陕西榆林市2026届高三下学期全国高考考前自测(二) 数学试卷

2026年全国高考冲刺压轴卷(二) 数 学 画 注意事项: 1.本卷满分150分,考武时问120分钟.苓题前,先将自己的灶名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上,并将准考证号条形马粘贴在答题卡上的指定位置。 2这择题的作答:每小题这出各案后、用2B格笔把签题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在武题客、草稿纸和茶题卡上的非签题区提均无效。 琴 3.非送择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区战内,写在武题卷、草稿纸 回 和答题卡上的非答题区提均无效。 4考试站克后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 染 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 部 题目要求的, 长 1设集合M={x|x2-6x一7<0),N=(-1,0,1,2),则M∩N= A(0,1,21 B(-1,0,1) C.(0,1) D.1,2) 里 2若复数:满足(x十Di=4一i,则z在复平面内的对应点为 高 A(1,-5) B.(-1,5) C.(-1,-5) D.(1,5) 詔 3.已知向量a,b满足2a十b=(3,一1),a一b=(3,4),则a与b的夹角为 图 A妥 R c D 4已知品。=in叶3@so,ae(0,)则cos2a= A号 B号 c是 n 5.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧梭长均为2√5.若圆柱的一个 底面的圆周与正方形ABCD的四边都相切,另一个底面圆周与四搜锥P-ABCD的四条侧 棱都相交,则该圆柱的体积为 A2 B.3 C.2(w2-1)x D.3(W2-1)x 【2026年冲刺压轴卷(二) 数学第1页(共4页)】 (log r+3,1, 6.已知a>0,a≠1,若函数fx)= 在R上单码递增,则 的取值范围是 l(1-a)2+2x+1,x≤1 A(22] B.(1,2] c(停3] D,] 7已知公比为整数的等比数列1a.的前n项和为S,且a十a十o,=4(低十品+女)-7,则 AS,=15 B.Ss=a:-3 C.S.=2a.+1 D.Sn-a.=21-1 8.若函数fx)=sin(x+g)(>0,gl<受)在区同(0,)上单调递增,且()=0,(x)≤ (-),则的取值是 A-吾 B吾 c.- D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.从工厂生产的零件中随机抽出100个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为5组: [4.98,5.08),[5.08,5.18),[5.18,5.28),[5.28,5.38),[5.38,5.48],并整理得到颜率分布 直方图如图,记这100个零件的直径的中位数为a,平 均数为b,极差为c,众数为m,则 组距 35 Aa≥5.18 B.65.28 05 C.c≤0.5 4985.085.18528538548直径/mm D.m>5.28 10.设函数f(x)=e一x2一a(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[2,3],使ff(b))=b成 立,则a的取值可以是(注:c2≈7.389,c≈20.086) A1 B.4 C.8 D.12 11.已知抛物线C:y=2px(p>0)的准线方程为x=一1,A是C上一点,点A与原点O不重 合,过点A作准线的垂线,垂足为M,直线OM与C交于另一点B,则 AC的焦点为(1,0) BO是线段B的中点 C.直线AB过定点 D.存在点A,使AO平分∠MAB 【2026年冲刺压轴卷(二) 数学第2页(共4页)】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,∫(r)=3十a(a为常数),则∫(a)= 13双曲谀 _y 后一言=1(a>0,>0)的左焦点为F,右顶点为A,渐近线分别为12,点P在第- 泉限内且在l1上,若PF⊥2,PA∥l,则该双曲线的离心率为 14有5道题,5名女生中有2人每题都不能答对,其余3人每题都能答对,3名男生每人对每题 答对的概率均为子现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题,每人答一题,答对 得2分,答错得0分,记得分之和为X,则X的数学期望为 四、解答题:本题共5小题,共刀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a十b=3(acos B十bcos A). (1)若a=7,A=受,求 ABC的面积: (2)求c05C的最小值, 16.(本小题满分15分) 如图,在三棱柱ABC-A1BC1中,AC=BC,D,E分别是AB,AC的中点,AA1⊥平 面ABC (1)求证:DE∥平面BCCB: (2)设AB=CD=2,AA1=3,求平面A1CD与平面BCE所成二面角的正 弦值. 8 【2026年冲刺压轴卷(二) 数学第3页(共4页)】 17.(本小题满分15分) 已知函数∫(x)=ln(ax+I)+-ax. (1)若(x)在[1,十∞)上单调递增,求实数a的取值范围; (2)若a=一1时,函数y=∫(x)一b有3个零点,求实数b的取值范围. 18.(本小题满分17分) 已知柄盟C:后+芳-1a>>0)经过点M3.1D,离心率为2.0坐标原点,平行于0M 迴 的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),且交C于A,B两点. 柒 (1)求C的方程: 邀 (2)求m的取值范围: (3)求证:直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形 长 3 19.(本小题满分17分) 塑 设数列a)中,a1=3,1=1-(m∈N). aae+1aa1十a (1)求证:数列{a.}是等差数列,并写出(a.}的通项公式: (2)在集合{(p,q,r)|1≤<q<≤20,p,9,r∈N }中,任取一个数组(p,q,r),求该数组满 足上,二,上成等差数列的概率 ap'a'a (3)在{a.】中抽出一个项数为无穷多项,公比为q(q>1)的等比数列(a.),其中a4=a1,记数 列(ab.)的前n项和为S.,若lgS,<1十15lg2,求q的值. 【2026年冲刺压轴卷(二) 数学第4页(共4页)】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 参考答案 数学(二) 1.A因为M=(xx2-6x-7<0)=(x-1<x<7),N=(-1,0,1,2),所以M∩N=(0,1,2).故选A 2.C由(x十iD=4-i得z十i=一4i一1,所以z=一1一5i,所以z在复平面内的对应点为(一1,一5).故选C. 3.D由2a+b=(8,-1D,a-b=3,0,得a=2,1,6=(-1,-3,设a与b的夹角为e,则cosa=日滑- 号,又0≤≤x,所以。=要故选D, 4B因为。=sina十3cose,所以3 sin0sa=1-62a=c0se,又a∈(0,受),所以cos。>0,所以tana= 品-宁所以2-2温:-计爱-号故选B sin a1 5.D设圆柱的上底面圆周与PA,PC分别交于点E,F,AC中点为O,PO交EF于点O,则由PA=2√5, 0A=得P0=3区,由圆0与正方形ABCD相切知圆半径r=1,又AC=0A=2,5F=2r=2,器- 沿,所以P0,=3,圆挂的商A=00,=P0-P0,=3V反-3,所以圆柱的体积为产A=36反-1Dx赦选D 6.B由题意知y=logx十3在(1,十∞)上单调递增,所以a>1;又y=(1-a)x2十2x十1在(-oo,1)上单调递 增,所以1-a<0,一己。≥l,所以1<a≤2,由f)在R上单调递增知3≥1-a+2+1,所以a的取值范围 是(1,2].故选B. D设(a,)的公比为g,由a十a:十a=4(日++)得a1+9+)-卫,所以=ag= aig 士2,当a2=2时,a1十a3=5,a1a=4,解得a1=1,ag=4或a1=4,a=1,又q是整数,所以a1=1,an=2-1; 当&=-2时,a十a=9,a=4,解得a=生y质,此时g=会不是整数,所以a=21,3=二号- 2m-1,S5=31,S6=63,a一3=61,AB错误;2an十1=2m十1≠Sn,Sn-an=2n一1-2-1=2-1-1,所以C错 误,D正确.故选D. 8.Cf晋)=0,fx)在(o,受)上单调递增,所以2≥4(受-吾)a>0),答+p=2km(k∈z0,所以0<≤ 名,9=2kx-答,又fx)≤f(-吾)儿,所以- +p=x+登(1∈2D,9=+受+置,所以2x- 晋=x+受+贤,所以u=号(4一2h-1D,6∈2,所以w=号,所以p=2n写=x十受+段5, 当h=0,k=一1时,9=一于.故选C 【CC 数学(二)参考答案第1页(共6页)】 GB CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 9.ABC将这100个数从小到大排,第31个数大于或等于5.18,第65个数小于5.28,第50与第51个数之和 为2a,所以a≥5.18,A正确;若每个区间中的数都取最大值,平均数b< 5.08 10+5.18 20十5,28X35+5,38X30十5.48 5=5.28,B正确;极差是最大数减去最小的数,所以 100 c≤5.48-4.98=0.5,C正确;众数是指这100个数中,相等的数的个数最多的那个,如[5.28,5.38)中最多有 30个数相等,[5.18,5.28)中最多有35个数相等,则众数m<5.28,D错误.故选ABC 10.BC显然f(x)在[1,2]上单调递增,对于存在b∈[2,3],使f(f(b)=b成立,则方程f(x)=x在[2,3]上 有解,即e-x2-a=x在[2,3]上有解.记g(x)=e-x2-x,则g(x)=e-2x-1,当x∈[2,3]时, g(x)>0,所以g(x)在[2,3]上单调递增,g(2)≤g(x)≤g(3),g(2)=e-6,g(3)=e-12,所以e2-6≤ a≤e3-12.故选BC 11.AC由C的准线方程为x=一1,知一=-1,解得力=2,焦点F(1,0),A正确;设点A的坐标为 (年)≠0),则M的坐标为(一1,),直线OM的方程为y=一x,与C联立解得点B的坐标为 (告,一4),仅当-兰-0,=士2时,0是M的中点,B结误影直线AB的方程为(学-告)0-)= (计4)(x-),当y=0时,x=1,所以直线AB过定点(1,0),C正确;若存在点A,使A0平分∠MAB, 则∠AOF=∠MAO=∠OAF,所以|AF1=|OF|,又|AM|=|AF1,所以|AM川=IOF|,由A不是原点知, IAM>|OF,D错误.故选AC. 12.-2由f(0)=1+a=0得a=-1,所以f(1)=3-1=2,f(a)=f(-1)=-f(1)=-2. 13.1+月设F(-c,0),Aa,0),渐近线方程分别为4:=合z,:y=-合x,设P(x,叭.由PA∥得产。 一名,因为点P在直线y=品x上,于是解得P点坐标为P(号,合,因为PF1,所以。 (-名)=-1,所以=a2+2ac,因为a2+=,所以2-2ac-22=0,所以c=1+3)a,得e=1+3. 14号X的可能取值为0.24,68,10,P(x=0)-号 G(合) (合)广-动PCx=2)-智 c(合)八 (2) +是 C(合)'(合) =品P(x=4- c(合) (合)+e C(合)'(合) + c(合)》 (》尸-品Px=6)-器 8(合)广+智 c(合)尸(合)广+ 8(号)广(宝)-品 PX=8=器 @(合》'+得 c(合) (合)=是P(X=10)=是 c(号)广=品,所以x的数学 期望E(W=0 动+2 品+4X品+6 品+8 品+10 0-, l5.解:(1)由a+b=3(acos B+bcos A)及正弦定理得sinA+sinB=3(sin Acos B十sin Bcos A),…2分 又在 ABC中,A+B+C=r,sinC=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,所以sinA+sinB=3sinC, GB 【CC 数学(二)参考答案第2页(共6页)】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 预览 下载 期塑E(0=0 0+2 高+4 音+6 易+8 是十10 希=. 15.解:(1)由a十b=3(acos B+-bcos A)及正弦定理得sinA十sinB=3(sin Acos B+-sin Bcos A),…2分 又在 ABC中,A+B+C=元,sinC=sin(A+B)=sin Acos B+-sin Bcos A,所以sinA+sinB=3sinC, GB 【CC 数学(二)参考答案第2页(共6页)】 由正弦定理得a十b=3c,… …4分 因为a=7,A=苓,所以由余弦定理得a=+c2-bc, 所以(3c-b)2=+2-bc,所以8c=56, …6分 的c6, b=8, 解得 …7分 3c-b=7, (c=5. 所以 ABC的面积为号bcsi血A=105.… …8分 (2)由(1)知c=4+b, 3, 所以osC=+8-2_a+5-(色) 2ab 2ab …10分 =告(号+)->g-号=, 当且仅当a=b时,等号成立,… …12分 故c0sC的最小值为子 …13分 16.(1)证明:取BC中点F,连接DF,CF, 因为D是AB中点,所以DP∥AC,DF=合AC, …1分 因为E是A1C1的中点,棱柱中A1C∥AC,AC=AC,所以DF∥EC,DF=EC, …2分 所以四边形DECF是平行四边形,所以DE∥CF,…4分 因为DE过平面BCCB1,C1FC平面BCCB1,所以DE∥平面BCCB. 5分 B (2)解:取AB,中点P,连接DP,则DP∥AA,由AA1L平面ABC知DP⊥平面ABC, …6分 因为AC=BC,D是AB中点,所以CD⊥AB,所以DP,CD,AB两两垂直. …7分 如图,以D为原点,DB,DC,DP分别为x轴,y轴,x轴建立空间直角坐标系D-xyz, 因为AB=CD=2,AA1=3, 所以D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A1(-1,0,3),E(-2,1,3), D心=(0,2,0),DA=(-1,0,3),C=(-1,2,0),2-(-号1,3. …9分 设平面BCE的法向量为n=(a,b,c), 因为…武=0,m…庞=0,所以-a十2b=0,-号a十b叶3c=0, 取c=2,得n=(6,3,2).…11分 同样可求得平面A1CD的-个法向量m=(3,0,1),…13分 【CC 数学(二)参考答案第3页(共6页)】 GB CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 设平面A,CD与平面BCE所成二面角为a, 则1oa-设-2 7 …14分 故sina=1-coa=号. …15分 1解:1)因为f在1,+o)上为增函数,所以了(a)=2z年+2z-&=2a2≥0在1,十o0)止 ax+1 恒成立.… …2分 若a=0,则f(x)=2x≥0在[1,十∞)上恒成立,f(x)在[1,十o∞)上单调递增成立.…3分 若a≠0,由ax十1>0对x>1恒成立知a>0,… …4分 f(≥0在[1,+o)上恒成立得x(2ax+2-a220成立,所以2a2≤1,0<a≤1+.…6分 综上,实数a的取值范田是[0,1十尽].…7分 (2)若a=一1时,由y=f(x)一b=ln(1-x)十x2十x-b=0得b=n(1一x)十x2十x,…8分 设g(x)=ln(1-x)+x2十x, 则g)-+2z+1=242(<1, x-1 由g(a)=0得x=0或z=合,由gx)>0得0<x<,由g()<0得x<0或号<r<1, 所以g(x)的单调递增区间为(0,号),单调递减区间为(-∞,0)与(分,1), …11分 又g0)=0,g(2)=-ln2,g1-e2)=-2+(1-e-2)2+1-e2<0, …13分 又g(-2)-h3+2>g(号), …14分 所以由y=g(x)与y=b的图象可得函数y=f(x)-b有3个零点时,b的取值范围是(0,及-l山2): …l5分 18.(1)解:设C的焦距为2c,则二=22 因为a2=b2十c2,所以a2=9b,… 2分 91 由 a十=1, a2=9, a=18, 解得 …4分 6=2, 所以C的方程为后+号-1 …5分 (2)解:因为L∥OM且在y轴上的羧距为m,所以直线L的方程为y=寸x十m …6分 GB 【CC 数学(二)参考答案第4页(共6页)】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP =子x+m, 由 消去y整理得2x2+6mx+9m2一18=0. …8分 +苦=1 因为直线l交椭圆于A,B两点,所以 =(6m)2一4X2(9m2一18)>0,所以一2<m<2,…9分 所以m的取值范图为(一2,0)U(0,2).…10分 (3)证明:设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2, 设A,8(x),则=司=为寻 x2一3 由2x2+6mx+9m2-18=0,得a十x2=-3m,x2=号, 2次29。……12分 又身=号a十m,2=号十m, 代人为十k2=-1)(-3)十(2-1D(z,-3) (x1一3)(x2一3) 得为十起-兰+m-26a十)+6-6m_号(号m-9)+(m-2(-3m+6-6m 2 (x1一3)(x2一3) (x1一3)(x2一3) 0.…16分 所以1十k2=0,从而直线MA,MB与x轴图成一个等腰三角形. …17分 1以a证明:迪ad中a去分母得, 1十an=at1(1十an)一anat1=at1十anat1一anQmbl=at1,…2分 所以a+1一an=1, 又a1=3,所以(an)是首项为3公差为1的等差数列,…3分 a。=3十n-1=n十2.… 4分 (②解:令中2n中n十成等差数列,其中心≥3,k∈N, 因为+2=a+检+万十=a叶品+万所以+a干万且叶4一>0,…5分 n十k n十2 n+4-k 所以刀+=7+2-2+件,2是整数,所以22 n十4是整数,且5≤n十≤22, 由叶1=m+4-6+242器+3k-6≥2-2》十3-6>2知,>5,所以要十1≤2,只考退=3,4. 5的情况,… 6分 =3时,n十2=n十4十,名与∈,n=1,n十=6湖足条件, …7分 k=4时,n十=n十6十8∈Z,n=1,2,4,8,此时浏足6≤十≤221… …8分 A=5时,n+1=n+8+n9∈Z,m=23,47,10,19,测足5≤十≤22的n=34,7,10.…9分 【CC 数学(二)参考答案第5页(共6页)】 6B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 所以在集合(,g,11≤p<g<≤20,力,,rEN)中,任取一个数组(p,,,使得二,1,2成等差数列 ap'ag ar 的个数为1十4十4=9个, 所以板率P=忌一赢 .3 …10分 (3)解:因为公比为g(q>1)的等比数列(a6,)中,aw=a1=3,所以an=3q1, 因为等差数列(an)中,a则,=b。十2,所以b。=3g”-1一2,… 11分 因为(a,)是从(a)中抽出的公比大于1,首项为a1=3的等比数列,所以(an)与(b)都是递增数列,设 4=,则公3,且:是整数则9宁%,=宁 由题意知号是整数,所以z是3的倍数,所以g是整数,显然g的取值可为2,3,4,…、……12分 anb.=3(n+2)g-1-2(n十2), Sn=3[3+4g+5g++(n+2)g-1]-n(n十5), 令S=3+4g十5g+…+(n十2)q-1,则gS=3g十4g+5g+…+(n+2)q, 所以(1-g)S=2+1+g十g+…+g1-(m+2)g=2+二-(n十2)g, 1-9 所以s=5+22, 1一9 所t以S。=3S-n(m十5)=3C1二2+6-3+2》4-n(m十5), (1-q)2 1-9 13分 所以s=2+2g-104, 因为bn=3g一1一2,q是大于1的正整数,所以q增大时,b,也增大,bn是正整数, 又an=n十2,所以anbn随q增大而增大,所以Sg随g增大而增大.…14分 g=2时,S,=301-29)+6-30X2-104=27X2-107<10X25, 1-2 ]gS8<g(10X26)=1十15lg2,9=2适合;…15分 g=3时,S6=-31=32+6-30X32-104=9838<23X2<80X20=10X25,lgS<1g(10 25)=1+ (1-3)2 1-3 15lg2,9=3适合,… 16分 g=4时,8=329二号+6=2X4-104=29X1-106, 1-4 3 S。-10X25=14X48+1-106>0,所以S>10 216,l1gS>1+151g2,所以g=4不适合. 3 所以g=2或3.… …17分 6B 【CC 数学(二)趁考答案第6页(共6页)】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP