精品解析：江苏无锡市第六高级中学2025-2026学年第二学期期中质量调研高一年级数学试卷

无锡市第六高级中学2025-2026学年第二学期期中质量调研 高一年级数学试卷 一、单项选择题 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若、都是单位向量，则 B. 若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C. 与是两平行向量 D. 若，则是的相反向量 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据单位向量的定义分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据平行向量的定义分析判断，对于D，根据相反向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误， 对于B，当，且A，B，C，D四点共线时，四点A、B、C、D不能构成平行四边形，所以B错误， 对于C，因为，所以与是两平行向量，所以C正确， 对于D，相反向量的长度相等，显然时，不是的相反向量，所以D错误. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理可得，即， 即，解得. 4. 已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对式子两边同时平方，得到，再利用两个向量的数量积代入数值即可求得结果. 【详解】因为，所以， 又因为，， 即，解得， 解得.又因为，故向量与向量的夹角为. 故选：B 5. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解. 【详解】由题意可知 由于A，B，C三点共线，所以与共线， 所以， 所以, 故选：D 6. 半径 的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球的直径等于内接正方体的体对角线，求得棱长，由此得解. 【详解】半径为的球内接一个正方体，设正方体的棱长为， 则该球即为正方体的外接球，其直径长度为正方体的体对角线长， 则，解得， 所以正方体的体积为. 故选：C 7. 已知圆锥的轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则求出圆锥的底面圆半径及圆锥的高，进而求出圆锥母线即可求出侧面积. 【详解】由轴，得是圆锥轴截面边上的高，由， 得，则圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积为. 故选：B 8. 如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，再根据平面向量基本定理分别表示，进而根据向量共线设，代入向量可得，进而得到. 【详解】设，则，又， 设，则， 故，即， 故. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ） A. B. 的实部是4 C. 的共轭复数 D. 在复平面上对应点在第二象限 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，，A正确； 选项B，的实部是，是虚部，B错误； 选项C，的共轭复数，C错误； 选项D，复平面中，对应点为，横坐标负、纵坐标正，对应点在第二象限，D正确. 10. 下列几何体中不是棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱； 选项A：是三棱柱，属于棱柱； 选项B：是直四棱柱，属于棱柱； 选项C：是棱台，不是棱柱； 选项D：是三棱锥，不是棱柱 11. 的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，则是等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得；D由正弦定理及三角形内角性质得. 【详解】A：由及正弦定理知：，根据大边对大角有，正确； B：由余弦定理，只能说明为锐角，但不能确定是锐角三角形，错误； C：，则，故是等腰三角形，正确； D：由，则，且，故，即是等腰直角三角形，错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则与方向相同的单位向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【详解】与方向相同的单位向量的坐标为 13. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义得出区域形状，再计算面积． 【详解】的几何意义为对应的点到原点的距离，区域为以原点为圆心半径分别为1和2的圆环， 故所求区域面积． 故答案为：． 14. 山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可. 【详解】由题意，，所以， 所以在中，，， 又，所以， 在中，由正弦定理得，，所以， 在中，， 由余弦定理得，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位. （1）如果，求实数的值； （2）如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数共轭相乘的运算规则，算出化简后为，结合已知等式列方程求解，再根据为正实数确定的取值. （2）先把代入求出，再通过分母实数化化简得到复根，将其直接代入一元二次方程，展开分离实部与虚部，利用复数相等条件列方程组，进而解出和的值. 【小问1详解】 复数的共轭复数， 所以 由题设，故，解得. 因为是正实数，所以. 【小问2详解】 当时，，化简. 因为是方程的根. 所以将直接代入方程：. 展开计算得 整理得. 所以解得 16. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）分别取的中点，连接，过作于，然后根据已知条件求出斜高，再根据表面积公式可求得结果； （2）由题意可知最大的圆台是上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为棱台的高，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可求出削去部分的体积，从而可求出削去部分与圆台的体积之比． 【小问1详解】 在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则 分别取的中点，连接，过作于， 因为在正四棱台中，，， 所以， 在中，， 所以正四棱台的表面积为 （）； 【小问2详解】 若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高， 所以圆台的体积为（）， 因为正四棱台的体积为（）， 所以削去部分的体积为（）， 所以削去部分与圆台的体积之比. 17. 如图，已知为平面直角坐标系的原点，点，点都在第一象限，且，轴，，，. （1）求，点坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】对于（1）考查向量的坐标运算，由，在第一象限，结合三角函数的定义计算坐标即可 ； 对于（2）考查数量积的表示，投影向量的计算.运用这些知识可解出在向量上的投影向量； 【小问1详解】 已知在轴正半轴，，知，，如下图，过作轴的垂线，垂足为， 在中，因为且在轴上，， ， 根据三角函数定义知，， ，故； 由轴，点的横坐标为，设， ，，由，可得， 所以，，故. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知中，角，，所对的边分别为，，，若_________. （1）求角； （2）若，且的面积为，求边，的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①：借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式与辅助角公式计算即可得解；选②：借助正弦定理将边化为角后结合同角三角函数基本关系计算即可得；选③：利用三角形内角和及正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）借助面积公式与余弦定理计算可得、，再利用完全平方公式计算即可得解. 【小问1详解】 若选①； 由正弦定理可得， 由， 故， 即，由，故， 即，则， 即，又，故，即； 若选②； 由正弦定理可得，即， 由，则，故，故； 若选③； 由，则得， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，故； 【小问2详解】 ，则， 由余弦定理可得，即，即， 则，， 故，，故. 19. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】（1）或3： （2）1或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. 【小问1详解】 若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. 【小问2详解】 若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. 【小问3详解】 因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第六高级中学2025-2026学年第二学期期中质量调研 高一年级数学试卷 一、单项选择题 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若、都是单位向量，则 B. 若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C. 与是两平行向量 D. 若，则是的相反向量 2. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 4. 已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 半径 的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ） A. B. 的实部是4 C. 的共轭复数 D. 在复平面上对应点在第二象限 10. 下列几何体中不是棱柱的是（ ） A. B. C. D. 11. 的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，则是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则与方向相同的单位向量的坐标为______. 13. 已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________． 14. 山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中是正实数，是虚数单位. （1）如果，求实数的值； （2）如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 16. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 17. 如图，已知为平面直角坐标系的原点，点，点都在第一象限，且，轴，，，. （1）求，点坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标. 18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知中，角，，所对的边分别为，，，若_________. （1）求角； （2）若，且的面积为，求边，的长. 19. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $