圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题复习讲义-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题复习讲义 圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题复习讲义 考点目录 轨迹方程问题 离心率问题 知识点解析 1.定义法 曲线类型 曲线定义 曲线方程 椭圆 平面上到两个定点、的距离之和为 常数的点的集合. 或 双曲线 平面上到两个定点、的距离之差的绝对值为 常数的点的集合. 或 抛物线 平面上到定点与定直线的距离相等的点的集合. 或 圆 平面上到定点的距离相等的点的集合. 或 2.直译法 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性． 3. 相关点法： （1）设点：设被动点坐标为，主动点坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 4.交轨法 在解析几何中，交轨法是一种求动点轨迹方程的重要方法。其核心思想是：当动点的运动由两个或多个几何条件共同决定，且每个条件都能确定一条曲线（或轨迹）时，动点的轨迹就是这些曲线的交点所形成的集合。通过联立这些曲线的方程，消去参数，即可得到动点的轨迹方程. （1）交轨法的适用场景 ①动点是两条动曲线的交点（如两条动直线、动直线与动圆等）. ②动点的坐标满足两个含参数的方程，且参数是同一个变量. （2）交轨法的步骤 ①设点：设动点的坐标为. ②列方程：根据动点是两条动曲线交点的条件，列出两条动曲线的方程，方程中含共同参数（如参数）. ③联立消参：将两个方程联立，消去参数，得到关于和的方程，即为动点的轨迹方程. ④验证：检查轨迹方程是否符合实际几何意义（如是否需要去除不符合条件的点）. 5.椭圆的方程与特征值 （1）椭圆的标准方程：或 （2）特征值：长轴长，短轴长，焦距，. （3）离心率： （4）离心率的意义：，越接近0，椭圆越圆，越接近1，椭圆越扁. 6.双曲线的方程与特征值 （1）双曲线的标准方程：或 （2）特征值：实轴长，虚轴长，焦距，. （3）离心率： （4）离心率的意义：，离心率越大，双曲线的开口越大. 7. 定义法求离心率：根据椭圆或者双曲线的定义求出、，然后用定义得到离心率. 8.构造齐次方程法求离心率：根据题设条件，借助和之间的关系，构造二次式，列式时常用公式代替式子中的，同除，得到关于的一元方程，从而解得离心率. 9.构造方程的一般方法 （1）表示边的方法：圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理、成比例线段. （2）表示坐标的方法：向量、函数解析式、曲线解析式，点差法. （3）常见角度关系：公共角、补角、余角. （4）若能表示边，可利用余弦定理表示角，进而利用公共角或补角的余弦值关系构造关于、的齐次方程. （5）若题目提及垂直关系，可利用勾股定理、斜率之积或向量数量积构造关于、的齐次方程. 10.求离心率（或范围）的方法： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 11.常见参数的限制范围 （1）对于椭圆，，. （2）对于椭圆，，. （3）对于双曲线，，. （4）对于双曲线，，. 考点一 轨迹方程问题 【例题分析】 例1．（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知圆，圆，若动圆始终平分圆的周长，则圆心的轨迹为（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 例4．（25-26高三上·山东烟台·月考）若动点P与点间的距离等于点P到直线的距离，则点P的轨迹方程为________. 例5．（25-26高三上·广东汕尾·月考）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．则的方程为______________； 例6．（25-26高三上·重庆·月考）已知圆与圆内切，且圆与直线相切，则圆的圆心的轨迹方程为__________． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 变式2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江苏徐州·月考）已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________． 变式5．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为__________. 变式6．（25-26高三上·广东深圳·月考）点P是圆B：上任意一点，，线段的中垂线交直线于点M，当时，点M的轨迹方程为____________；当时，点M的轨迹方程为____________． 考点二 离心率问题 【例题分析】 例1．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于A，B两点，且，则的离心率为（    ）． A．2 B．3 C． D． 例2．（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·吉林通化·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为___________． 例5．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 例6．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率___________． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正方形的四个顶点都在椭圆上，边AD与BC均与x轴垂直，且分别经过椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知点为椭圆上异于左右顶点的动点，为其左右焦点，若有且只有两个点使得，当时，与椭圆交于另一点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·山东日照·一模）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________． 变式5．（25-26高二上·江西宜春·期末）过双曲线：（，）的左焦点作圆的一条切线，切点为，该切线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为______. 变式6．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，为坐标原点，为上一点，右顶点到直线的距离为（），点到直线轴的距离为.若，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题复习讲义 圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题复习讲义 考点目录 轨迹方程问题 离心率问题 知识点解析 1.定义法 曲线类型 曲线定义 曲线方程 椭圆 平面上到两个定点、的距离之和为 常数的点的集合. 或 双曲线 平面上到两个定点、的距离之差的绝对值为 常数的点的集合. 或 抛物线 平面上到定点与定直线的距离相等的点的集合. 或 圆 平面上到定点的距离相等的点的集合. 或 2.直译法 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性． 3. 相关点法： （1）设点：设被动点坐标为，主动点坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 4.交轨法 在解析几何中，交轨法是一种求动点轨迹方程的重要方法。其核心思想是：当动点的运动由两个或多个几何条件共同决定，且每个条件都能确定一条曲线（或轨迹）时，动点的轨迹就是这些曲线的交点所形成的集合。通过联立这些曲线的方程，消去参数，即可得到动点的轨迹方程. （1）交轨法的适用场景 ①动点是两条动曲线的交点（如两条动直线、动直线与动圆等）. ②动点的坐标满足两个含参数的方程，且参数是同一个变量. （2）交轨法的步骤 ①设点：设动点的坐标为. ②列方程：根据动点是两条动曲线交点的条件，列出两条动曲线的方程，方程中含共同参数（如参数）. ③联立消参：将两个方程联立，消去参数，得到关于和的方程，即为动点的轨迹方程. ④验证：检查轨迹方程是否符合实际几何意义（如是否需要去除不符合条件的点）. 5.椭圆的方程与特征值 （1）椭圆的标准方程：或 （2）特征值：长轴长，短轴长，焦距，. （3）离心率： （4）离心率的意义：，越接近0，椭圆越圆，越接近1，椭圆越扁. 6.双曲线的方程与特征值 （1）双曲线的标准方程：或 （2）特征值：实轴长，虚轴长，焦距，. （3）离心率： （4）离心率的意义：，离心率越大，双曲线的开口越大. 7. 定义法求离心率：根据椭圆或者双曲线的定义求出、，然后用定义得到离心率. 8.构造齐次方程法求离心率：根据题设条件，借助和之间的关系，构造二次式，列式时常用公式代替式子中的，同除，得到关于的一元方程，从而解得离心率. 9.构造方程的一般方法 （1）表示边的方法：圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理、成比例线段. （2）表示坐标的方法：向量、函数解析式、曲线解析式，点差法. （3）常见角度关系：公共角、补角、余角. （4）若能表示边，可利用余弦定理表示角，进而利用公共角或补角的余弦值关系构造关于、的齐次方程. （5）若题目提及垂直关系，可利用勾股定理、斜率之积或向量数量积构造关于、的齐次方程. 10.求离心率（或范围）的方法： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 11.常见参数的限制范围 （1）对于椭圆，，. （2）对于椭圆，，. （3）对于双曲线，，. （4）对于双曲线，，. 考点一 轨迹方程问题 【例题分析】 例1．（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入得，， 因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得；令，得， 则，，则，所以，， 代入得，即， 例2．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 例3．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知圆，圆，若动圆始终平分圆的周长，则圆心的轨迹为（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【详解】设圆的圆心，半径为， 由题意知，圆与圆的公共弦过圆的圆心，从而， 同理，，两式相减可得，， 因为, 所以，化简可得，即. 从而圆心的轨迹为直线. 故选：A 例4．（25-26高三上·山东烟台·月考）若动点P与点间的距离等于点P到直线的距离，则点P的轨迹方程为________. 【答案】 【详解】设点是所求轨迹上的任意一点， 因为动点P与点间的距离等于点P到直线的距离， 可得，整理得，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·广东汕尾·月考）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．则的方程为______________； 【答案】 【详解】点，根据已知列方程得，两边平方并整理得：. 故答案为： 例6．（25-26高三上·重庆·月考）已知圆与圆内切，且圆与直线相切，则圆的圆心的轨迹方程为__________． 【答案】 【详解】设，点到直线的距离为d， 如图，只能在直线的左侧，则，    因为圆的圆心为，半径为1， 依题意可得，即，化简可得， 故圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】设点，由题意，， 由，整理得， 因当时，，此时两点恰分别与点重合，故不合题意，应舍去. 即直角顶点的轨迹方程为且 故选：D. 变式2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 变式3．（25-26高二上·江苏徐州·月考）已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，， 因，则， 由，可得， 即，故（*）， 因D是圆C上的动点，故， 将（*）代入上式，可得， 整理得，即为点M的轨迹方程. 故选：B 变式4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【详解】设斜率为直线方程为：， 代入椭圆中，消元整理得： ， 线段的中点为，设， 则， 所以， ， 所以，消去得：， 所以线段的中点为的轨迹方程为：， 如图所示： 的轨迹即为线段， 由或， 所以， 所以的轨迹长度为： ， 故答案为：. 变式5．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为__________. 【答案】或 【详解】由焦点到准线的距离为2，可得抛物线. 由可得，故， 故在处的切线方程为，即， 同理在点处的切线方程为， 联立，即. 联立直线与抛物线方程：，消去得， 由题或. 由韦达定理，， 得，其中或，故点的轨迹方程为：或. 故答案为：或 变式6．（25-26高三上·广东深圳·月考）点P是圆B：上任意一点，，线段的中垂线交直线于点M，当时，点M的轨迹方程为____________；当时，点M的轨迹方程为____________． 【答案】 ； . 【分析】第一空，作图分析，结合题意可得，根据椭圆的定义即可求得答案；第二空，由题意可推出，根据双曲线定义，即可求得答案. 【详解】当时，圆B：半径为，点A在圆内，如图， 此时,所以， 而,故点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆方程为，则， 故点M的轨迹方程为； 当时，圆B：半径为，点A在圆外，如图， 线段的中垂线交延长线于点M， 此时,所以， 而,故点M的轨迹是以为焦点的双曲线， 设双曲线方程为，则， 故点M的轨迹方程为， 故答案为：； 考点二 离心率问题 【例题分析】 例1．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于A，B两点，且，则的离心率为（    ）． A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】，． ，所以，是等边三角形，． 在中，，即， 化简得，所以． 例2．（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 例3．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以点在轴左侧， 如图，作轴，垂足为．由，得， 所以，即， 则，， 所以，即，则，则点的坐标为或， 结合，将代入到椭圆方程有， 解得，则，则. 例4．（2026·吉林通化·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则的离心率为___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 由椭圆定义，得， 又因为， 所以. 设C的焦距为，由勾股定理，得， 又，所以， 所以． 例5．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 【答案】 【详解】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，化简得， 解得，因为， 所以，即，解得． 所以该椭圆的离心率的取值范围是． 例6．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率___________． 【答案】/ 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 在中，由，得， 由双曲线定义得，则， 所以的离心率. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 则， 即，可得， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 变式2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正方形的四个顶点都在椭圆上，边AD与BC均与x轴垂直，且分别经过椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设正方形的边长为2， 设椭圆的两个焦点为，可知椭圆的右焦点为， 且椭圆经过点，所以， 解得（小于半焦距c的根舍去）， 因此椭圆的离心率． 变式3．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知点为椭圆上异于左右顶点的动点，为其左右焦点，若有且只有两个点使得，当时，与椭圆交于另一点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意由椭圆对称性可知，为椭圆上、下顶点时，有且只有两个点使得， 此时，在中，易知. 当时，易知， 又，所以. 在中，又， 即可得，解得， 因此椭圆的离心率. 故选：D 变式4．（2026·山东日照·一模）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【详解】由焦点，得，，所以抛物线的方程为，准线为.又由，得，所以， 设椭圆的左焦点为，有，故，则， 可得离心率为. 变式5．（25-26高二上·江西宜春·期末）过双曲线：（，）的左焦点作圆的一条切线，切点为，该切线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为______. 【答案】 【详解】由题可得双曲线的左焦点为，其中； 圆的圆心为，半径为.因为是圆的切线，所以， 在中，，由勾股定理得. 因为，则. 设，由，则， ，即，又， 代入得，解得，再代入到圆方程中得，即， 设，由，则， 解得，故. 因为在双曲线上，代入得， 化简得，两边同乘得， 将代入整理得，两边除以， 即，则，因为，所以， 解得，即. 故答案为： 变式6．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，为坐标原点，为上一点，右顶点到直线的距离为（），点到直线轴的距离为.若，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【详解】设点，则直线方程为，而，又， 则，于是，由，，成等比数列， 得，而，则， 令双曲线半焦距为，由， 得，因此，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故答案为：    2 学科网（北京）股份有限公司 $