6.3.2 二项式系数的性质-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

方法二(x2十x十y)5为5个x2十x十y之积，其中有两个取y,两关键能力·合作探究 个取x2,一个取x即可得含xy2的项，所以xy2的系数为CCC题点一 =30.] :典例解(1)令x=0,则a0=-1. 题点四 令x=1,则a0十a1十…十a=27=128,① 典例解(1)199518=(8×249十3)10 ∴.a1十a2+…十a7=129. ,其展开式中除末项为3外，其余的各项均含有8这个因数 (2)令x=-1,得a0一a1十…十a8一a?=(-4)7,@ .19951除以8的余数与310除以8的余数相同. 又310=95=(8十1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含 由①-②得，2(a1十a3十a5十a7)=128-(-4)', 有8这个因数， .a1十ag十a5十a7=8256. ,31除以8的余数为1，即19951“徐以8的余数也为1. (3):T+1=C(3)7-(-1)5, (2)证明32m+2-81-9 ao|+la1+…+al=-ao+a1-a2十a4-…-as十a,=4 =(8+1)n+1-8n-9 16384. =C9+18+1十C以+18+…十C-8n-9 ·对点训练 =C+18+1+C以+18+…十C%F}82+(n+1)X8+1-8m-9 解若选择①第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等， =C%+18m+1+C%+8m+…十C+}82①. (1),第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等，∴，C?=C n=5十2=7. ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整徐 对点训练 (2)由(1)得(2x-1)7=a0十a1x十a2x2+…十ax, 1.A[求第81天是星期几，实质是求81°徐以7的余数.因为810=！ .令x=0得a0=-1, (7+1)10=710+C。×7"+…十C0×7+1=7M+1(M∈N*),所以： 第8“天相当于第1天，故为星期一.] 2.A[因为n=C1。十C0·8+Co·82+…+C8·81°=(1+8)0= 受+++-1 (7+2)1°，也即n=C1。×70+C0×7°·2+…十C0×7×2°+C8· (3)由(1)得(2.x-1)7=a十a1x十a2z2+…十ax2, 210,故n除以7的余数为C8·210=1024除以7的余数2，又23除 两边求导数得14(2x-1)=a1十2a2.x十3ax2十…十7a?.x 以7的余数也为2，满足题意，其他选项都不满足题意，所以力可以 令x-1得a1+2a2十3a3十…十7a7=14. 是23.] 若选择②展开式中二项式系数的和与所有项的系数和差为127， 素养演练·提升技能 1.一28[(x十)展开式的通项T,+1=Cx8y,r=0,1,…,7,8. ,展开式中二项式系数的和为2”，所有项的系数和为(2一1)”=1， .2m-1=127,.n=7. 令r=6,得T+1=Cxy,令r=5,得T5+1=Cx3y,所以 以下同选①. (（1-兰)x+)的展开式中ry的系数为C-C=一28.] 若选择③前三项的系数绝对值和为99， ,前三项的系数绝对值和为99， 2240[(2+是）的二预式通项14=C(x·()= .1+C,·2+C9·22=99, C52x2-3r,令12-3r=0,解得r=4,所以常数项是C421=240.] .1+2m+nm1卫×4=99， 2 3.A[,C0十C·21十C9·22十…十C”·2m=(1+2)”=3”,∴.3”= 729,.n=6,.Cg+C+…十Cg=(1+1)-Cg=2i-1=63.] .n2=49,n>0,.n=7. 以下同选①. 4.B[1.0022=(1+0.002)2=C2+C2×0.002+C2×0.0022+ !题点二 …+C1号×0.00212≈1十12×0.002=1.024.] 5.一81[法-1十2)2=G)12十(1-2z+(G)1-(2x+典例解析()周为（十）的展开式中第3项与第8项的系数 (G9)1-5(2+…=1+2.2z+-2-824x2+-2(-3D(- 相等，所以C=C,解得n=9,则展开式中二项式系数最大的项为 1 2 3! 第5项和第6项 8+…==1-3z+3x2,0=1-3x+3022 答案CD 4z(1-3x+3x2)+12x2(1-3x)-32x3+a1.x+…=1-7x+27x2- (2)解①由题意得2+1-21=48，解得n=5. 81x3+a4x+.a4=-81. :(兰)”的展开我中第6项的二项式系数最大，即T 法二(1一x)3=(1十2x)2(a十a1x十a2x2+…十anmx+…),显然 a0=1, c-（2）广=(-2C=-8064 比较两边x的系数→C·(-1)=a1十4ao→a1=一7；比较两边x2! ②设第k十1项的系数的绝对值最大， 的系数→C号=a2十4a1十4ao→a2=27:比较两边x3的系数→C· (-1)=a4十4ag+4a1→a3=-81.] 期c(是）广-(-rcx, 6.3.2二项式系数的性质 剥。2≥C2中+1≥202 {C。·2≥Co·2-1, 2(11-k)≥k, 必备知识·自主梳理 等距离二项式系数n是偶数T+1奇数T中T中+1 解得号<<号，所以=7 2”C十C十C%十…十Ca=2m偶数C十C%十C十…=2-1 所以系数的绝对值最大的是第8项：Tg=(一1)7·C1。·2· 即学即练 x10-2×1=-15360x1 1.C[由题意知(1十x)"的二项展开式中，x5的系数就是第6项的系！对点训练 数，因为只有x5的系数最大，所以n=10.] 2.ABD[由二项式系数的性质，二项式系数之和为20=1024，A正1，D[二项式（丘+子）的展开式的通项为T+1=C(:)· 确；当n=10时，展开式共11项，中间第6项二项式系数最大，B正 确，C错误；展开式中第6项的系数为一C。,取到最小值.] (1)y=C·￥，因为第8项是常教项，所以分1是×7=0， 3.8-2[由多项式展开式可知，a2=2C(-1)2十C(-1)3=12-· 即n=21,当"=10或11时，二项式系数C=C引最大，故二项式系 4=8.令x=0可得aw=2,令x=1可得a十a1十ag十ag十a1十a5=! 数最大的项的系数是第11项和第12项，由通项可知展开式中项的 0,所以a1十a2十ag十a1十as=-2.] 系数即为项的二项式系数，」 160 2.解T+1=C)…（子) 3.BC[设内切球的丰径为r,则圈柱的高为2rm=m,22=3 4r3 2 =(-2)rC5x1-r (1)二项式系数最大的项为中间项，即第5项， n2w2=期丹-1f)=(e)）广对子Af 故T=C.24,x1-号=1120x6. (2)设第r十1项系数的绝对值最大。 展开成的道项为T1=CG:(士）厂=（心，令24 翔g·2≥C*.2-, 4=0,解得r=6,.f(x)展开式的常数项为（一1）C=28,A错误： 1Cs·2≥Cg1·2-1, 对于B,f(1)=0,即f(x)展开式的各项系数之和为0，B正确：对于 12 C,f(x)展开式中二项式系数最大值为C=70,C正确：对于D, 即8产， 2>六 f0=(（十)）广=(-i计i)=0,D错.] !4.129[令x=0,得a6十a1十a2十…十a7=27=128,又(2-x)7= 梦理得所以=5成一6 [3-(x十1)]，则a(1+x)7=C·3·[-(x十1)]，解得a -1.故a0十a1+a2+…十a6=128-a7=128+1=129.] 故系数的绝对值最大的项是第6项和第？项 !5.解若选填条件①，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之 (3)由(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项 的系数为负，第7项的系数为正. 和的比为64，则=2”=64，即n=6, 故系数最大的项为T7=Cg·26·x1=1792x1Ⅱ 若选填条件②，即展开式中前三项的二项式系数之和为22，则C十 系数最小的项为T=（-1)5C·25x号=-1792x号. C,十C=22,即n=6. 题点三 (1)当n=6时，展开式共7项，二项式系数最大的项为T1=C· 典例解析根据题意，令工=1可得，其展开式中各项的系数和为 (3x)3=540x3 (房十)厂=“，由二项式定理可得，共展开或中各项的二项式系数 (2)(1十3.x)"(1-x)5=(1十3x)6(1-x)5中，含x2项的系数为 C%+C%×32+C×3×C×(-1)=55. 和为2”，依题意有4”一2”=240， 章末综合提升 可解得2”=16或2”=-15（舍去），即n=4. 二、把握重点·常考题型集训 答案4 :1.B[由题意得，以C路口为分类标准：C路口执勃分得人数情况有2 对点训练 种，两个人或一个人·若C路口执勤分得人数为2个，则丙、丁在 1.A[(7a十b)0的展开式的二项式系数之和为20，令x=1y=1,得 C路口，那么甲、乙只能在A、B路口执勤：若C路口执勤分得人数为 (x十3)”展开式的各项系数之和为4”，则由题意知，4"=210，解得 1个，丙或丁在C路口，具体情况如下：丙在C路口：A(丁)B(甲、乙) n=5.] C(丙)：A(甲、丁)B(乙)C(丙)：A(乙、丁)B(甲)C(丙).丁在C路口： 2.BC[令=1，得各项的系数之和(-是）=（一2）”=-512.解 A(甲、乙)B(丙)C(丁)：A(丙)B(甲、乙)C(丁)：A(甲、丙)B(乙) C(丁)：A(乙)B(甲、丙)C(丁)：A(乙、丙)B(甲)C(丁)：A(甲)B(乙 得m=9脚（一子）广=（二），所以滨展开式中二项式系 丙)C(丁).所以一共有2十3十6=1]种安排方法.] ·2.D[A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C, 最大为C和C,故二项式系数最大的项是第5项和第6项.] E均有4种颜色可选，故共有涂色方法5×4×3×4×4=960（种）.] 素养演练·提升技能 !3.20[以m的值为标准分类，分五类：第1类，当m=1时，使n>m, 1.BD[,(1十x)i=[-2+(1-x)]i=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+ n有6种选择；第2类，当m=2时，使n>m,n有5种选择：第3类， …十a(1一x)°，令x=1,可得a6=64,故A错误：a=C增=1，故B: 当m=3时，使n>m,n有4种选择；第4类，当m=4时，使n>m, 正确：令x=0,可得a0十a1十…十a6=1①，故C错误；令x=2,可！ n有3种选择；第5类，当m=5时，使n>m,n有2种选择，所以一共 得a0一a1十…十a6=3“②，用①-@，并除以2，可得a1十a十a 可以表示6十5十4+3十2=20（个）焦点在y轴上的椭圈.] 1-3 !4D[根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安 2 =-364,故D正确.] 保小组分成三组，有两种分组方法：按照1,1,3分组或1,2,2分组， 2.号[(ar是+号)(e-是)中. 若按照11,3来分组时，共有CCC×A=60(种)安排方法：当按 A号 令x=1得展开式中各项系数的和为（口子+号）·(1-3） 照12,2来分组时共有CC×A=90(种)安排方法，根据分类 A 16,解得a=， 加法计数原理知共有60十90=150（种）安排方法.] ·5.BD[对于A,若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级， ·原成=（分是+号）(-)八 每个班级至少1个，根据插空法，有C。种分配方法，故A错误：对于 B,若1班有徐劳动模范之外的学生参加，则20个名颜分配到6个 又(-2）的展开式道项公式为T+1=C·x·() 班级，每个班级至少1个，根据插空法，有C。种分配方法，故B正 (-3)r·Cg·xi-2r 确：对于C、D,若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还 令6-2r=2,解得r=2, 有4个名额需要分到6个班级，分5类：①4个名额到一个班，有6 “(2）广的晨开式中含的系数为(-3》，C号=135：令6 种：②一个班3个名颜，一个班1个名颜，有A=30种：③两个班都 是2个名额，有C=15种：④两个班各1个名额，一个班2个名额， 2=4,解得=1(-三）的展开式中含x的系数为一3· 有CC=60种：⑤四个班都是1个名颜，有C=15种，则共有126 种，故C错误，D正确. C=-18: 令6-2r=3,解得1=号，不合题意，舍去. (a>0)的展开式中常数项为第x十1项，又T,+1 1 Cia'r6- 立令6-2r=0,解得，=4， 3 “(宁是+号)()展开式中士的项为寸· -3Cx-w+(是(-3Cr4 (+) (a>0)的展开式中常数项为15a,15a=240,又 其系数为号×135-子×(-18)] a>0,a=2,.(x十2)(x-4)2的展开式中x2项为x(-8x)十 2 2x2,.(x十a)(x-2a)2的展开式中x2项的系数为-6.] 161数学选择性必修 第三册 :2.定义：两个正整数a,b,若它们除以正整数m所 对点训练 得的余数相等，则称a,b对于模m同余，记作a= 1.今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是 b(modm),比如：26=16(mod10).已知n= 星期 ( C90十C10·8十C0·82十…+C8·810,满足n= A.一 B.二 p(mod7),则p可以是 C.三 D.四 A.23 B.31 C.32 D.19 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(2022·新高考I 卷)1-)x+y的展开式 5.艾萨克·牛顿(1642一1727)被称为有史以来最 有影响力的思想家之一，在数学方面，牛顿“明显 中x2y5的系数为 (用数字作答) 地推进了当时数学的每一个分支”，牛顿在给莱 2.(2020·全国卷Ⅲ) 的展开式中常数项； 布尼茨的信中描述了他的一个发现—广义二 项式展开，即(x十y)=(8)x十()x-1y十(g) 是 (用数字作答). x2y2十…十(g)xay十…，其中广义二项式 3.已知C9+2C+22C+23C+…+2mCm=729, 则C》十C%+C%+…十C”= 系数(8)=1，(g)=(a-1)(a-2)…(a-k+1) k! A.63 B.64 C.31 D.32 ∈R,∈N.根据以上信息若对任意x<司 4.小明在一个物理问题计算过程中遇到了对数据 1.0022的处理，经过思考，小明决定采用精确到： 都有 (1-x)8 （1+2x)2 =a0+a1x+a2x2+…十amx”十 0.001的近似值，则这个近似值是 ! …,则a3= A.1.000 B.1.024 温馨提示 请做课时分层检测（七） C.1.025 D.1.023 6.3.2 二项式系数的性质 【素养要求】 通过对二项式系数性质的探究及应用的学习，发展直观想象及逻辑推理素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 二项式系数的性质 [即学即练] 性质 内容 1.在(1十x)”(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5 对称性 CW=C”m,即二项展开式中，与首末两端“ 的系数最大，则n等于 ”的两个 相等 A.8 B.9 如果二项式的幂指数 ,那么展开式中间 C.10 D.11 项 的二项式系数最大 增减性与 2.(多选)下列关于(a一b)10的说法正确的是( 如果1为 ,那么其展开式中间两项 最大值 与 的二项式系数相等且 A.展开式中的二项式系数之和为1024 同时取得最大值 B.展开式中第6项的二项式系数最大 二项展开式中各二项式系数的和等于 C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 即 D.展开式中第6项的系数最小 各二项式 3.(2022·浙江高考)已知多项式(x十2)(x一1)4 系数的和 奇数项的二项式系数之和等于 项的二 项式系数之和，都等于2”1，即C+C+C+… a0十a1x十a2x2十agx3+a4x4十a5x5,则a2= ,a1十a2十a3十a4十a5= 20 第六章计数原理 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一赋值法的应用 对点训练 [典例]若(3.x-1)7=a7x7十a6x6十…十a1x十 ag,求： 在①第三项的二项式系数与第六项的二项式系 (1)a1+a2+…+a7; 数相等；②展开式中二项式系数的和与所有项的 (2)a1十a3十a5十a7； 系数和差为127；③前三项的系数绝对值和为 (3)lao|+|a1|+…+la7. 99.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题 听课记录 中，并作答.已知(2x-1)n=a0十a1x十a2x2+… 十amx" (1)求n; （2)冰号+学+会++的值： 2n (3)求a1十2a2十3a3十…十nam的值. 题点二 二项式系数的性质的应用 …/方法技巧/ 典例门 (多选)若(+)广的展开式中第3项 赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用 与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最 方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一 大的项为 () 个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要 A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项 避免漏项.一般地，对于多项式f(x)=ao十a1x (2)已知(2√无十1)m+1展开式的二项式系数和比 十a2x2十…十amx”,各项系数和为f(1),奇次项 (3.x一1)”展开式的偶数项的二项式系数和大 系数和为2[f(1)-f(-1)],偶次项系数和为 48,求(-产的展开式中， 21+/-1],=0. ①二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项. 21 数学选择性必修第三册 听课记录 2在-) 的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项与系数最小的项. /方法技巧/ 题点三 二项式系数之和与二项展开式各项系 (1)二项式系数的最大项的求法 数之和 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性 质对(a十b)m中的n进行讨论. [典例] 在二项式 (n∈N*)的展开式 ①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. 中，各项的系数和比各项的二项式系数和大240， ②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 则n的值为 (2)展开式中系数的最大项的求法 听课记录 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大 项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情 况进行分析.如求(a十bx)”(a,b∈R)的展开式 中系数的最大项，一般采用待定系数法，设展开 式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第 k十1项最大，应用 A≥A1‘解出R,即得出系 A≥Ak+1, 数的最大项， 对点训练 (+” 的展开式中第8项是常数，则展开式 中系数最大的项是 A.第8项 B.第9项 C.第8项和第9项 D.第11项和第12项 22 第六章计数原理 …/方法技巧/ 对点训练 二项式系数和与二项展开式系数之和的求法 (1)二项式系数之和与指数n有关，其和为C9+ 1.若(x十3y)n展开式的各项系数和等于(7a+b)10 展开式中的二项式系数之和，则n的值为() C以十C十…十C州=2”，其中奇数项的二项式系 A.5 B.8 C.10 D.15 数之和与偶数项的二项式系数之和相等，都等 于2n-1 2(多选)已知〔一展亦式中各项的系数之和 为一512，则该展开式中二项式系数最大的项可 (2)求二项展开式各项系数之和，往往采用赋值 以是 () 法，对变量赋值1计算可得. A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)已知(1十x)6=a0十a1(1一x)十a2(1-:5.在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问 x)2+…十a6(1一x)6,则下列选项正确的有 题中的横线上，并完成解答， 条件①：展开式中所有项的系数之和与二项式系 A.a0=1 数之和的比为64. B.a6=1 条件②：展开式中前三项的二项式系数之和 C.a0+a1+…+a6=64 为22. D.a1十a3+a5=-364 问题：己知二项式(1十3x)”,若 (填写条 2(+0 件前的序号). 的展开式中各项系数的： (1)求展开式中二项式系数最大的项； 和为16，则展开式中x3的系数为 (2)求(1+3.x)n(1一x)5中含x2项的系数. 3.(多选)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻 着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直 径恰好与圆柱的高相等，这是因为阿基米德认为； 这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下 遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的 几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m, 圆柱的表面积与球的表面积之比为n,若f(x)= A.f(x)的展开式中的常数项是56 B.(x)的展开式中的各项系数之和为0 C.f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70 D.f(i)=-16,其中i为虚数单位 4.若(2-x)7=a0十a1(1+x)+a2(1+x)2+…+ a7(1十x),则a0十a1十a2十…十a6的值为 温馨提示 请做课时分层检测（八） 23