精品解析：福建莆田第四中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年莆田四中高二数学上学期第一次月考试卷 出卷人：高二备课组 审核人：高二备课组 一、单选题 1. 若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线是垂直于轴的直线， 此时斜率不存在，倾斜角为. 2. 已知两条平行直线：与：间的距离为3，则（ ） A. 25或－5 B. 25 C. 5 D. 21或－9 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行直线的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为直线：与：平行， 所以有， 因为两条平行直线：与：间的距离为3， 所以，或， 当时，； 当时，， 故选：A 3. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的标准方程分析即可. 【详解】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径. 由题知圆心为， 故圆方程为. 故选：A． 4. 已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：如图所示； 设，且，，，又，，A正确. 选项B：如图所示； 设，，且，，，， 又，，，，，且，，B正确. 选项C：设与分别为直线与直线上的单位向量，由，， 可设与分别为平面与平面的法向量， ，，，C正确. 选项D：当直线在平面上，且时，满足，但直线与平面不平行， D错误. 5. 若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，设在基底下的斜坐标为，则，化简并联立，可得x，y，z的值，即可得答案. 【详解】由空间向量在基底下的斜坐标为，得， 设在基底下的斜坐标为， 则， 所以，解得， 所以空间向量在基底下的斜坐标为. 故选：C. 6. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点､，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线的方程即可. 【详解】因为的顶点､， 所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，即， 因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 7. 著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 8. 已知圆锥的高为1，体积为．为的一条直径，为上一点（不与，重合）．设二面角和的正切值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由圆锥体积求出底面半径．分别作，，利用二面角的平面角得到，与，的关系；再利用圆的性质和直角三角形的中位线关系求出即可． 【详解】设圆锥底面半径为． 由得，所以． 作，垂足为；作，垂足为，如图所示． 因为 底面，底面，所以． 又，故 平面，平面，从而． 因此 为二面角的平面角． 所以 同理，为二面角的平面角，故 因为为圆心，，，所以，分别为弦，的中点． 又为直径，所以． 在中，为的中点，为的中点，为的中点， 因此 于是 二、多选题 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，求得，即可判断；对于B，由题意可得，求出的范围，即可判断；对于C，求得直线的斜率为，从而可得其倾斜角为，即可判断；对于D，由题意可得，求出其倾斜角的取值范围，即可判断. 【详解】对于A，， 故直线的斜率的取值范围为，故A错误； 对于B，因为直线的斜率为，， 即，， 即，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，直线的斜率为， 又倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，故C错误； 对于D，直线的斜率为， 由于，所以， 因此， 设直线的倾斜角为， 则有， 由于， 所以， 即倾斜角的取值范围是，故D正确． 11. 平行四边形ABCD中，且，AB、CD的中点分别为E、F，将沿DE向上翻折得到，使P在面BCDE上的投影在四边形BCDE内，且P到面BCDE的距离为，连接PC、PF、EF、PB，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 点Q在线段PE上运动，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】记的中点为，过点作，证明点为点在平面上的投影， 解三角形求，判断A，证明平面，判断B，根据正四面体性质求三棱锥的外接球半径，结合球的表面积公式判断C，通过翻折，将问题转化为求的问题，求其值，判断D. 【详解】由已知， ，， 记的中点为，连接， 因为，为的中点，所以， 因为，，所以， 故，又为的中点，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 过点作，为垂足， 因为平面平面，平面， 所以平面，即点为点在平面上的投影， 因为P到面BCDE的距离为，所以， 由已知，， 所以，，又， 所以，所以， 所以，故，A正确， 因为，所以点为的外心，又为等边三角形， 所以点为的中心， 连接并延长，交与点，则，为的中点， 连接，因为，故， 所以三点共线，且，又， 所以， 又平面，平面，故， 因为，平面， 所以平面，平面， 所以，B正确； 因为为正四面体，且棱长为， 所以其外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，C错误； 因为，，所以， 所以，故， 将翻折到同一平面，如图 所以的最小值为，且， 所以，又，D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12. 直线，直线，若，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】若，则，解得． 13. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 14. 已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线恒过的定点A，再找出弦的中点的轨迹方程，最后数形结合求出的最小值. 【详解】已知直线恒过定点A， 即对任意恒成立， 则，解得，所以定点A的坐标为. 由，可知P、A、Q三点共线， 设弦的中点为，连接，如图，则，即， 所以 ，由此可得E的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为，则到l的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N，则R是的中点， 所以 ，即， 则 四、解答题 15. 已知点，，； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． 【小问2详解】 过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程， 当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 当截距不为0时，由截距相等可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为即． 综上得：直线方程为或. 16. 已知向量，，，且，． （1）求向量与所成夹角的余弦值； （2）求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先利用空间向量平行的比例关系求出，再由向量垂直数量积为求出； （1）求出，代入向量夹角公式计算余弦值； （2）套用投影向量公式，计算得到在上的投影向量． 【小问1详解】 ，，， 由，得，解得，， 所以，， 又，所以， 解得，所以， 所以，， ， ，， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 在上的投影向量为． 17. 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. （1）求点的坐标； （2）求的外接圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，，联立求解即可； （2）设，则的中点坐标为，分别将，两点坐标代入相应的直线方程，联立求出点坐标，设的外接圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求解，最后转化为标准方程即可. 【小问1详解】 设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，，所以点的坐标为； 【小问2详解】 设，则的中点坐标为， 将代入直线的方程得③， 将代入直线的方程得④， 将③④联立解得，，即， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以的外接圆的一般方程为， 所以的外接圆的标准方程为. 18. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，侧面为正三角形，平面平面，且，为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． （3）在线段上是否存在点，使、、三点在以点为球心的球面上？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为，，则， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 取的中点，连接、， 平面，， 在正三角形中，， 又，、平面，平面，   是中点，是的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，，平面. （2） （3）在线段上不存在点满足条件，理由如下： 假设在线段上存在点满足条件，设， 由（2），，， 则，， 由得 ，无解， 即在线段上不存在满足条件的点． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，先证明平面，再证得，即可证得平面； （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用二面角的向量求法可求得结果； （3）假设在线段上存在点满足条件，设，由，列方程组，无解，即在线段上不存在满足条件的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 在正三角形中，， 面面，面面，平面， 面， 以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面和平面的一个法向量分别为， 由，得，取，得， 由，得，取，得， 则， 则二面角的正弦值为． 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． （1）若点，求平面的方程； （2）求证：是平面的一个法向量； （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）证明：记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点， 则有 因为， 所以．        所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量． （3） 【解析】 【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程； （2）通过平面方程的新概念求平面的法向量与点到平面的距离； （3）通过平面方程的新概念求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值． 【小问1详解】 ， 设是平面的一个法向量， 则令，得，所以． 设点是平面内任意一点，由，得， 所以平面的方程为． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ， 设为平面的一个法向量，则令，得， 所以． 因为平面的方程为，所以由（2）知平面的一个法向量为， 设直线的一个方向向量为，则 令，得，所以． 因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年莆田四中高二数学上学期第一次月考试卷 出卷人：高二备课组 审核人：高二备课组 一、单选题 1. 若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 已知两条平行直线：与：间的距离为3，则（ ） A. 25或－5 B. 25 C. 5 D. 21或－9 3. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点､，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 8. 已知圆锥的高为1，体积为．为的一条直径，为上一点（不与，重合）．设二面角和的正切值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 11. 平行四边形ABCD中，且，AB、CD的中点分别为E、F，将沿DE向上翻折得到，使P在面BCDE上的投影在四边形BCDE内，且P到面BCDE的距离为，连接PC、PF、EF、PB，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 点Q在线段PE上运动，则的最小值为 三、填空题 12. 直线，直线，若，则实数的值为_____． 13. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 14. 已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 四、解答题 15. 已知点，，； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 16. 已知向量，，，且，． （1）求向量与所成夹角的余弦值； （2）求在上的投影向量（用坐标表示）． 17. 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. （1）求点的坐标； （2）求的外接圆的标准方程. 18. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，侧面为正三角形，平面平面，且，为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． （3）在线段上是否存在点，使、、三点在以点为球心的球面上？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． （1）若点，求平面的方程； （2）求证：是平面的一个法向量； （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $