圆锥曲线：离心率问题 讲义-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：离心率问题复习讲义 圆锥曲线：离心率问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 离心率是圆锥曲线的核心特征量（椭圆、双曲线、抛物线），核心公式为椭圆、双曲线（实半轴、虚/短半轴、半焦距，满足）。解题本质是利用圆锥曲线定义、几何性质或代数条件，建立的齐次等式/不等式，消元转化为的方程/不等式求解。 二、通用解题思路（三步法） 1. 定曲线类型，记核心公式：明确椭圆/双曲线，熟记的定义式、变形公式及的关系，为消元做准备； 1. 建关系，抓条件转化：根据题干条件（定义类、几何性质类、代数类）建立齐次式—— · 定义类：利用圆锥曲线定义（椭圆、双曲线）结合焦点三角形、距离公式列等式； · 几何类：利用对称轴、焦点、准线、渐近线（双曲线）的位置/数量关系，或垂直、共线等几何条件转化； · 代数类：将直线与曲线联立的韦达定理、点在曲线上等条件，代入化简得齐次等式/不等式； 1. 消元求，验证范围：将齐次式中用代换，两边同除转化为仅含的方程/不等式，求解后验证的取值范围（椭圆、双曲线）。 三、核心技巧与注意事项 1. 齐次式是关键：所有条件最终要转化为的齐次等式/不等式，无齐次则通过设参、代换构造； 1. 双曲线勿忘渐近线：双曲线离心率常结合渐近线斜率，由快速转化； 1. 定义法优先用：涉及焦点距离、焦点三角形时，用定义列关系更简洁，避免复杂代数运算； 1. 范围验证必做：求解后严格匹配曲线的范围，舍去不符合的解（如椭圆解出直接排除）。 例题分析 例1．（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 例2．（25-26高三下·江苏南京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且斜率为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三下·江西·月考）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为2，，是右支上两点，且满足，记，的内切圆半径分别为，，则__________． 例5．（25-26高二下·湖北随州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为______． 例6．（25-26高二下·浙江·月考）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 变式训练 变式1．（25-26高二下·河北保定·开学考试）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河北·模拟预测）已知，分别为双曲线，的左、右焦点，点P在C上，且满足，，则C的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 变式3．（25-26高三下·河南·月考）已知双曲线（，）的右焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于点，线段与交于点，且为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·浙江杭州·二模）已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 变式5．（2026·浙江台州·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. 变式6．（25-26高二下·上海·月考）已知椭圆，点A是椭圆上位于第一象限的一点，为椭圆的右焦点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 实战演练 1．（2026·山东滨州·一模）圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆．已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的正投影是椭圆在半平面上的正投影是椭圆，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·青海海南·期末）直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则离心率（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________． 5．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为、.若上的点满足，，则的离心率为_____. 6．（25-26高二上·江苏常州·期末）过双曲线右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为_____________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：离心率问题复习讲义 圆锥曲线：离心率问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 离心率是圆锥曲线的核心特征量（椭圆、双曲线、抛物线），核心公式为椭圆、双曲线（实半轴、虚/短半轴、半焦距，满足）。解题本质是利用圆锥曲线定义、几何性质或代数条件，建立的齐次等式/不等式，消元转化为的方程/不等式求解。 二、通用解题思路（三步法） 1. 定曲线类型，记核心公式：明确椭圆/双曲线，熟记的定义式、变形公式及的关系，为消元做准备； 1. 建关系，抓条件转化：根据题干条件（定义类、几何性质类、代数类）建立齐次式—— · 定义类：利用圆锥曲线定义（椭圆、双曲线）结合焦点三角形、距离公式列等式； · 几何类：利用对称轴、焦点、准线、渐近线（双曲线）的位置/数量关系，或垂直、共线等几何条件转化； · 代数类：将直线与曲线联立的韦达定理、点在曲线上等条件，代入化简得齐次等式/不等式； 1. 消元求，验证范围：将齐次式中用代换，两边同除转化为仅含的方程/不等式，求解后验证的取值范围（椭圆、双曲线）。 三、核心技巧与注意事项 1. 齐次式是关键：所有条件最终要转化为的齐次等式/不等式，无齐次则通过设参、代换构造； 1. 双曲线勿忘渐近线：双曲线离心率常结合渐近线斜率，由快速转化； 1. 定义法优先用：涉及焦点距离、焦点三角形时，用定义列关系更简洁，避免复杂代数运算； 1. 范围验证必做：求解后严格匹配曲线的范围，舍去不符合的解（如椭圆解出直接排除）。 例题分析 例1．（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】计算，再计算的面积和周长得出即可求出. 【详解】令，其中，则，得， 因为，所以， 则由双曲线的定义可知，， 则的面积为， 周长为， 则，则， 则的离心率为. 例2．（25-26高三下·江苏南京·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且斜率为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线斜率为，得， 由在上的射影点恰为的中点，得，为等边三角形， 由对称性，得为椭圆的上顶点，则， 所以椭圆的离心率为. 例3．（25-26高三下·江西·月考）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线与椭圆联立，得到坐标，根据为锐角三角形，写出向量关系，即可求解. 【详解】不妨假设在第一象限，设，由得 ，，， 易知恒为锐角， 则 得. 例4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为2，，是右支上两点，且满足，记，的内切圆半径分别为，，则__________． 【答案】 【分析】先求出的关系，再设，求出，再利用韦达定理求出值和，求出，各边长长度，利用内切圆的性质求出半径，作商即可. 【详解】双曲线离心率，故，得，， 右焦点，，双曲线方程可化为， 设，则，，， 由​得即， 设直线，代入双曲线方程， 整理得，由韦达定理 ​，​， 因为直线与双曲线交于右支，所以即， 结合​，代入得： ​联立解得​， 不妨令，则，， 所以， 所以，，， 则， ， . 例5．（25-26高二下·湖北随州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为______． 【答案】 【分析】由多边形为正六边形可得双曲线渐近线方程，据此可得双曲线离心率；然后由正六边形几何性质可得椭圆离心率，据此可得答案. 【详解】设正六边形边长为，则. 由，可得双曲线的一条渐近线方程为：，则， 从而双曲线离心率为； 椭圆离心率为. 则离心率之和为：. 例6．（25-26高二下·浙江·月考）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【分析】设双曲线上的点，可得，利用点到直线的距离公式可求得，由恒成立可得，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 变式训练 变式1．（25-26高二下·河北保定·开学考试）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出符合题意的图形，结合题意以及双曲线的定义得到，最后利用余弦定理建立齐次方程，求解离心率即可. 【详解】如图，设C的左焦点为，则为平行四边形，， 因为，所以， 而，可得， 因为，所以， 所以， 化简得，故离心率． 变式2．（2026·河北·模拟预测）已知，分别为双曲线，的左、右焦点，点P在C上，且满足，，则C的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】结合双曲线的定义、直角三角形勾股定理、双曲线离心率计算公式求得正确答案. 【详解】由，设，则. 因为，所以为直角三角形， 所以，所以. 又因为， 所以C的离心率. 变式3．（25-26高三下·河南·月考）已知双曲线（，）的右焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于点，线段与交于点，且为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式代入双曲线方程，得到的二次齐次式来求离心率. 【详解】 设双曲线右焦点，其中，离心率， 则过点斜率为的直线方程为， 直线交轴于，令得，故， 因为是中点，由中点坐标公式得点， 由点在双曲线上，代入得： ， 整理得：， 令，则，，故， 代入得： ， 设， 整理得一元二次方程：，解得：或（舍去）, 即, 因此双曲线离心率为. 变式4．（2026·浙江杭州·二模）已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 【答案】 【详解】设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为即为直角三角形，所以， 又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有， 连接与左焦点，由可得为直角三角形且， 由双曲线定义可知，， 所以双曲线的离心率为. 变式5．（2026·浙江台州·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. 【答案】 【分析】先根据双曲线的定义求出，然后利用余弦定理分别表示出及，再根据两个角的关系列出方程求出，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 因为，所以， 所以，即. 因为，，所以 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得. 因为，所以， 即，解得，所以. 所以. 变式6．（25-26高二下·上海·月考）已知椭圆，点A是椭圆上位于第一象限的一点，为椭圆的右焦点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，再根据椭圆的定义可得的关系式，从而求解. 【详解】连接，为等边三角形，且，又因为， 在中，由余弦定理可得， 则，故， 解得. 实战演练 1．（2026·山东滨州·一模）圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆．已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的正投影是椭圆在半平面上的正投影是椭圆，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设圆与切于点，过作与垂直的平面分别交半平面，于射线，（如图）. 设圆的半径为，椭圆，的中心分别为，，长短半轴分别为，，，， 则，，，而， 由平面几何知识易得，， 故椭圆的离心率. 2．（25-26高二上·青海海南·期末）直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程组，求得，根据题意，得出方程，求得，结合双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得， 联立方程组，整理得， 因为直线与双曲线交于两点，设 又因为两点的横坐标之积为，即， 因为过原点，所以关于原点对称，即，所以， 将代入上式，可得，解得，所以， 则双曲线的离心率为. 3．（25-26高二上·四川泸州·期末）设分别是椭圆E：（）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据椭圆的定义可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】设，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， 故，，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得，故. 故选：B. 4．（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________． 【答案】 【分析】由题意得，结合已知通径长及得，进而有，根据离心率公式即可得. 【详解】由题意， 在中，令，可得，所以， 因为过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以，则， 其中，所以，则， 所以，则. 5．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为、.若上的点满足，，则的离心率为_____. 【答案】 【分析】设点在第一象限，推导出，根据可得出的值，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，则，可得，易知、，    则，， 所以， 由图可知，， 所以， 所以， 故该椭圆的离心率为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·江苏常州·期末）过双曲线右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为_____________． 【答案】或 【分析】求得渐近线方程和过右焦点F与双曲线一条渐近线的垂线方程，进而求得的坐标，结合，可得，求解即可. 【详解】由双曲线，得双曲线的渐近线方程为， 过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，垂线方程为 由，解方程组得，所以， 由，解得，所以， 因为，所以， 若，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 若，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以双曲线C的离心率为或. 故答案为：或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $