圆锥曲线微专题（离心率、渐近线、中点弦、抛物线的焦点弦）讲义-2026届高三数学二轮复习

中点弦专题 椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 点差法在圆锥曲线中的结论 1、 椭圆： 2、双曲线：3、抛物线： 1.（2026·河南开封·模拟预测）已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】先求出直线的方程，再根据同解可求的值. 【详解】设，，直线的斜率为， 由已知，则，， ，， 两式相减整理得：，故可得：， 故直线， 由可得， 由可得， 由题设，两个方程均有解， 故，故． 2.（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 3．（2025·广东湛江·二模）已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 4.（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 5.（24-25高三下·河北沧州·月考）已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心， 所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 6.(2024·河北衡水三模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为6,点M(1,1),直线MF2与C交于A,B两点,且M为AB中点,则△AF1B的周长为　　　　　.  答案 12 解析：由题意知F1(-3,0),F2(3,0),设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 所以=1,=1,两式相减得=0,(*) 因为M为AB中点,则x1+x2=2,y1+y2=2,代入(*)式整理得=-. 由题意知kAB==-, 因此-=-,所以a2=2b2,c2=b2,由题知2c=6,解得a=3. 由椭圆定义知△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=12. 7.（2025·江西·一模）在抛物线上有三个不同点、、，焦点为，点坐标为且轴，为的重心，则的面积为___________． 【答案】 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线的中点弦 【分析】由可求出抛物线的方程，由重心的性质可求得线段的中点的坐标，利用点差法求出直线的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及韦达定理可求得结果. 【详解】由点的坐标为且轴得，即，抛物线方程为， 设、，则相减可得， 所在直线斜率， 记中点为，又由为的重心，可知，    设点，则，可得，解得，即点， 所以，， 所以，所在直线方程为，即， 联立方程，得，， 由韦达定理可得，，得， 故：的面积为. 故答案为：. 8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________． 【答案】 【知识点】根据弦长求参数、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法 令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标， 再根据求出、，即可得解； 解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，， 所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法 解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2 所以直线，即 9.（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______. 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、抛物线的中点弦、根据韦达定理求参数 【分析】先根据题意设出直线的方程，再联立直线方程与抛物线方程，然后利用韦达定理求出中点的坐标，进而求出直线斜率，分类讨论求斜率最大值. 【详解】由得，由题意知直线的斜率不为0， 所以设直线的方程为，， 联立消去得， ，则由韦达定理得，所以， 所以，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，， 综上，直线OM的斜率的最大值为. 10.（2018·全国III卷·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 【答案】（1）；（2）证明见解析，公差为或． 【分析】（1）方法一：设而不求，利用点差法进行证明． （2）方法一：解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解． 【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法 设，则. 两式相减，并由得， 由题设知，于是.① 由题设得，故. ［方法二］：【通性通法】常规设线 设，，当时，显然不满足题意； 由得，，所以，， ，即，而，所以， 又，所以， ，即，解得： ． ［方法三］：直线与椭圆系的应用 对原椭圆作关于对称的椭圆为． 两椭圆方程相减可得，即为的方程，故． 又点在椭圆C内部可得，解得：． 所以． ［方法四］：直线参数方程的应用 设l的参数方程为（为l倾斜角，t为参数）代入椭圆C中得．设是线段中点A，B对应的参数，是线段中点，知得，即．而点在C内得，解得：，所以． （2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想 由题意得，设，则 . 由（1）及题设得. 又点P在C上，所以，从而，. 于是. 同理，所以. 故，即，，成等差数列. 设该数列的公差为d，则 .② 将代入①得. 所以l的方程为，代入C的方程，并整理得. 故，代入②解得. 所以该数列的公差为或. ［方法二］：硬算 由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，即． 由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得，即． 由（1）有，直线l的方程为，将其与椭圆方程联立消去y得，求得，不妨设，所以，，，同理可得， ，所以，而，故． 即该数列的公差为或. ［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用 因为线段的中点为，得． 由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得， 由椭圆方程可知， 由椭圆的焦半径公式得，．所以． 由方法二硬算可得，或，从而公差为，即该数列的公差为或. 【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解； 方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据即可证出，该法是解决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法． 方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，进而得证，避免联立过程，适当简化运算； 方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率； （2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法； 方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大； 方法三：利用焦半径公式简化运算，是该题的最优解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 渐近线专题 1.（2026·福建·二模）已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据离心率求出，即可得双曲线线的渐近线方程.. 【详解】因为， 所以，即， 因为双曲线的渐近线方程为 所以C的渐近线方程为. 2.（2026·辽宁大连·一模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】因为双曲线的渐近线为，所以设双曲线方程为， 又双曲线经过点，所以，解得， 所以双曲线方程为，化为标准方程为. 3.（2026·辽宁朝阳·一模）点到双曲线的渐近线的距离为______. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】求出双曲线的渐近线，根据点到直线的距离可得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即. 所以点到渐近线的距离为. 4.（2026·江西·一模）双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】首先求渐近线的斜率，再代入两直线的夹角公式，即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，所以两条渐近线的斜率， 记所求角为，则. 故选：B 5.（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知双曲线的离心率为的一条渐近线截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、根据离心率求双曲线的标准方程、圆的弦长与中点弦 【分析】先根据离心率得到渐近线方程，由垂径定理得到弦长. 【详解】由，得，解得， 所以双曲线的一条渐近线为， 则圆心到渐近线的距离， 所以弦长为. 故选：D. 6.（2025·江苏徐州·二模）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】设双曲线的半焦距为c，由对称性不妨取渐近线为， 由，得， 则，即，，， 由，得，所以的离心率为. 故选：B 7.（多选 2026·辽宁抚顺·一模）已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再按分类，结合双曲线的对称性建立方程求出离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设F是双曲线C的右焦点，如图， ①当时，不妨设点A，B分别在第一、二象限，由，得A是BF的中点．而直线BF垂直于直线， 则是等腰三角形，，又，因此，解得． 所以，离心率； ②当时，不妨设点B，A分别在第一、四象限， 由，得，由，得． 由，得，则，离心率． 8.（多选 2026·广东深圳·一模）设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（   ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．直线的斜率为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、斜率与倾斜角的变化关系、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的渐近线确定的大小，可判断A的真假；利用三角形中位线的性质，可判断B的真假；利用勾股定理，可求的长度，判断C的真假；利用正弦定理求的正弦，进而求其正切，再根据双曲线的对称性判断D的真假. 【详解】如图， 由于，则，，，A正确； 如图，连接，由于为的中位线，则且,所以，于是为等腰直角三角形，B正确； 由，则，， 则，，则C错误； 在中，由正弦定理：，则， 于是，由对称性可知，D正确； 9.（多选 2026·四川成都·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．的外接圆半径的最小值为3 B．点P到E的两渐近线的距离之积为定值 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的定值问题 【分析】对于A选项，通过正弦定理得到，即可判断A；对于B选项，由点到直线的距离公式求解即可； 对于C选项，由两点间的距离公式求解即可；对于D选项，求解，，代入即可. 【详解】对于A，，所以，的外接圆半径的最小值为，故A错误； 对于B，渐近线方程为，则距离之积为．故B正确； 对于C，，所以C正确， 对于D，同理可得，于， 从而．所以D正确． 故选：BCD. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，若的面积为，则双曲线C的渐近线方程为____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】先算出双曲线焦点到渐近线的距离为，再结合面积得到与的关系，最终得到a，b的关系和渐近线方程. 【详解】由题意知双曲线C的渐近线方程为， 如图，由双曲线的对称性，不妨取渐近线，即， 则，所以， 所以，因为的面积为，， 所以，即，所以，即，故， 所以双曲线C的渐近线方程为． 故答案为：． 11．（2025·河南·模拟预测）设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限， 设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为， 又，则．由，可知． 设双曲线C的左焦点为，连接， 由双曲线的定义可知， 在中，由余弦定理可得， 整理得，即，则，，所以C的离心率． 故答案为：. 12.（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 【答案】 【难度】0.5 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用直径所对圆周角为直角得到垂直关系，结合渐近线斜率得到焦半径比例，再通过双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，算出离心率. 【详解】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以. 由直线与的一条渐近线平行可得，所以， 又由双曲线定义可得，所以，得，所以. 由得，即，整理得， 所以，，离心率. 【点睛】本题是结合圆的几何性质、双曲线定义与渐近线斜率的离心率求解问题，核心方法是通过几何关系与定义联立方程，建立关系求离心率. 13.（2025·江苏南京·一模）已知双曲线的左焦点、右顶点分别为，过点倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、求直线交点坐标 【分析】求出直线的方程，与渐近线方程联立，求出的坐标，利用为等边三角形即，得到的关系，即可得渐近线方程. 【详解】由题意可得，所以直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为为等边三角形，所以， 即， 整理可得，所以， 所以双曲线的渐近线方程是， 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线离心率问题 一、离心率的常用方法 1．定义法:根据题目条件求出的值，公式，求出离心率 2．方程法:设出相关未知量，根据题目条件列出关于的齐次式方程，然后通过之间的关系进行消元，得到离心率 二、建立有关的方程或不等式的常用方法 1．利用图形的几何性质： （1）特殊三角形与离心率:一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等,通常数形结合，用几何法进行运算 （2）平行四边形与离心率:可能存在四边形也可能利用圆锥曲线的对称性构造四边形,一般有:对边平行相等;两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等. （3）圆与离心率:一般利用弦的中点与圆心的连线与弦垂直,直径所对的圆周角是90,半径相等,圆与圆的位置关系等 2．利用坐标运算: 如果从题目中的条件难以发掘几何关系,那么可考虑将点的坐标用进行表示,再利用条件列出等式求解. 定义法： 1．（2025·全国一卷·高考真题，3，5分）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，5，5分）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 2．（2021·全国甲卷·高考真题，5，5分）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 3．（2025·黑龙江牡丹江·三模）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形， 所以， 由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 4.（2025·云南昆明·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与交于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】因为，所以，即， 得，设，则，， 又，所以，即为直角三角形， 根据椭圆的定义，由，可得， 由，可得， 在中，，所以， 解得，所以，， 在中，，由勾股定理得， 也即，解得， 所以． 故选：D．    5.（2024·山东东营·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点．若，且，则C的离心率为______． 【答案】/ 【详解】由题意知，，由椭圆定义， 得，则， ，取线段的中点M，连接，如图所示． 易知，， ． 在中，得， 即，得， 即，又，解得． 故答案为：． 6.（2024·广西柳州·二模）已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】不妨设分别为双曲线的左右焦点，连接， 因为A，B两点关于原点对称，所以为平行四边形，所以， 因为，， 所以. 因为，所以； 在中，由余弦定理可得， 因为，所以，即. 故选：D 7.（2025·江苏徐州·二模）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】设双曲线的半焦距为c，由对称性不妨取渐近线为， 由，得， 则，即，，， 由，得，所以的离心率为. 故选：B 8．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】详解】由椭圆的定义得， 由双曲线的定义得， 两式联立得， 设焦距， 由余弦定理得， 整理得，即， 又的离心率，所以，代入上式得， 所以的离心率. 故选：A 9.（2025·吉林长春·一模）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】设，则，， 由，， 化为，，整理得， ，，解得． 10.（2025·河南漯河·模拟预测）已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则 则 同理可得 由，可得 ，又 所以，即，即 所以，即，即，即 所以，即 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线离心率问题 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，5，5分）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 2．（2021·全国甲卷·高考真题，5，5分）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 3．（2025·黑龙江牡丹江·三模）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形， 所以， 由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 4.（2025·云南昆明·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与交于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】因为，所以，即， 得，设，则，， 又，所以，即为直角三角形， 根据椭圆的定义，由，可得， 由，可得， 在中，，所以， 解得，所以，， 在中，，由勾股定理得， 也即，解得， 所以． 故选：D．    5.（2024·山东东营·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点．若，且，则C的离心率为______． 【答案】/ 【详解】由题意知，，由椭圆定义， 得，则， ，取线段的中点M，连接，如图所示． 易知，， ． 在中，得， 即，得， 即，又，解得． 故答案为：． 6.（2024·广西柳州·二模）已知为双曲线：的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且，，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】不妨设分别为双曲线的左右焦点，连接， 因为A，B两点关于原点对称，所以为平行四边形，所以， 因为，， 所以. 因为，所以； 在中，由余弦定理可得， 因为，所以，即. 故选：D 7．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】详解】由椭圆的定义得， 由双曲线的定义得， 两式联立得， 设焦距， 由余弦定理得， 整理得，即， 又的离心率，所以，代入上式得， 所以的离心率. 故选：A 8．（2022·全国甲卷·高考真题，10，5分）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 9.（2025·吉林长春·一模）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】设，则，， 由，， 化为，，整理得， ，，解得． 10.（2025·河南漯河·模拟预测）已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则 则 同理可得 由，可得 ，又 所以，即，即 所以，即，即，即 所以，即 故答案为： 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，16，5分）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】/ 【分析】 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 学科网（北京）股份有限公司 $ 渐近线专题 规律与方法：渐近线： (1)若渐近线方程为双曲线可设为. (2)若双曲线与有公共渐近线，可设为（）. （3）焦点到渐近线的距离总是b; (4)顶点到渐近线的距离为 （5）双曲线上任意点P到E的两渐近线的距离之积为定值 1.（2026·福建·二模）已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·辽宁大连·一模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3. （2026·辽宁朝阳·一模）点到双曲线的渐近线的距离为______. 4.（2026·江西·一模）双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知双曲线的离心率为的一条渐近线截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 6.（2025·江苏徐州·二模）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.（多选 2026·辽宁抚顺·一模）已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（   ） A．2 B．3 C． D． 8.（多选 2026·广东深圳·一模）设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（   ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．直线的斜率为 9.（多选 2026·四川成都·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．的外接圆半径的最小值为3 B．点P到E的两渐近线的距离之积为定值 C． D． 10． （25-26高三·一轮复习）双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，若的面积为，则双曲线C的渐近线方程为____________． 11.（2025·河南·模拟预测）设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为__________. 12（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 13.（2025·江苏南京·一模）已知双曲线的左焦点、右顶点分别为，过点倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程是__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 抛物线的焦点弦 抛物线焦点弦的结论 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则 （1）x1x2=,y1y2=-p2; (2)弦长|AB|=x1+x2+p=; (3)以弦AB为直径的圆与准线相切; (4)S△AOB=; (5)∠CFD=90°; (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;(7)|AF|=,|BF|=. 1.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 2.（2025·江西·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·福建厦门·一模）过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D．1 4（2026·河北沧州·一模）已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线交抛物线于第一象限内的，两点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.(多选)(2023·新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 7.（多选2026·重庆北碚·模拟预测）已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点， 则下列说法正确的是（    ） A． B．若，记直线的斜率为，则 C．面积的最小值为 2 D． 的最小值为 8．（多选 2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 9.（多选 2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 10.（多选 23-24高三上·湖南长沙·月考）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 11.过抛物线y2=16x的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的面积为　　　　　.  12（2018·全国III卷·高考真题）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________． 13.（2026·山东济宁·二模）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于，两点，为坐标原点，若是，的等比中项，则________ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 中点弦专题 椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 点差法在圆锥曲线中的结论 1、 椭圆： 2、双曲线：3、抛物线： 1.（2026·河南开封·模拟预测）已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（    ） A．2 B． C． D． 2.（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东湛江·二模）已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高三下·河北沧州·月考）已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（   ） A．或 B． C． D． 6.(2024·河北衡水三模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为6,点M(1,1),直线MF2与C交于A,B两点,且M为AB中点,则△AF1B的周长为　　　　　.  7.（2025·江西·一模）在抛物线上有三个不同点、、，焦点为，点坐标为且轴，为的重心，则的面积为___________． 8.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________． 9.（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______. 10.（2018·全国III卷·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．证明：； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 抛物线的焦点弦 抛物线焦点弦的结论 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则 （1）x1x2=,y1y2=-p2; (2)弦长|AB|=x1+x2+p=; (3)以弦AB为直径的圆与准线相切; (4)S△AOB=; (5)∠CFD=90°; (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;(7)|AF|=,|BF|=. 1.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】解法一：利用抛物线的焦点弦长公式. 解法二：设出点后，求出直线的方程，与抛物线方程联立，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段的长 【详解】解法一：抛物线的焦点弦长公式，可得. 解法二：设点、，抛物线的焦点为， 由于直线过点，且该直线的倾斜角为，斜率为1， 则直线的方程为， 联立方程，消去并整理得，， 由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得 故选：C. 2.（2025·江西·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】由题意作图，设出直线方程，联立写出韦达定理，由向量的数乘，可求得交点坐标，结合面积公式可得答案. 【详解】    由抛物线，则，其焦点， 由题意易知直线的斜率存在，可设为， 设，，，， 联立可得，消去可得，， 由韦达定律可得，， 由，，且，则， 由，则，解得，， 所以. 故选：A. 3.（2025·福建厦门·一模）过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】求出抛物线的准线，过点作出准线的垂线段，利用抛物线定义，结合几何图形求解. 【解答过程】抛物线C：的焦点，准线方程为， 过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，， 由，得，即， 所以与的面积之比为. 故选：B. 4.（2026·河北沧州·一模）已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线交抛物线于第一象限内的，两点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.53 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据抛物线的定义，结合相似三角形的性质及中点坐标公式即可求解． 【详解】由抛物线方程可知，点为抛物线准线与轴交点坐标， 过点作准线的垂线，垂足为，如图所示， 则， 由抛物线定义可知，， 又，所以， 所以，即点为线段中点， 设点，则点为， 又点在抛物线上， 所以，即，解得，或（舍）， 所以点，则． 5．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可． 【详解】 如图，设抛物线的焦点坐标为， 焦点为， ，得，即抛物线方程为， 当轴时，易得，，则， 则； 当不垂直轴时，设斜率为，，， 则直线的方程为， ，代入 可得，即， 则，， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则，， ， 则， 于是，， 当且仅当，即时取等号. 综上：因,故 的最小值为. 故选：C. 6.(多选题)(2023·新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 答案：AC 解析 对于A,在y=-(x-1)中令y=0,得x=1,所以抛物线的焦点为(1,0),所以=1,所以p=2,故A正确;对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x,则由不妨设M,N(3,-2),则由抛物线的定义知|MN|=+3+2=,故B不正确; 对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为,-,半径为,又抛物线的准线l的方程为x=-=-1,圆心到准线l的距离为-(-1)=,故以MN为直径的圆与l相切,故C正确; 对于D,因为|OM|=,|ON|=,|MN|=,可知△OMN不是等腰三角形,故D不正确.故选AC. 7.（2026·重庆北碚·模拟预测）已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点， 则下列说法正确的是（    ） A． B．若，记直线的斜率为，则 C．面积的最小值为 2 D． 的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.48 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设直线AB的方程为，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根与系数的关系，从而可求出，即可判断A；根据弦长公式即可判断B；根据结合韦达定理即可判断C；根据弦长公式得，结合基本不等式即可判断D. 【详解】由题意知抛物线的焦点为且直线斜率不为0， 故可设直线AB的方程为，，， 由得，显然， 所以，，，， 所以，故A错误； 设直线的倾斜角为，当为锐角时， 由抛物线的定义可知， 故，同理可得， 由得，从而， 同理当为钝角时，，故B正确； ， 当时，面积的最小值为 2，故C正确； 由于，， 所以， 当且仅当，时， 的最小值为 ，故D正确. 8．（多选 2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 9.（多选 2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】设，，直线，联立方程组，求得，，求得，两点处的切线方程，可求得点判断A；求得准线方程判断B；由，可求得，进而可求得，判断C；，，进而可得，可求的最小值，判断D. 【详解】对于A项，设，，直线， 联立，消去，得，， 所以，， 由，得，则点处的切线：①， 同理点处的切线：②，联立①②，得，， 所以，点，故A正确； 对于B项，准线方程为，故B错误； 对于C项，，得，所以，，故C错误； 对于D项，，点到直线的距离为：， 所以， 当时，的面积有最小值16.故D正确. 故选：AD. 10.（多选 23-24高三上·湖南长沙·月考）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程为和，得到，进而可判定A正确；点在直线上，进而得到底边的直线方程，可判定B正确；设直线，联立方程组，根据，可判定C正确；取的中点，化简得到的面积为，可判定D不正确. 【详解】依题意设，，由方程，可得，则， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 可得A处的切线方程为：，即， 化简可得，所以直线的方程为， 同理可得：直线BM的方程为，所以， 则， 因为，解得，即，所以A正确； 因点在直线上， 可得，， 即在上，在上， 所以底边的直线方程为，所以B正确； 设直线，联立方程组，整理得， 则且，， 因为，所以， 所以是直角三角形，所以C正确； 取的中点，连接，根据抛物线的定义，可得平行轴， 所以 因为，，所以， ， 代入可得， 当时，，所以D不正确. 故选：ABC.   11.过抛物线y2=16x的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的面积为　　　　　.  答案 64 由题意,得p=8,直线AB的倾斜角α=30°.根据抛物线焦点弦的性质,直接代入公式,得S△AOB==64. 12.（2018·全国III卷·高考真题）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线的交点坐标、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果. 【详解】［方法一］：点差法 设，则，所以 所以， 取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为 因为,， 因为为AB中点，所以平行于x轴， 因为M(-1,1)，所以，则即． 故答案为：2. ［方法二］：【最优解】焦点弦的性质 记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以． ［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理 记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以． ［方法四］：【通性通法】暴力硬算 由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得． ［方法五］：距离公式+直角三角形的性质 设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以． 又由弦长公式知． 由得，解得，所以． ［方法六］：焦点弦的性质应用 由题可知，线段为抛物线的焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M． 过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心． 设，则． 又因为，所以联立解得．将的值代入中求得． 因为抛物线C的焦点，所以． 【整体点评】方法一：根据点差法找出直线的斜率与两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出中点坐标，从而解出； 方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解； 方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点，再根据韦达定理求出直线的斜率； 方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂； 方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂； 方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出． 13.（2026·山东济宁·二模）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于，两点，为坐标原点，若是，的等比中项，则________ 【答案】8 【难度】0.55 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设直线，与抛物线方程联立可得韦达定理，结合等比中项可得，进而可求弦长. 【详解】由题意可知：， 设直线，，， 则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 因为是，的等比中项，则， 可得，即， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $