6.3.2二项式系数的性质课件-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

6.3.2二项式系数的性质 温州科技高级中学 张明 温州科技高级中学 | 张明 Properties of Binomial Coefficients 1.7.2013 大家好，今天我们来学习第六章第三节的第二部分——二项式系数的性质。这节课我们将深入探讨二项式展开式中各项系数所呈现出的规律和特性，这些性质不仅在数学理论中非常重要，也在解决实际问题时有广泛的应用。希望通过这节课的学习，大家能对二项式定理有更深刻的理解。 ‹#› 1. 二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？ ②二项展开式有以下特征： （1）共有n + 1项。 （2）各项里a的指数从n起依次减小 1，直到 0 为止；b的指数从 0 起依次增加 1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。 （3）各项的二项式系数依次为 ，且与 无关。 2. 二项展开式的通项是什么？ 3. 组合数有哪两个基本性质？ 温故而知新 1.7.2013 在开始新知识的学习之前，我们先来回顾一下之前学过的内容。首先，谁能告诉我二项式定理的内容是什么？它的展开式有哪些基本特征？对，共有n+1项，a和b的指数和始终是n。其次，二项展开式的通项公式是什么？最后，我们学过的组合数有哪两个基本性质？这些都是我们今天学习新内容的基础，请大家务必掌握牢固。 ‹#› 学习新知 杨辉三角 问题1：的展开式中的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表： n 二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 问题2：观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？ 具有对称性 1.7.2013 好，现在我们来看一个表格。这个表格列出了从(a+b)的一次方到六次方展开式中的二项式系数。大家仔细观察一下，这些数字排列在一起，有没有发现什么有趣的规律？没错，很多同学都看出来了，这些数字具有明显的对称性。这就是我们今天要学习的第一个性质。 ‹#› 1 4 6 4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 问题3:将上表写成如下形式,你又能发现这些数据有什么新的规律吗? 学习新知 (1)每行两端的数都是1； (2)与两端等距离的项的系数相等；即《6.2.3组合》里的性质 (3)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,等等. 即《6.2.3组合》里的性质： 学习新知 这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的⟪详解九章算法⟫一书里就出现了,所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示,在这本书里记载的是用汉字表示的形式,还说明了表里 “一” 以 外的每一个数 都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于⟪释锁⟫算书,且我国北宋数学家贾宪 (约公元11世纪) 已经用过它. 是我国古代数学的一个重要成果，这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(𝐵𝑙𝑎𝑖𝑠𝑒𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙,(1623~1662) 首先发现的 ,他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.我们把这个数表称为杨辉三角， 问题4：杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？ 二项式系数的性质 问题1：对给定的正整数n，设函数 ， r∈{0，1，2，…，n}， 当n＝6时，函数f(r)的图象是什么？ 学习新知 从函数角度看， 可看成是以k为自变量的函数 ,其定义域是： 对于确定的n，我们还可以画出它的图象，例如，当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点． 因为 展开式的二项式系数依次是： 问题2：一般地，函数 ，r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？ 它具有怎样的对称性？ 问题3：在二项式系数 中，哪些二项式系数是相等的？ 答：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 学习新知 问：n是奇数，也关于r=对称吗？ 答：虽n为奇数，不存在，但直线r=存在。n+1个孤立点还是位于此直线两侧 n＋1个孤立的点，关于直线 对称 答： 问题4：相邻两个二项式系数的大小关系如何？从理论上如何确定 与 的大小？ 问题5：通过上述分析，二项式系数的增减性与最大值分别是什么？ 二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值. 学习新知 同学们，这些结论需要死记硬背吗？ 答：不用理抽象的符号证明，只需看具体的杨辉三角。 问题6：当n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？ 当n为偶数时，第 项的二项式系数 为最大； 当n为奇数时，第 的二项式系数 和第 项的 二项式系数 相等，且同时为最大. 学习新知 问：需要死记硬背吗？ 1、不看抽象的符号推断，而看具体 的杨辉三角。2、因为上标必须是整数，当n为偶数，则整数。当n为奇数，则只有整数且相邻。 f（r） r n O O n f（r） n为奇数 n为偶数 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值. 当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值 学习新知 问题7：在二项式定理中，a，b可以任意取值，特别地，当a＝b＝1时，可得什么结论？ 如果你觉得符号抽象，你可以让n是具体值让自己熟练熟练。 典型例题 性质三：二项式系数之和 例1：求证在(a+b)ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 分析：由 (a+b)ⁿ 的展开式可知，二项式系数包括 , , , ..., 。 • 奇数项的二项式系数的和为： + + + ... • 偶数项的二项式系数的和为： + + + ... �� 因此，我们可以通过对 适当赋值来求出这两个系数和。 证明：根据二项式定理， = Σ (k从0到)。 令，代入上式得： = - + - + ... + ✅ 结论 奇数项系数和 = 偶数项系数和 = 2ⁿ⁻¹ (0ⁿ = 0，即两者之差为0) 🤔 这些系数和公式需要死记硬背吗？ 答：完全不用死记硬背！建议取=5、6、7 这样的小数字，自己动手算一遍，马上就能理解“赋值法”的巧妙之处，并且终身难忘。 1.7.2013 这是一个非常经典的例题，它证明了奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和。证明的关键在于巧妙地对a和b进行赋值。我们令a=1，b=-1，代入二项式定理，就可以得到这个结论。这个方法叫做“赋值法”，是解决这类问题的常用技巧。建议大家不要死记公式，通过代入小的n值来加深理解。 ‹#› 问题8：上述结果表明，所有二项式系数之和等于2ⁿ，所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且都等于。那么，如何求的展开式中各项的系数之和？ 令 x = 1，得各项的系数之和为 5ⁿ。 学习新知 巩固练习 1.7.2013 刚才的结论告诉我们，所有二项式系数的和是2的n次方，奇数项和偶数项的和都是2的n-1次方。那如果问题变成求一个具体多项式，比如(3+2x)ⁿ展开式中各项的系数之和，该怎么办呢？方法很简单，令x=1即可。下面我们来做几个巩固练习，看看大家是否掌握了这些性质。第一题我们可以利用刚才的方法，令x=1，很快就能求出答案。第二题和第三题需要大家回忆一下二项式系数的单调性和对称性，大家可以快速思考一下。 ‹#› 典型例题 例2：已知 (1 + 2x)ⁿ 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。 （思考提示：先根据系数相等求出 n 的值，再利用二项式系数的性质确定最大值） 1.7.2013 来看例2。题目告诉我们(1+2x)的n次方展开式中，第6项和第7项的系数相等，要求我们求出二项式系数最大的项。解决这个问题的关键是先根据已知条件求出n的值，然后再利用我们今天学的性质来确定系数最大的项。 ‹#› 例3、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________ 赋值法 例题讲评 2 1093 -1094 例4 求集合A＝{a1，a2，…，an}共有多少个子集？ 典型例题 解法1： 解法2： 我们还可以这样来思考解决这个问题的过程：这里要完成的一件事是确定集合S=子集，为此，我们可以通过考察S中的每一个元素是否在某个子集中的方法产生一个子集。如果用“1”表示“是”，用“0”表示“否”，那么二进制数“100”表示子集全部表示如表所示。 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： （1） （2） （4） （3）当n为偶数时， 最大 当n为奇数时， = 且最大 （对称性） 课堂小结 在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 课堂小结 1. 杨辉三角反映了二项式系数的变化规律，其理论依据是组合数的两个性质。杨辉三角中还有许多有趣性质，可作为一个研究性课题进行探究。 2. 二项式系数的性质实质是组合数的一些性质，常作为解决组合数问题的理论依据，但这些性质不能类推到二项展开式的系数。 3. 令x= 1，可求得(a+bx)ⁿ 的展开式中各项的系数之和，当x取其它值时，还可以得出一些相关结论，这是一种赋值的方法。 1.7.2013 最后，我们再次强调几个关键点。杨辉三角是理解二项式系数性质的直观工具。要区分二项式系数和展开式系数的不同，前者的性质不能直接套用到后者身上。赋值法是解决系数和问题的强大工具，通过巧妙地选择x的值，可以解决很多看似复杂的问题。希望大家课后多加练习，熟练掌握这些知识。 ‹#› $