期末专题：因数与倍数（专项训练） -2025-2026学年五年级下册数学苏教版

**基本信息** 以因数与倍数概念为核心，通过分解质因数法系统整合最大公因数、最小公倍数的计算与实际应用，形成“概念-计算-应用”三阶逻辑链，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|约10题|2、3、5倍数特征判断，质数合数性质应用|从因数倍数定义延伸至奇偶性、质合分类，构建概念网络| |基础计算|约7题|分解质因数法求最大公因数/最小公倍数|通过短除法实现质因数分解与数关系推导，强化运算能力| |实际应用|约10题|问题转化（如剩余问题→求公倍数）、模型构建（如裁拼问题→最大公因数）|从生活情境抽象数学关系，培养推理意识与解决问题能力|

期末专题：因数与倍数 一、选择题 1．如果A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么A和B的最小公倍数是（    ）。 A．60 B．20 C．30 2．五（1）班学生排队做操，每行12人或15人都正好排完，这个班的人数不可能是（    ）。 A．90 B．60 C．120 3．一个数的最小倍数是25，这个数有（    ）个因数。 A．3 B．4 C．6 4．在下面的四个五位数中，是不为0且比10小的自然数，是0，（    ）一定是2、3、5的公倍数。 A．B．C． 5．手工课上，莉莉把一张长24厘米，宽18厘米的长方形彩纸，剪成边长是整厘米数的正方形，且没有剩余。最少可以剪成（    ）个正方形。 A．6 B．12 C．18 二、填空题 6．在自然数2~10中，( )是偶数但不是合数，( )是奇数但不是质数。 7．如果把16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，那么有( )个小朋友。 8．18的因数有( )。 9．128至少加上( )才是3的倍数，至少减去( )才是5的倍数。 10．一个两位数，既是5的倍数又是4的倍数，这个两位数最小是( )，最大是( )。 11．已知，，则A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 12．刚刚把一张长20厘米、宽15厘米的长方形白纸，裁成若干个大小相同，尽可能大的正方形且没有剩余，那么最少能裁( )个。强强用若干张长18厘米、宽15厘米的长方形白纸拼成一个稍大的正方形，那么至少要( )张。 13．一个三位数78□，当它是3的倍数的时候，□中最大填( )；当它有因数2、5时，□中可填( )。 14．小明和爷爷在环形跑道上散步小明走一圈用4分钟，爷爷走一圈用6分钟。如果他们从同一地点同时出发同向而行，至少经过( )分钟两人在起点再次相遇，这时小明走了( )圈。 15．把52块奶糖和45块巧克力分别平均分给一个小组的同学，结果奶糖少2块，巧克力剩3块。这个小组最多有( )名同学。 16．m、n为非零自然数，若m＝n＋1，则m、n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；若m÷5＝n，则m、n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 三、计算题 17．求下面各组的最大公因数和最小公倍数。 28和14    16和15    3和17    16和24 四、解答题 18．一堆糖果，分给小朋友，每人分8颗剩3颗，每人分10颗也剩3颗，这堆糖果至少有多少颗？ 19．有一包糖果，如果平均分给8个人，还剩3颗；如果平均分给10个人，也剩3颗。这包糖果至少有多少颗？ 20．五（9）班的人数在40~50之间。每8人或每6人站成一排，都剩余1人，五（9）班有多少人参加表演？ 21．班级联欢会准备了72个橘子和54块奶糖，要分装成若干份“零食礼包”分给同学们。每个礼包里的橘子个数和奶糖块数分别相同，且没有剩余。这些零食最多可以装成多少份礼包？每份礼包里各有多少个橘子和多少块奶糖？ 22．工作人员要把96条肉干和72袋狗粮全部分给动物救助站的小狗，每只小狗分到的肉干条数相同，分到的狗粮袋数也相同，肉干和狗粮都正好分完，动物救助站最多有多少只小狗？每只小狗分到几条肉干和几袋狗粮？ 23．2026“苏超”淮安队再出发！为城市而战，为热爱而战！体育馆边上原来每3米放一个宣传牌，现要改为每4米一个宣传牌。在摆放的过程中，除了两端的2个宣传牌不需要移动外，还有20个宣传牌不需要移动。这条路长多少米？ 第2页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据求两个数的最小公倍数的方法，首先把两个数分别分解质因数，它们的最小公倍数是这两个数公有的质因数和各自独有的质因数的连乘积，据此解答即可。 【详解】如果A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么A和B的最小公倍数是2×2×3×5＝60。 2．A 【分析】由题意得，这个班的人数是12和15的公倍数，可先求出12和15的最小公倍数，公倍数是最小公倍数的倍数，据此判断。 【详解】12＝2×2×3 15＝3×5 12和15的最小公倍数是： 2×2×3×5 ＝4×3×5 ＝12×5 ＝60 12和15的公倍数有：60、120、180、…… A．90不是12和15的公倍数，不可能是这个班的人数； B．60是12和15的公倍数，可能是这个班的人数； C．120是12和15的公倍数，可能是这个班的人数。 3．A 【分析】一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。所以这个数是25，用除法找出25的因数，再统计个数。 【详解】25的最小倍数是25，所以这个数是25。 25÷1＝25 25÷5＝5 25的因数有1，5，25。共3个。 4．B 【分析】同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【详解】 A．，是不为0且比10小的自然数，个位不是0，所以一定不是2、3、5的公倍数。 B．，是0，即个位是0， ＋＋＋＋＝3＋0＝3，3是3的倍数，所以一定是2、3、5的公倍数。 C．，是不为0且比10小的自然数，个位不是0，所以一定不是2、3、5的公倍数。 D．，是0，即个位是0，＋＋＋＋＝2，2不一定是3的倍数，所以一定不是2、3、5的公倍数。 所以B选项一定是2、3、5的公倍数。 5．B 【分析】正方形的边长必须同时整除长方形的长（24厘米）和宽（18厘米），也就是它们的公因数。要让个数最少，就要取最大公因数作为正方形的边长。 【详解】分解质因数：24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 公有的质因数为2和3，则最大公因数：2×3＝6，即正方形的边长最大为6厘米； 长方向可剪：24÷6＝4（个） 宽方向可剪：18÷6＝3（个） 最少可剪总个数：4×3＝12个。 6． 2 9 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】在自然数2~10中，偶数有2、4、6、8、10，奇数有3、5、7、9，质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9、10。 2是偶数但不是合数，9是奇数但不是质数。 7．7 【分析】小朋友的人数必须是实际分掉的梨的数量的因数，同时也是苹果补齐后数量的因数。首先计算出实际分掉的梨的数量和正好分完所需的苹果数量，然后找出这两个数的公因数，最后结合余数必须小于除数的性质确定小朋友的具体人数。 【详解】16－2＝14（个）、19＋2＝21（个） 14的因数有：1，2、7，14。 21的因数有：1、3、7、21。 14和21的公因数有：1，7，因为分梨时余2个，根据余数小于除数，小朋友的人数必须大于2。所以有7个小朋友。 8．1，2，3，6，9，18 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个。 【详解】18÷1＝18 18÷2＝9 18÷3＝6 18的因数有1，2，3，6，9，18。 9． 1 3 【分析】3的倍数特征：各数位上的和是3的倍数，5的倍数特征：个位数字是0或5，据此解答。 【详解】1＋2＋8 ＝3＋8 ＝11 11＋1＝12，12是3的倍数，所以128至少加上1才是3的倍数； 128－3＝125 128至少减去3才是5的倍数。 10． 20 80 【分析】根据题意，这个两位数是5和4的公倍数。求最小就是求5和4的最小公倍数，再找出两位数中最大的公倍数即可。 【详解】5×4＝20 5和4的公倍数是20，40，60，80，100⋯ 其中，最小公倍数是20，两位数中，最大的公倍数是80。 所以，这个两位数最小是20，最大是80。 11． 6 210 【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，把两个数相同的质因数乘起来的积就是它们的最大公因数；把相同的质因数（取一个）和独有的质因数乘起来的积就是它们的最小公倍数。 【详解】A和B的最大公因数：2×3＝6 A和B的最小公倍数：2×3×5×7＝210 12． 12 30 【分析】根据题意，裁成尽可能大的正方形，它的边长最大是20和15的最大公因数，求最多可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积； 求出18和15的最小公倍数，就是大正方形的边长；用大正方形的面积除以每张长方形纸的面积，得到的数字就是最少需要长方形纸的张数，因此解答。 【详解】20＝2×2×5 15＝3×5 20和15的最大公因数是5，所以裁成的正方形的边长是5厘米。 （20×15）÷（5×5） ＝300÷25 ＝12（个） 18＝2×3×3 15＝3×5 18和15的最小公倍数是2×3×3×5＝90，所以拼成的正方形的边长是90厘米。 （90×90）÷（18×15） ＝8100÷270 ＝30（张） 13． 9 0 【分析】3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 【详解】7＋8＝15，15是3的倍数；78□是3的倍数，则□中可以填0、3、6、9，最大填9； 当它有因数2、5时，根据2、5的倍数特征可知，□中可填0。 14． 12 3 【分析】两人同时同地同向出发，第一次在起点相遇的时间应是小明和爷爷走一圈所用时间的最小公倍数。用分解质因数法先求出4和6的最小公倍数，再用这个数除以4即可得小明走了几圈。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12 所以至少经过12分钟两人在起点再次相遇。 12÷4＝3（圈） 所以这时小明走了3圈。 15．6 【分析】根据题意可知，奶糖数量加上2块后能被学生人数整除；巧克力数量减去3块后能被学生人数整除。因此，学生人数是调整后奶糖数量和巧克力数量的公因数。要求最多有多少名同学，即求这两个数的最大公因数。此外，根据有余数除法的性质，除数（学生人数）必须大于余数（3块）。 【详解】52＋2＝54（块） 45－3＝42（块） 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42 54和42的公因数有：1，2，3，6，最大公因数是6。 因为6＞3，所以6名同学符合题意，即这个小组最多有6名同学。 16． 1 mn n m 【分析】如果m＝n＋1，说明m和n是相邻的两个自然数，它们是互质数；根据“两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积”进行解答。 根据题意，如果m÷5＝n，说明m和n是倍数关系，且m＞n；根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答； 【详解】m、n为非零自然数，若m＝n＋1，则m、n的最大公因数是（1），最小公倍数是（mn）； 若m÷5＝n，则m、n的最大公因数是（n），最小公倍数是（m）。 17． 28和14的最大公因数是14，最小公倍数是 28； 16和15的最大公因数是1，最小公倍数是240； 3和17的最大公因数是1，最小公倍数是51； 16和24的最大公因数是8，最小公倍数是48 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，可以使用分解质因数的方法。最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数与各组独有质因数的乘积。如果两个数是倍数关系，那么较小数就是他们的最大公因数，较大数就是他们的最小公倍数。如果两个数互质，那么它们的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 【详解】第一组28和14：28是14的倍数。所以28和14的最大公因数是14，最小公倍数是 28 第二组16和15： 16和15只有公因数1，两数互质。所以最大公因数是1，最小公倍数：16×15＝240 第三组3和17：3和17只有公因数1，两数互质。所以最大公因数是1，最小公倍数：3×17＝51 第四组16和24： 16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 最大公因数：2×2×2＝8 最小公倍数：2×2×2×2×3＝48 18． 43颗 【分析】由题意可知，糖果总数减去是和的公倍数；要求至少有多少颗，需先求和的最小公倍数；这堆糖果的数量就是8和10的最小公倍数加上3。 【详解】8＝2×2×2 10＝2×5 8和10的最小公倍数是2×2×2×5＝40 40＋3＝43（颗） 答：这堆糖果至少有颗。 19．43颗 【分析】根据题意，这包糖果的数量减去3颗后，既是8的倍数，也是10的倍数。这说明糖果数量减去3后是8和10的公倍数。要求这包糖果至少有多少颗，就是求8和10的最小公倍数，再加上剩下的3颗即可。 【详解】8和10的最小公倍数是40。 40＋3＝43（颗） 答：这包糖果至少有43颗。 20．49人 【分析】根据题意“每8人或每6人站成一排，都剩余1人”，可知总人数减去1后既是8的倍数，也是6的倍数，即总人数减1是8和6的公倍数。用分解质因数法求出8和6的最小公倍数，再找出40~50之间符合条件的公倍数，最后加上剩余的1人，即可得到总人数。 【详解】8＝2×2×2 6＝2×3 8和6的最小公倍数：2×2×2×3＝24 8和6的公倍数有：24，48，72，…… 在40~50之间的公倍数是48 总人数：48＋1＝49（人） 答：五（9）班有49人参加表演。 21．18份礼包；4个橘子，3块奶糖 【分析】题目要求将72个橘子和54块奶糖分装成若干份，且每份中橘子个数和奶糖块数分别相同，没有剩余，说明礼包的份数既是72的因数，也是54的因数，即份数是72和54的公因数。要求最多可以装成多少份，即求72和54的最大公因数。求出最大公因数后，分别用橘子和奶糖的总数除以份数，即可得到每份礼包里橘子和奶糖的数量。 【详解】求72和54的最大公因数。 72的因数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54 72和54的公因数有：1，2，3，6，9，18 72和54的最大公因数是18。 所以最多可以装成18份礼包。 每份礼包里橘子的数量： 72÷18＝4（个） 每份礼包里奶糖的数量： 54÷18＝3（块） 答：这些零食最多可以装成18份礼包，每份礼包里有4个橘子和3块奶糖。 22．24只；4条，3袋 【分析】根据题意，小狗的只数必须能整除肉干的数量，也能整除狗粮的数量，说明小狗的只数是96和72的公因数。要求最多有多少只小狗，即求96和72的最大公因数。求出小狗的只数后，再用肉干和狗粮的总数分别除以小狗的只数，即可求出每只小狗分到的数量。 【详解】 所以96和72的最大公因数是2×2×2×3＝24 所以动物救助站最多有24只小狗。 肉干：96÷24＝4（条） 狗粮：72÷24＝3（袋） 答：动物救助站最多有24只小狗，每只小狗分到4条肉干和3袋狗粮。 23．252米 【分析】宣传牌不需要移动，说明该位置既是原来3米间隔的倍数，也是现在4米间隔的倍数，即该位置的距离是3和4的公倍数。相邻两个不需要移动的宣传牌之间的距离应是3和4的最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积； 除了两端的2个宣传牌不需要移动外，说明路的起点和终点都有宣传牌且不需要移动，属于两端都栽的植树问题。 先求出不需要移动的宣传牌的总数，再用间隔数×相邻不动点之间的距离（3和4的最小公倍数），即可得到路的总长度。 【详解】3和4是互质数，最小公倍数为3×4＝12，即每隔12米有一个宣传牌不需要移动。 20＋2＝22（个） （22－1）×12 ＝21×12 ＝252（米） 答：这条路长252米。 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $