大因数是5； D：它既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4； E：它的所有因数是1，2，3，6，这个数是6； F：它的所有因数是1，3，这个数是3； G：它只有一个因数，这个数是1； 由此得：这个电话号码是****﹣5054631。 【点睛】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确一个数的最小倍数和最大因数都是它本身是解答本题的关键。 5．7朵 【分析】每束花中红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，则做成的花束的数量是36和48的公因数。求每束花里最少有几朵花，先求出36和48的最大公因数，即是花束的最多数量，再用两种花的总数量除以花束的数量即可求出每束花里最少有几朵花。 【详解】36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 36和48的最大公因数是2×2×3＝12。 （36＋48）÷12 ＝84÷12 ＝7（朵） 答：每束花里最少有7朵花。 【点睛】本题考查最大公因数的应用。理解“36和48的最大公因数即是花束的最多数量”是解题的关键。 6．4分米；42块 【分析】根据题意，要用边长整分米的正方形瓷砖把地面铺满（使用的瓷砖必须都是整块），那么正方形瓷砖的边长是28和24的公因数；正方形瓷砖的最大边长就是28和24的最大公因数；用分解质因数的方法求出28、24的最大公因数，再分别求出长、宽各需要铺几块，最后相乘就是一共需要这样的正方形瓷砖的块数。 【详解】28＝2×2×7 24＝2×2×2×3 28和24的最大公因数是：2×2＝4 即正方形瓷砖边长最大是4分米。 28÷4＝7（块） 24÷4＝6（块） 一共：7×6＝42（块） 答：正方形瓷砖边长最大应是4分米，一共需要42块这样的正方形瓷砖。 【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题，也可以用短除法求两个数的最大公因数。 7．76人；7棵或48人；11棵 【分析】由李老师和学生每人植树一样多，可知：每人植树棵数×人数＝植树总棵数。每人植树棵数和人数都应是整数，将植树总棵数分解质因数，539＝7×7×11，写成两数相乘的形状有539＝7×77、539＝49×11、539＝539×1三种情况，又由于学生恰好分成4组，而77、49减1后能被4整除，据此解答即可。 【详解】因为：539＝7×7×11＝7×77＝49×11＝539×1，由于学生恰好平均分成4组， 所以，539＝7×（76＋1）＝（48＋1）×11，76和48都是4的倍数， 所以，当学生人数为76人时，每人植树7棵；当学生人数为48人时，每人植树11棵； 答：这个班的人数有两种情况，一种是有76名学生，平均每人植树7棵；另一种是有48人，平均每人植树11棵。 【点睛】解答本题的关键是把539分解质因数，找到能被4整除的数。 8．24个 【解析】同样大小的两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形，所以求出这个长方形能够至少能剪出多少个大小相同的正方形，乘2即可求出对应的等腰直角三角形的个数。 【详解】将长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形，那么正方形的边长是长和宽的公因数； 60和45的最大公因数是15； （个） （个） （个） （个） 答：至少能剪出24个这样的等腰直角三角形。 【点睛】本题考查的是最大公因数的问题，解题的关键在于转化。 9．40名；3棵 【分析】由何老师和学生每人植树一样多，可知：每人植树棵数×人数＝植树总棵数；每人植树棵数和人数都应是整数，将植树总棵数分解质因数，123＝3×41；依此可知学生人数43－1＝40名，据此解答。 【详解】123＝41×3 学生人数：41－1＝40（名） 答：这个班有40名同学，每个同学植树3棵。 【点睛】解答本题的关键是把123分解质因数，从而得到这个班的学生人数。 10．19、17、1、13（答案不唯一） 【解析】据题意：有50名同学，每条船上坐的人数最多不超过20人，而且各不相同，人数都是奇数。即要找出20以内的所有奇数，在这些奇数中任选4个使它们的和等于50即可。 【详解】据分析，此题答案不唯一：20以内的奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。任选4个的和为50，如：19＋17＋1＋13＝50（人）；15＋13＋17＋5＝50（人）…… 答：每条船上可各坐19人、17人、1人、13人。（答案不唯一） 【点睛】理解要找20以内的奇数，使其中任意4个的和为50，是解决此题的关键。 11．7：00 【分析】已知长途汽车站每20分钟向南京发一次车，每15分钟向徐州发一次车，因此15和20的最小公倍数即是两车再次同时发车的间隔时间。 【详解】15和20的最小公倍数是60，即60分钟后会再次同时发车。 60分钟＝1小时 6＋1＝7（时） 答：要到7：00会再次同时发车。 【点睛】完成此类问题的关键是明确两车发车间隔时间的最小公倍数即是两车每次同时发车的间隔时间。 12．6月12日和6月24日； 思考过程：见详解 【分析】要求6月有哪几天他们都去了图书馆，先求出他俩再次都到图书馆所需要的天数，也就是求3和4的最小公倍数，3和4的最小公倍数是12，在6月中，6月12日和6月24日他们都去了图书馆。 【详解】因为3和4的最小公倍数是12，在一个月中有2个12天，所以6月有2天他们都去了图书馆，即6月12日和6月24日。 【点睛】此题考查用求最小公倍数的方法解决生活中的实际问题，解决此题关键是先求出这两个人再次都到图书馆中间相隔的时间，也就是求3和4的最小公倍数。 13．8人 【分析】由题意可知，每个小组的人数既是五（1）班的因数，又是五（2）班人数的因数，求每小组的最多人数就是求48和56的最大公因数，用短除法求出两数的最大公因数即可。 【详解】 48和56的最大公因数为：2×2×2＝8 答：每个组最多8人。 【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，掌握求两个数最大公因数的方法是解答题目的关键。 14．92颗 【分析】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数a，大于2的质数均为奇数。第一个同学回答合数，只能拿走1颗糖，a－1＝偶数，此时袋子里剩余糖数是合数；第二个同学可以拿走3颗糖，a－4＝奇数。每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，所以当a－4是3的倍数时，a－4以及后面的数都是合数，每个同学都能得到3颗糖果，同学们拿走的糖果总数为1＋31×3＝94（颗）；当a－4是质数时，可以拿走1颗糖果，剩余糖果数为a－5，a－5是偶数也是合数，可以拿走3颗糖果，剩余糖果数为a－8，a－8是3的倍数，是合数，后面均为3的倍数，那么同学们拿走的糖果总数为2×1＋30×3＝92（颗）。 【详解】假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数。 情况一：1＋31×3 ＝1＋93 ＝94（颗） 情况二：2×1＋30×3 ＝2＋90 ＝92（颗） 92＜94 答：同学们拿走的糖果总数最少是92颗。 【点睛】此题主要理解质数、合数、奇数、偶数的定义，再根据奇数－奇数＝偶数，每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，进行分析解答。 15．3种 【分析】根据题意，将48人分组，每组人数相同，且每组人数多于5人少于15人，因此每组人数必须是48的因数。先列举出48的所有因数，再从中找出大于5且小于15的因数，这个范围内有几个因数，就有几种不同的分法。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 其中，大于5且小于15的因数有6、8、12。 因此，有3种不同的分法：每组6人、每组8人、每组12人。 答：有3种不同的分法。 16．8个 【分析】由题意可知：把这些粽子扎成捆，不能混扎且每捆的粽子数量要相等，要求每捆最多能扎几个粽子，就是求24和32的最大公因数。先分别求出24和32的质因数，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数，据此解答即可。 【详解】24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 24和32的最大公因数是： 2×2×2 ＝4×2 ＝8 答：每捆最多能扎8个粽子。 17．35人 【分析】根据合唱队的人数＝行数×每行的人数，如果站7行，每行人数刚好同样多，说明合唱队的人数是7的倍数；如果站5行，每行人数也刚好同样多，说明合唱队的人数是5的倍数，则说明合唱队的人数既是7的倍数又是5的倍数，并且合唱队有30多人，可得合唱队的人数有35人。据此解答。 【详解】7的倍数：7、14、21、28、35、42… 5的倍数：5、10、15、20、25、30、35、40… 符合即是7的倍数又是5的倍数，并且合唱队有30多人的数字是35，则合唱队有35人。 答：合唱队有35人。 18．4米；7段 【分析】根据题意，可计算出12、16的最大公因数，即是每根小段的长度，然后用两根的总长度除以每根小段的长度，就是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2＝4（米） （12＋16）÷4 ＝28÷4 ＝7（段） 答：每段最长4米，一共可以截7段。 【点睛】解答该题关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长长度，然后再计算两根钢丝可以截成的段数即可。 19． 不可能 【分析】每次操作改变两盏灯的状态，总操作次数为偶数次，导致三个灯被拉的总次数之和为偶数，而三个灯全亮需每个灯被拉奇数次，三个奇数之和为奇数，矛盾。 【详解】初始状态：3盏灯均为关闭状态。 每次操作：拉两盏灯的开关，改变这两盏灯的状态（关→开或开→关）。 总操作次数分析： 设操作次数为，每次操作涉及2盏灯，总拉灯次数为（偶数）。 每个灯被拉的总次数之和为，必为偶数。 全亮条件： 每盏灯需被拉奇数次（初始为关，奇数次操作后变为开）。 三个奇数之和为奇数，但总次数为偶数，矛盾。 答：无法通过若干次操作使3盏灯全部亮着。 【点睛】关键在于分析操作次数的奇偶性：每次拉两盏灯（偶数次操作），总操作次数始终为偶数；但3盏灯全亮需每盏被拉奇数次，3个奇数之和为奇数，偶数与奇数矛盾，故不可能实现。 20．48人 【分析】根据题意，参加活动的同学每8人一组正好分完，每12人一组也正好分完，那么五（2）班的总人数是8和12的公倍数；先求出8和12的最小公倍数，再求最小公倍数在30～50之间的倍数，就是五（2）班的总人数。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 24×2＝48（人） 30＜48＜50 答：五（2）班有48人。 【点睛】本题考查求两个数的最小公倍数解决实际问题，也可以用短除法求两个数的最小公倍数。 21．方案一：可以扎成2束，每束有百合花6朵，菊花9朵。 方案二：可以扎成3束，每束有百合花4朵，菊花6朵。 方案三：可以扎成6束，每束有百合花2朵，菊花3朵。 【分析】由题意知：此题就是求12和18的公因数，可用分解因数的方法求得12和18各自有的因数，找出这两个数的公因数，然后根据题意解答。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的公因数有1、2、3、6。（1不符合题意，不考虑） 方案一：可以扎成2束，每束有百合花（朵），菊花（朵）。 方案二：可以扎成3束，每束有百合花（朵），菊花（朵）。 方案三：可以扎成6束，每束有百合花（朵），菊花（朵）。 答：方案一：可以扎成2束，每束有百合花6朵，菊花9朵。 方案二：可以扎成3束，每束有百合花4朵，菊花6朵。 方案三：可以扎成6束，每束有百合花2朵，菊花3朵。 【点睛】掌握求两个或几个数的公因数方法是解答此题的关键。 22．18时16分 【分析】针对同时发生事件的间隔时间问题，需要确定内层喷水间隔和外层喷水间隔的最小公倍数，同时喷发的时刻加上内外层同时喷水的间隔即可求出下次同时喷水的时间。 【详解】，，则8和6的最小公倍数为，则内外双层需要经过24分钟同时喷一次，。 答：下次同时喷水是18时16分。 23．24只 【分析】根据题意，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完，说明这群羊的总只数是6和8的公倍数；求至少养了多少只羊，就是求6和8的最小公倍数。 把6和8分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即至少养了24只羊。 答：小明家至少养了24只羊。 24．72块 【分析】根据题意可知，把一盒饼干平均分给6个小朋友或9个小朋友，都正好分完，说明饼干的数量正好是6和9的公倍数，写出6和9的公倍数，再根据这盒饼干的数量在70~80块之间，确定这盒饼干具体的数量，据此解答。 【详解】6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78⋯ 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72、81⋯ 所以6和9的公倍数是：18、36、54、72⋯ 因为这盒饼干的数量在70~80块之间，所以72满足题意。 答：这盒饼干有72块。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用求两个数的公倍数的方法解决问题。 25．6分米；8段 【分析】两根铁丝截成相等的小段，且没有剩余，那么每小段的长度是18和30的公因数；求每小段最长的长度，就是求18和30的最大公因数。18、30分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解；用18、30分别除以每小段最长的长度，求出每根铁丝可以截的段数，再相加即可。 【详解】18＝2×3×3 30＝2×3×5 18和30的最大公因数是2×3＝6； 所以每小段最长是6分米。 18÷6＝3（段） 30÷6＝5（段） 3＋5＝8（段） 答：每小段最长是6分米，这样一共可以截成8段。 【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题，也可以用短除法求两个数的最大公因数。 26．60本 【分析】不论分给15个小朋友，还是20个小朋友，都正好分完，说明这批书的数量必须是15和20的公倍数，如果要求这批书的数量至少是多少本，那么必须是15和20的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法解答即可。 【详解】15＝3×5 20＝2×2×5 15和20的最小公倍数是：2×2×3×5＝60。 答：这批书至少有60本。 【点睛】此题的解题关键是运用求两个数的最小公倍数的方法解决实际的问题。 27．36名 【分析】根据题意可知，宴会上的客人人数是2，3，4的公倍数，根据求最小公倍数的方法，先求出2，3，4的最小公倍数；2，3，4的最小公倍数是12；假设宴会上有12名客人，将其分别除以2，3，4，所得的商相加，即可求出此时假设客人需要点心的份数；再用实际客人吃到点心的份数÷此时假设客人需要点心的份数，求出实际客人吃到点心的份数是此时假设客人需要点心的份数的几倍，再乘12，即可求出宴会上的客人数量。 【详解】2，3，4的最小公倍数是12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝10＋3 ＝13（份） 39÷13＝3 12×3＝36（名） 答：宴会上有36名客人。 【点睛】解答本题的关键是假设2，3，4的最小公倍数是这些客人的人数，求出需要点心的份数，再求出实际吃点心的份数是假设客人吃点心的份数的几倍，进而解答。 28．8人，五（1）班4组，五（2）班5组 【分析】将这两个班的学生各自分成若干小组，且每个小组的人数都相同，就是有一个数即能被32整除，也能被40整除，求32和40的公因数，题目问的最多，即就是最大公因数为8人。五（1）班的组数＝总人数÷每组的人数，五（2）班的组数＝总人数÷每组的人数。 【详解】 （人） 32÷8＝4（组） 40÷8＝5（组） 答：每组最多有8人，五（1）班有4组，五（2）班有5组。 29．6人；3个；2支 【分析】要求每位学生的奖品数量相同，而且正好发完，说明获奖的人数是18和12的公因数，求最多几人获奖，则是求18和12的最大公因数，再用18除以最大公因数的商，求出每人获得的笔记本是多少个，用12除以最大公因数的商，求出每人获得的笔是多少支，列式解答即可得到答案。 【详解】18＝2×3×3 12＝2×2×3 18和12的最大公因数是2×3＝6。 所以最多6人获奖。 18÷6＝3（个） 12÷6＝2（支） 答：最多6人获奖，每人获得的笔记本是3个，笔是2支。 【点睛】此题的解题关键是运用求两个数的最大公因数的方法解决实际的问题。 30．72人 【分析】根据题意，每2人、每3人、每4人分别合用1个饭碗、1个菜碗、1个汤碗，需要将他们整合一起，就是求最少的人数也就是一组人数，使得它们可以同时满足饭碗、菜碗、汤碗的数量，即求出2、3、4的最小公倍数；再用最少人数除以2、除以3、除以4，求出每组中饭碗、菜碗、汤碗的数量，再把它们的商相加，求出每组用碗需要的数量；用野餐用碗的数量除以每组用碗的数量，求出一共分几组，再用一组人数乘组数，即可求出有多少人。 【详解】2、3、4的最小公倍数是：2×2×3＝12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝10＋3 ＝13（个） 78÷13×12 ＝6×12 ＝72（人） 答：这次参加野餐的有72人。 【点睛】解答本题的关键是利用求几个数的最小公倍数的方法求出每组的人数，继而求出每组用碗的数量。 31．12个；12厘米 【分析】求出长方形硬纸长和宽的最大公因数，是裁成的最大正方形的边长，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，长方形面积÷正方形面积＝裁成的正方形的个数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12（厘米） 48×36÷（12×12） ＝1728÷144 ＝12（个） 答：至少可以裁成12个正方形，每个正方形的边长是12厘米。 【点睛】关键是掌握最大公因数的求法，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 32．17段 【分析】先分别用木条总长50厘米除以5厘米和6厘米的间隔，求出各自的间隔数。每隔5厘米做记号时，用间隔数减1得到记号个数；每隔6厘米做记号时，直接取商作为记号个数，不再减1。再求出5和6的最小公倍数，找出50厘米内重复记号的个数。用两种记号个数相加再减去重复个数，得到实际总记号数，最后用总记号数加1就是木条被锯成的段数。 【详解】50÷5－1 ＝10－1 ＝9（个） 50÷6＝8……2，共8个 5和6的最小公倍数是30，50以内30的倍数有1个 9＋8－1＝16（个） 16＋1＝17（段） 答：这根木条一共被锯成17段。 33．1 【分析】甲、乙两个一位自然数，它们的和被5除余2，可得甲乙两数分别被5除的余数之和为2，它们的差能被5整除，可得甲乙两数分别被5除的余数相同，即可求出结果。 【详解】由题意，和被5除余2，则余数之和为2；差被5整除，则余数相同。 所以，甲数被5除的余数为：2÷2＝1。 答：余数是1。 【点睛】此题的解题关键是考虑这个数其实是5的倍数加1，余数是1，灵活运用数与数之间的关系。 34．30人 【分析】总人数既可以平均分成3组，也可以平均分成5组，说明总人数是3和5的公倍数，男、女生人数相等，男女生人数可能都是奇数，也可能都是偶数，根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，可知总人数是偶数，据此先求出3和5的最小公倍数，再确定最小的是偶数的公倍数即可。两数互质，最小公倍数是两数的积。 【详解】3×5＝15（人） 15是奇数，奇数＋偶数＝奇数，不满足男、女生人数相等。 15×2＝30（人） 答：学校舞蹈社团至少有30人。 35．13支 【分析】由题意可得：铅笔总数减去1后，既是6的倍数、也是4的倍数，要求得最少的支数，就是求4和6的最小公倍数再加上1的得数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12 4和6的最小公倍数是12。 12＋1＝13（支） 答：这捆铅笔最少有13支。 【点睛】先理解铅笔总数与人数的关系；再确定是求最小公倍数，这是本题需要明确的两个问题。 36．40厘米 【分析】由题可知，它们的边长都是正整数，又可以围成正四、五、八边形，可得其总长为4、5、8的最小公倍数，据此解答即可。 【详解】因为8是4的倍数，8与5是互质数 5×8＝40（厘米） 答：这根铁丝最少有40厘米。 【点睛】本题考查最小公倍数，明确求几个数最小公倍数的方法是解题的关键。 37．(1)6分米 (2)12段 【分析】根据题意，可计算出18、24、30的最大公因数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公因数加上24除以最大公因数加上30除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案。 【详解】（1）18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 30＝2×3×5 所以18、24与36最大公因数是：2×3＝6。 答：每小段最长是6分米。 （2）一共可以截成：18÷6＋24÷6＋30÷6 ＝3＋4＋5 ＝12（段） 答：一共截成12段。 38．20个 【分析】由于要剪成同样大小的正方形，最少剪多少个，即求30和24的最大公因数，把30和24分解质因数，根据分解质因数找最大公因数的方法：公有质因数的乘积即是它俩的最大公因数，最大公因数即是正方形的边长，之后用长方形铁皮的长除以正方形的边长，看一行有多少个小正方形，再用长方形铁皮的宽除以正方形的边长，看有多少行，再相乘即可求出至少可以剪成多少个小正方形。 【详解】30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 所以最大公因数：2×3＝6 30÷6＝5（个） 24÷6＝4（个） 5×4＝20（个） 答：至少可以剪成20个。 【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，要注意至少可以剪成多少个，是找这两个数的最大公因数。 39．25本 【分析】根据题意，先求出6和8的最小公倍数，都剩下1本，再用最小公倍数加1，即可求出至少有多少本练习本。 【详解】6＝2×3； 8＝2×2×2； 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24。 24＋1＝25（本） 答：这些练习本至少有25本。 【点睛】此题主要是利用最小公倍数的求法来解决实际生活中的问题。 40．马超：10枚；刘涛：9枚；王阳：6枚 【分析】根据分解质因数的意义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式；把540分解质因数，再根据题意进行组合，即可得出三人分别购买邮票的枚数。 【详解】540＝2×2×3×3×3×5 化为：540＝（2×3）×（2×5）×（3×3） 540＝6×10×9 因为： 10－9＝1 9－6＝3 马超买的邮票枚数－刘涛买的邮票枚数＝1（枚） 刘涛买的邮票枚数－王阳买的邮票枚数＝3（枚） 所以马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票；王阳买了6枚邮票。 答：马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票，王阳买了6枚邮票。 【点睛】解答本题的关键是利用分解质因数的方法进行解答。 41．见解析。 【分析】由单价×数量＝总价可知，3本日记本的总价是134元，即单价×3＝134； 即日记本的单价是134÷3，据此解答。 【详解】134÷3＝44.666…，所以小朋友买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元，这是不对的。 42．8人；男生站成7排，女生站成6排 【分析】每排最多的人数就是56和48的最大公因数，然后分别用男生和女生人数除以每排的人数即可解答。 【详解】56的因数有：1 2 4 7 8 14 28 56 48的因数有：1 2 3 4 6 8 12 16 24 48 56和48的最大公因数是8，所以每排最多有8人。 56÷8＝7（排） 48÷8＝6（排） 答：每排最多有8人。这时男生站成7排，女生站成6排。 【点睛】本题考查求最大公因数，明确每排最多的人数即56和48的最大公因数是解题的关键。 43．25厘米；6个 【分析】由题意可知，正方形的边长既是长的因数，又是宽的因数，求正方形的最大边长就是求两个数的最大公因数，用短除法求出75和50的最大公因数，可以剪的正方形个数＝长方形的面积÷正方形的面积，据此解答。 【详解】 75和50的最大公因数为：5×5＝25。 （75×50）÷（25×25） ＝3750÷625 ＝6（个） 答：剪出的正方形的边长最大是25厘米，能剪6个。 【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，掌握求两个数最大公因数的方法是解答题目的关键。 44．6元 【分析】要使这两个钱包的钱分成钱数相等的小红包且没有剩余，求出24和30的最大公因数即为小红包里最多可装的钱数，据此解答。 【详解】 所以24和30的最大公因数是。 答：小红包里最多是6元。 【点睛】本题主要考查的是最大公因数的求法在实际问题中的应用。 45．40个或76个 【分析】根据题意，把小松鼠采的松子去掉4个，就能正好分成12个一堆，也能正好分成18个一堆，即去掉4个后的松子数是12和18的公倍数。所以先求出12和18的最小公倍数，是36，36的倍数有36，72，108，…分别计算…的结果，可以知道符合“不到100个”这一要求的有40和76两个数，据此解答即可。 【详解】12和18的最小公倍数是36； （个）；   ＝72＋4 ＝76（个）； ＝108＋4 ＝112（个）； ； 答：它采的松子可能是40个或76个。 【点睛】解答本题的关键是要明确松子个数去掉4个后，是12和18的公倍数，再根据“不到100个”这个条件进一步确定个数即可。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $