精品解析：山东济南市汇才学校等2025—2026学年第二学期七年级期中测试数学试题

2025—2026学年度第二学期七年级期中测试数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可求解． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放广告 B. 购买一张福利彩票，中奖 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和为 【答案】D 【解析】 【详解】解：、打开电视，正在播放广告，是随机事件，不符合题意； 、购买一张福利彩票，中奖，是随机事件，不符合题意； 、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； 、任意画一个三角形，其内角和为，不可能是，该事件是不可能事件，符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并， ∴A选项错误． ∵根据同底数幂乘法法则，， ∴B选项错误． ∵根据完全平方公式，，与选项内容一致， ∴C选项正确． ∵根据积的乘方法则，， ∴D选项错误． 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，3，7 C. 5，6，7 D. 2，2，5 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，只需判断较小两边的和是否大于最大边，逐项判断即可求解． 【详解】解：选项A中，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； 选项B中，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； 选项C中，满足两边之和大于第三边，其余任意两边之和也大于第三边，能组成三角形； 选项D中，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 5. 如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．利用两直线平行，同旁内角互补得到，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即 ∴， 故选：A． 6. 如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， 解得：． 即不规则图案的面积约为． 故选：B． 7. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、含的项和含的项的符号均相反，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、两个常数的符号相反，两个含的项的符号也相反，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，能用平方差公式计算，符合题意； D、两项的符号均相同，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 8. 我们曾经学习“过直线外一点P作直线l的平行线”的一种方法，如图： （1）在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B； （2）以点P为圆心，以的长为半径作弧； （3）以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C； （4）过点P，C作直线，则． 如果用全等三角形的知识来解释作图的道理，最恰当的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作线段，全等三角形的判定，连接，根据作图可知：，结合，即可得到，进而得到，得到即可． 【详解】解：连接， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 9. 如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，得到，求出，以及，再根据即可得到答案． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 10. 数学领域中，18世纪数学家欧拉率先引进求和符号“”．如记，；已知，则的值是（ ） A. B. 8 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由项的系数可知，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答． 【详解】解：∵项的系数是4， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分） 11. 如果一个角的余角是40°，那么这个角是_____°． 【答案】50 【解析】 【分析】根据若两个角的和为90°，则这两个角互余，可得答案． 【详解】解：如果一个角的余角是40°，那么这个角为90°﹣40°＝50°， 故答案为：50． 【点睛】此题考查了余角的定义，属于基础知识，比较简单． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】用黑色小正方形的数量除以小正方形的总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为． 13. 已知是完全平方式，则的值为_______． 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：， ， 或， 解得或． 14. 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，若阴影部分的面积为，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】点是的中点，可以得到（等底等高），所以；点是的中点，可以得到（等底等高），（等底等高），；最后由，即可得答案． 【详解】解：∵在中，点是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴ , ， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，进而得到面积的关系，能够根据图形分析找见等量关系是解题关键． 15. 如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，证明，，得到，，，，证明，得到，根据得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于P，过点E作交的延长线于Q， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可证 ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）（简便运算）． 【答案】（1）2 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法以及积的乘方进行计算即可； （3）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行简便运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，运用完全平方公式以及平方差公式化简中括号内的式子，再计算多项式除以单项式化成最简，再把，代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，分别交于点G、H，，求证：． 证明：∵ ∴（ ）． ∴（ ）． ∵， ∴． ∴ （ ）． ∴ （ ）． 又∵（ ）， ∴． 【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；对顶角相等 【解析】 【分析】根据平行的判定和性质得到，又由即可证明结论． 【详解】证明：∵ ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（对顶角相等）， ∴． 19. 如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为． （1）求证：； （2）若拉绳与地面平行，即，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，为， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）结合邻补角定义求出，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C． 求证：△ABF≌△DCE. 【答案】 解：∵BE=FC， ∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE, 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS） 【解析】 【分析】根据BE=FC即可推出BF=EC,进而即可证明△ABF≌△DCE. 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,属于简单题,熟悉全等三角形的判定方法是解题关键. 21. 在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 （1）上表中的________． （2）摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． （3）请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 【答案】（1）0.58 （2）0.6 （3） 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式． （1）用摸到白球的次数除以摸球的次数即可； （2）根据表格数据，用频率估计概率； （3）利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：表中， 故答案为：0.58； 【小问2详解】 解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6， 所以摸到白球的概率的估计值是0.6， 故答案为：0.6； 【小问3详解】 解：（2）中情况下，白球的个数为：（个）， 添加4个黑球后，摸到白球的概率为：， 即此时摸到白球的概率是． 22. 如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． （1）求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 【答案】（1）（） （2）完成绿化共需要1220元 【解析】 【分析】（1）利用长方形面积公式求出长方形面积，减去中间正方形面积化简即可； （2）将，，代入式子中，计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，  ； 【小问2详解】 解：当时， （）， 元． 答：完成绿化共需要元． 23. 解答： （1）【阅读材料】 数学课上，有这样一道题；已知，，求的值． 某数学学习小组发现：可以在不求，的值的情况下，求出的值．方法如下：因为，，所以，即，则______； （2）若满足，求的值； （3）【问题解决】 如图，某校有一块长方形空地，长比宽长，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形的重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，并将长方形和长方形(阴影部分)区域建成花圃，且花圃总周长为，求长方形空地的面积． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用题目给出的完全平方公式变形，代入已知数值计算； （2）通过换元法将两个整式设为整体，结合完全平方公式的变形公式求解； （3）通过平移阴影部分的边，发现花圃总周长与长方形周长的关系，结合长与宽的差求出长和宽，进而计算面积． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴． 【小问2详解】 解：设，， 则，，． ∵， ∴， 即． 【小问3详解】 解：设，． 根据题意，得，，， ∴，． ∵长方形和长方形(阴影部分)的总周长为， ∴．即． ∵， ∴，解得． 答：长方形空地的面积为． 24. 综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术，如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． 探索发现： （1）如图1，太阳光线平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是_____； （2）如图2，，点M，N分别在，上，点P是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，，之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图3，在（2）的条件下，在，之之间，MN左侧再取一点Q，连接，，，若使求与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． （1）过点作，由平行线的传递性得，由平行线的性质得，，进而可得； （2）由（1）得，然后结合邻补角的定义可得； （3）由（1）（2）知，，结合，可证结论成立； 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ． （2） 理由： 由（1）得， ， ； （3）由（1）（2）知，， ∴， ， ． 25. 如图，在中，，，分别为，边上的点，连接，交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以为边作，，，连接，为中点，连接，求证：； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长至点，使得，连接，通过证明推出； ②通过证明推出，则； …… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． （3）如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接．分别为，上的点，连接，交于点，若，，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵在与中， ， ∴， ∴； （2） 证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即， 在与中， ， ， ， ， 由（1）得，， ∴， ∴， ， ， ，即，，即， ∴， ∴在与中， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四边形的内角和等知识点． （1）通过证明，得到对应角相等，从而得证结论． （2）延长至点，使得，连接，通过证明，得到对应边对应角相等，通过证明，得到对应边对应角相等，结合（1）中，得到，从而得证结论． （3）延长至点，使得，连接，则，延长至点L，使得，连接，通过证明，得到对应边对应角相等，结合四边形的内角和为，得证，得到对应边对应角相等，继而再证明，得到，与之间的数量关系． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，则，延长至点L，使得，连接， ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期七年级期中测试数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放广告 B. 购买一张福利彩票，中奖 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和为 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，3，7 C. 5，6，7 D. 2，2，5 5. 如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 我们曾经学习“过直线外一点P作直线l的平行线”的一种方法，如图： （1）在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B； （2）以点P为圆心，以的长为半径作弧； （3）以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C； （4）过点P，C作直线，则． 如果用全等三角形的知识来解释作图的道理，最恰当的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 数学领域中，18世纪数学家欧拉率先引进求和符号“”．如记，；已知，则的值是（ ） A. B. 8 C. D. 10 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分） 11. 如果一个角的余角是40°，那么这个角是_____°． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为___________． 13. 已知是完全平方式，则的值为_______． 14. 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，若阴影部分的面积为，则的面积为______． 15. 如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）（简便运算）． 17. 先化简，再求值，其中，． 18. 如图，点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，分别交于点G、H，，求证：． 证明：∵ ∴（ ）． ∴（ ）． ∵， ∴． ∴ （ ）． ∴ （ ）． 又∵（ ）， ∴． 19. 如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为． （1）求证：； （2）若拉绳与地面平行，即，，，求的度数． 20. 如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C． 求证：△ABF≌△DCE. 21. 在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 （1）上表中的________． （2）摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． （3）请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 22. 如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． （1）求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； （2）若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 23. 解答： （1）【阅读材料】 数学课上，有这样一道题；已知，，求的值． 某数学学习小组发现：可以在不求，的值的情况下，求出的值．方法如下：因为，，所以，即，则______； （2）若满足，求的值； （3）【问题解决】 如图，某校有一块长方形空地，长比宽长，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形的重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，并将长方形和长方形(阴影部分)区域建成花圃，且花圃总周长为，求长方形空地的面积． 24. 综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术，如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． 探索发现： （1）如图1，太阳光线平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是_____； （2）如图2，，点M，N分别在，上，点P是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，，之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图3，在（2）的条件下，在，之之间，MN左侧再取一点Q，连接，，，若使求与之间的数量关系． 25. 如图，在中，，，分别为，边上的点，连接，交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以为边作，，，连接，为中点，连接，求证：； 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长至点，使得，连接，通过证明推出； ②通过证明推出，则； …… 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程． （3）如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接．分别为，上的点，连接，交于点，若，，请直接写出，与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $