精品解析：天津市实验中学滨海学校2025-2026学年高二年级下学期期中质量监测数学试题

2025-2026年度第二学期 高二年级期中质量监测（数学）试卷 命题人：高二数学组 审核人：郭军霞 满分：150分 考试时长：100分钟 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 2. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ） A. 36 B. 72 C. 600 D. 480 3. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 4. ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 6. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 7. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 8. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 9. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. D. 11. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 13. ________． 14. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________． 15. 若，则__________. 16. 将甲、乙、丙、丁、戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个同学都要参加且只能去一个城市，每个城市至少去一人，共有__________种不同分配方法.（用数字作答） 17. 若的展开式的二项式系数和为32，则___________，展开式中的系数为___________. 18. 若函数有最大值，则的取值范围为__________． 三、解答题 19. 设函数在及时取得极值． （1）求出的值； （2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 20. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； （2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 21. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 22. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第二学期 高二年级期中质量监测（数学）试卷 命题人：高二数学组 审核人：郭军霞 满分：150分 考试时长：100分钟 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的计算公式可得. 【详解】. 故选：B 2. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ） A. 36 B. 72 C. 600 D. 480 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用插空法计算得到答案. 【详解】根据题意将进行全排列，再将插空得到个. 故选：. 【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负． 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时， 函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确； ∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； ∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确. 故选：B 4. ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，并利用导数研究其单调性，再通过函数单调性比较大小． 【详解】解：设，，则，， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ，，，中最大， 又，，而， ，， 故， 故选：B． 5. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 6. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 7. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 【答案】B 【解析】 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 8. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则； 令，则； ． 9. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 10. 随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 由条件概率公式可知， ，故B错； 若事件与事件互斥，则需，故A错； ，故C正确； ，故D错． 11. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，条件，通过整理得到，构造函数，得到在上的单调性，求出，分别按照，，讨论求解. 【详解】，，， ， ，， ，， 设，则， ，，在上是增函数， ，， 当时，，满足在上是增函数，符合题意； 当时，在上是增函数，开口向上， 又对称轴为，，； 当时，在上是增函数，开口向下， 又对称轴为，，； 综上可知，的取值范围为. 故选：B 12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出关于和的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点. 【详解】由题意得若函数为不动点函数则满足 ，即，即 设， 设 所以在单调递减，且 所以在上单调递增， ，所以在上单调递减， 所以 当则 当则 所以的图像为： 要想成立，则与有交点，所以 故选：B 二、填空题（每小题5分，共30分） 13. ________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由排列数的计算公式，可得. 故答案为：. 14. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得切线方程. 【详解】由，得， 则，且， 则曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：. 15. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，赋值求出，进而求出，最后求出即可. 【详解】由，求导得， 则，解得， 即，故. 16. 将甲、乙、丙、丁、戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个同学都要参加且只能去一个城市，每个城市至少去一人，共有__________种不同分配方法.（用数字作答） 【答案】150 【解析】 【分析】先将5个同学分组，再分配求解. 【详解】第一步，将5个同学分为三组，有两种分法： 第一种分法，第一组1人，第二组1人，第三组3人，有种分法； 第二种分法，第一组2人，第二组2人，第三组1人，有种分法. 第二步，将三组同学分配到三个城市，有种分法， 所以共有种不同分配方法. 17. 若的展开式的二项式系数和为32，则___________，展开式中的系数为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由二项式系数和为，求第一空答案；利用通项求第二空答案. 【详解】因为二项式展开式的二项式系数和为， 所以，解得； 因为的展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数为. 18. 若函数有最大值，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值， 故必有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为当时，， 所以单调递减，当时，， 所以， 所以的取值范围为. 三、解答题 19. 设函数在及时取得极值． （1）求出的值； （2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，结合极值点和韦达定理求解即可； （2）代入，并对函数求导，分析函数单调性，进而结合端点值建立关于的不等式求解. 【小问1详解】 对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. 【小问2详解】 由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 20. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； （2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，可求解；②由缩小样本空间求条件概率的方法可求得所求概率； （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件，根据条件概率公式及全概率公式，可得所求概率. 【小问1详解】 ①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，则表示取到的2个球全是白球， 由题可知，， 所以，即取出的2个球中至少有一个红球的概率为； ②第1次取到白球，则在第1次取球后，甲袋中有2个红球，2个白球， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. 【小问2详解】 设“从甲袋中取到红球”为事件，则. 设“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件， 则，. 所以. 21. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3）游戏Ⅱ 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式直接计算可得结果； （2）利用二项分布直接计算即可得出分布列和期望； （3）分别计算出参加一次游戏Ⅰ和游戏Ⅱ对应的奖金期望值，可知应选择游戏Ⅱ. 【小问1详解】 由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. 【小问2详解】 易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. 【小问3详解】 应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 22. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）（i） （ii）由，可得，即证，即证， 不妨设，因为， 由（i）知，， 令，则且， 又因为，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 所以等价于，即， 即为， 令，则， 所以在单调递增，所以， 即，可得，所以，即可得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，令，求得，得到的单调性，进而求得函数的单调区间，结合极值的概念，即可求解. （2）（i）由题意得，令，求得，得到在单调递增，再令，得到在有2个零点，且，进而得到，求得函数，即可求解； （ii）根据题意，转化为证明，设，得到，令，求得，得到，进而转化为，令，利用导数求得单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 令，则， 当时，；当，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为时，，则，， 所以当时，；， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 解：（i）由函数， 令，因为，所以在单调递增， 令，即在有2个零点，且， 因为，所以时，，在单调递增， 此时不存在2个零点，所以， 因为时，；时，，所以在单调递减， 在单调递增，因为时，；时，， 所以，所以． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $