9.2 用样本估计总体 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2 用样本估计总体 1. 已知一组数据：的平均数为8，则该组数据的第60百分位数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2. 乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3. 如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组､第二组、……、第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（    ） A．140 B．240 C．280 D．320 4. 下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（   ）    A．2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B．2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C．2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D．2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 5. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（    ） A．该组数据的平均数为7，众数为 B．该组数据的第60百分位数为6 C．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 6. (多选)某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（   ） A． B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 7. （多选）下列说法正确的是（   ） A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数 B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变 C．有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为18 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16 8. 已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数，，…，的方差__________． 9. 某区举办了马拉松知识竞赛，并从中随机抽取了名参赛者的成绩，得到的数据如下表所示： 分数 频数 5 10 20 30 频率 0.10 0.20 0.30 0.35 (1)分别求的值，并在图中画出频率分布直方图； (2)若参赛者得分分数不低于70的人数至少要占以上，并且参赛者得分分数的平均数超过80分，则该区可以评为“一马当先区”，估计该区能否评为“一马当先区”，并说明理由.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 10. 某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个? (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 11. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均不低于分）分成六组：、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2 用样本估计总体 1. 已知一组数据：的平均数为8，则该组数据的第60百分位数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】计算几个数的平均数、总体百分位数的估计 【详解】因为的平均数为8，所以，解得， 所以这组数据为. 又因为为整数， 所以该组数据的第60百分位数为. 2. 乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、用众数的代表意义解决实际问题、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义和方差的概念来判断运动员命中环数的集中与分散程度即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 3. 如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组､第二组、……、第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（    ） A．140 B．240 C．280 D．320 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用 【分析】根据频率分布直方图的性质，求得的值，进一步计算即可    . 【详解】由已知得， 所以，因为第五组的员工人数为80， 所以第二组的员工人数为. 故选：C. 4. 下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（   ）    A．2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B．2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C．2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D．2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、根据折线统计图解决实际问题 【分析】根据折线图逐一计算判断即可 【详解】对于A，2025年10月份商品零售额同比增长速度为，故A正确； 对于B，2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为，故B正确； 对于C，2025年前四个月商品零售额同比增速平均值为， 2025年前四个月商品餐饮收入同比增速平均值为， 故2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同，故C正确； 对于D，因为， 所以2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为，故D错误. 故选：D. 5. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（    ） A．该组数据的平均数为7，众数为 B．该组数据的第60百分位数为6 C．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数，众数，中位数，方差的定义计算可得. 【详解】选项A,这组数据从小到大排列为， 故平均数为， 众数为和，中位数为，故A错误； 选项B，，则第百分位数为，故B错误； 选项C：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故C错误； 选项D，方差为， 如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7， 此时的方差为，故D正确. 6. (多选)某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（   ） A． B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数 【分析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，可得出关于的等式，可判断A选项；利用频率分布直方图可求出样本水质指数的平均数，可判断B选项；求出水质指数不低于的频率，再利用频数、频率和总容量的关系可判断C选项；求出水质指数不低于的频率，可判断D选项. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为， 所以，解得，故A正确； 对于B，样本水质指数的平均数为 ，故B正确； 对于C，由频率分布直方图可知，水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质指数不低于的监测点有个，故C错误； 对于D，第5组的频率为， 故水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为，故D正确. 7. （多选）下列说法正确的是（   ） A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数 B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变 C．有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为18 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】根据分层抽样的概念以及平均数、中位数、方差公式计算判断. 【详解】对A，直方图如下： 由于是“右拖”，最高峰偏左，则中位数靠近高峰处，平均数则靠近中点处，所以平均数大于中位数，错误； 对B，设这组数据为，，…，，平均数为，方差为， 所以每个数都减去同一个非零常数a，平均数为， 方差为，所以平均数改变，方差不变，错误； 对C，有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为，正确； 对D，若样本数据，，…，的标准差为8，方差为64，则数据，，…，的方差为，标准差为16，正确. 故选：CD 8. 已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数，，…，的方差__________． 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】根据方差、标准差求参数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】先求出剩余10个数的平均数，进而根据方差公式得出的值，即可得出答案. 【详解】由题意知，，， 所以， 所以剩余的10个数的平均数为． 根据方差公式得， ，， 即，， 所以， 所以剩余的10个数的方差为． 故答案为：8. 9. 某区举办了马拉松知识竞赛，并从中随机抽取了名参赛者的成绩，得到的数据如下表所示： 分数 频数 5 10 20 30 频率 0.10 0.20 0.30 0.35 (1)分别求的值，并在图中画出频率分布直方图； (2)若参赛者得分分数不低于70的人数至少要占以上，并且参赛者得分分数的平均数超过80分，则该区可以评为“一马当先区”，估计该区能否评为“一马当先区”，并说明理由.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1)，，，频率分布直方图见解析 (2)该区可以评为“一马当先区”，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、绘制频率分布直方图 【分析】（1）根据频率之和为1以及表格所给数据可依次得可得、、的值，接着明确每组数据的的值即可得频率分布直方图. （2）根据题中所给数据算出分数不低于70的频率以及参赛者得分分数的平均数即可判断得解. 【详解】（1）由，解得， 由表格数据得，， 因为每组的分别为0.005，0.010，0.020，0.030，0.035， 所以频率分布直方图如下所示： （2）该区可以评为“一马当先区”，理由如下： 因为参赛者得分分数不低于70的频率为， 所以满足参赛者得分分数不低于70的人数至少要占80%以上， 又参赛者得分分数的平均数为 ， 所以该区可以评为“一马当先区”. 10. 某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个? (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 【答案】(1)4个 (2)平均数为98，众数为100 (3)估计获得表彰的同学的最低分数为138 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算众数 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可求得a值，根据分层抽样的性质，计算即可得答案. （2）根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得平均数，由图象可得众数，即可得答案. （3）分析可得获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x，则，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图性质得， 解得， 所以的人数有个. （2）本次考试的平均分 ， 由频率分布直方图得：众数为100. （3）的频率为， 所以获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x， 则，解得，即最低分数为138. 11. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均不低于分）分成六组：、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】(1) (2)平均数为，中位数为 (3)， 【难度】0.65 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有直方图的面积之和为可求出的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得样本的平均数；设中位数为，根据中位数的定义可得出关于的等式，即可解出的值； （3）利用总体的平均数和方差公式可求得和的值. 【详解】（1）由题意得，解得． （2）平均数为 设中位数为， 因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 所以，则，解得，故中位数为75． （3）由题意得，成绩在有人，成绩在有人， 则这两组成绩的总平均数为， 总方差为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $