辽宁东北育才学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

东北育才高中2025一2026学年度下学期 高二年级数学科期中考试试卷 答题时间：120分钟满分：150分命题、校对：彭玲沈悦 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1若随机变量X~B(6,名，则D2X+)=() A.4 B.16 c.17 3 3 D.25 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查二项分布的方差求解，涉及方差的性质，属于基础题. 根据二项分布的方差，结合方差的性质，即可容易求得结果. 【解答】 解：因为X~B(63), 3 可得0的=6号}台 故D(2X+1)=4D(X)= 16 3 故选：B 2下列求导数的运算中正确的是() A.(x'e")=2xe B.(x2+1)°=2x+1 C.ln(2x-1)]'= 2x-1 D.(1og,x=1 xIn2 【答案】D 【解析】解：对于A,(xe)=(x)e+x2(e=2xe+xe,故A错误； 对于B,(x2+1)=2x,故B错误； 对于c,n(2x-1川=2x-1=2, 故C错误； 2x-12x-1 对于D,(1g,x=L,则D正确 xIn2 高二年级数学科试卷教师版第1页共1页 故选：D 3某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为20%，通过调查问卷，得 知80%的现场挂号患者对医院的服务满意，90%的在线挂号患者对医院的服务满意，随 机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（) A.088 B.086 C.085 D.084 【答案】A 【详解】记A=“现场挂号”，B=“患者对医院的服务满意”，则P(A)=02P(A=08. 因为通过调查问卷，得知80%的现场挂号患者对医院的服务满意，90%的在线挂号患者 对医院的服务满意， 所以用频率估计概率，得P(BA)=08P(BA)=09. 又由全概率公式得P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(BIA)+P(AP(BA) =02×08+08×09=016+072=088. 所以随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为088 4我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多 十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传说的是，有996斤棉花要 赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子 为止.根据这些信息第三个孩子分得（)斤棉花？ A.99 B.116 C.133 D.150 答案：A 5.已知{a,}为等比数列，公比为q,则“g≠-1”是“对任意的n∈N,S,S2n-SSn-S2.是等 比数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 6.过点(0，-4)作函数fx=x-4图像的切线，则切线方程为() A.y=5x-4 B.y=4x-4 C.y=3x-4 D.y=2x-4 高二年级数学科试卷教师版第2页共2页 【答案】D 【详解割设切点为X引飞*0叭。 对函数求导可得f(凶)=1+(x+0), 则切点处的解率为()=1+是所以切线方程为y-水号-+外小 因为切线过点04，代入切线方程，可得4%+-+)。 整理得×。=2，则所求切线方程为y=2x~4.故选：D. 7.已知随机变量的分布列如下： a a2 P Pi P2 P3 其中0<a,<a2<a,a,是a,和a,的等差中项。若E()>a2,则() A.p>P2 B.p,P3 C.P2>P3 D.p<P3 【答案】D 解：根据题意可得E()=a,P1+aP2+aP3>a2,则a,P,+a,P3>a,(1-p), 由a, 8+8,1-p2=p,+Pg, 2 WaP+ap(p:+p:) 2(a p,+agp3)>ap+a Pa+agP+agP3 即ap,+agP3-aP3aP1>0, 即(a,agp-p)>0, a2a,=aga2>0,则a>a, 则p,<p3 故选D. 8.设数列a的各项均为非零的整数，其前n项和为Sn若ji(i,jN)为正偶数，均有 a≥2a,且S2=0,则S的最小值为（) A.0 B.22 C.26 D.31 高二年级数学科试卷教师版第3页共3页 答案：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。 9.某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下表的统计资料： 3 5 6 2.2 3.8 6.5 7.0 已知根据表中原始数据得回归直线方程为y=1.23x+0.08.某位工作人员在查阅资料 时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是(ABD) A.所支出的维修费用与使用年限正相关 B.估计使用10年维修费用是12.38万元 C.根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5 D.第3年维修费用的残差为0.03万元 答案：ABD 10.已知数列{a}满足an+a1+ant2=0(入∈R,n∈N),若a,=1,a2=2,则() A.存在实数入，使得{a}是等差数列 B.不存在实数入，使得{a}是等比数列 C.存在实数入，使得{a}是周期数列 D.不存在实数入，使得{a}递增数列 【答案】AC 【详解】对于A,若数列{a}是等差数列，则公差d=1, 所以an=n, 由a,+a+1+an2=0,得n+λ(n+1)+n+2=0, 所以=.2n+2 n+1 二2， 所以存在实数λ，使得{a}是等差数列，故A正确； 对于B,若数列{a}是等比数列，则公比q=2, 所以a。=2-1, 高二年级数学科试卷教师版第4页共4页 由a,+a+1+an+2=0,得21+入2”+2+1=0， 所以λ=-2+2+=5 2 所以存在实数入，使得{a}是等比数列，故B错误； 对于C,当入=1时，an+a+1+a+2=0,① 则an1十an+2+a+3=0,② 由②-①得an+3an=0,即an+3=a, 所以数列{a}是以3为周期的一个周期数列，故C正确； 对于D,由A选项知，当λ=2时， 数列{a}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a。=n,是递增数列， 所以存在实数入，使得{a,}是递增数列，故D错误. 故选：AC 11.将函数f(x)=cosx-Inx的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{x}(其 中n∈N),则（) A.f(x）>f(x2) B.2n×21<n C.×2+×3<5m D.f(x20)<1-In (2nn) 答案：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X服从正态分布N(4,o2),且P(4<×<6)=0.3,则P(仪>2)= 【答案】0.8 【解析】解：因为P(X≤2)=P(X>6)=0.5-P(4<×<6)=0.5-0.3=0.2, 所以P(X>2)=1-P(X≤2)=1-0.2=0.8. 故答案为：0.8. 13若f凶。÷十ax在R上单调递减，则实数a的最大值为 【答案】#0.5 【解析】 高二年级数学科试卷教师版第5页共5页 【分析1由题意可知f()≤0在R上恒成立，分离参数，令9)=e+, 2e 由基本不 等式求出g(x)的最小值，即可得出答案， 【详解】因为似=品+x在R上单调递减， 所以f(W≤0在R上恒成立，所以f)=+a≤0在R上恒成立， 2e* 所以a≤Q年在R上恒成立，令9W= 2e* (e+1乎， 2 则g(x)=· +可=@41+28=e+。2≥22= 2e 2e* 2 当且仅当，即×=0时等号成立，所以a≤ 故实数a的最大值为2 1 故答案为：分 14.已知5支球队两两之间都要进行一场比赛，任意两支球队之间的比赛都没有平局， 各队的实力相同，则有且只有2支球队恰好获胜3场的概率为 答案铝 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数f(x)=-(a+1)ln×+x.日 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性. 解：()a时，函数w)=x+f2) 则fx)=13,所以f2)=1-}=3 44 ..2分 所以曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y- 2 3-2) 即3x-4y+4=0. ...4分 高二年级数学科试卷教师版第6页共6页 (2)f(x)的定义域为(0，+o), Pw=史+1+是-起. +3 … .5分 ①当a≤0时，x-a>0,令f(x)>0,解得x>1,令f(x)<0,解得0<x<1, 所以f(x)在(0,1刂上单调递减，在[1，+o)上单调递增. ..7分 ②当0<a<1时，令f(x)>0,解得x>1或0<x<a, 令f(x)<0,解得a<x<1, 所以f(x)在(0，a,[1,+o)上单调递增，在[a,1]上单调递减 .9分 ③当。=1时，PW=么≥0，所以化在0，+四上单调递增. .10 分 ④当a>1时，令f(x)>0,解得x>a或0<x<1,令f'(x)<0,解得1<x<a, 所以f(x)在(0,1]，[a,+o)上单调递增，在[1，a上单调递减. ..12分 综上，当a≤0时，f(x)在(0,1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增： 当0<a<1时，f(x)在(0，a]，,[l,+o)上单调递增，在[a,1]上单调递减； 当a=1时，f(x)在(0，+o)上单调递增； 当a>1时，f(x)在(0,1】，[a,+o)上单调递增，在(1，a)上单调递减. .13 分 16.(本小题15分) 科普测试成绩 科普过程性积分 人数 90≤x≤100 4 10 高二年级数学科试卷教师版第7页共7页 某学校 80≤X<90 3 a 为提升学生 的科学素养， 70≤x<80 2 要求所有学 生在学年中 60≤X<70 7 23 完成规定的 学习任务，并 0≤x<60 0 2 获得相应过 程性积分.现 从该校随机 抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数)及相应过程性积分数据， 整理如下表： (I)当a=35时， ()从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概 率 ()从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学 生的科普过程性积分之和，求X的分布列及数学期望E(X); ()从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为Y, 上述100名学生科普测试成绩的平均值记为Y,若根据表中信息能推断Y,≤Y,恒 成立，直接写出a的最小值 (16)(共15分) 解：(I)当a=35时， ()由表可知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为10+35=45」 高二年级数学科试卷教师版第8页共8页 所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为 45 =0.45 100 所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为 0.45 .3分 ()根据题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过 35=7 程性积分为3分的频率为35+109 所以从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积 分为3分的概率估计为9.同理，从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一 2 名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为9， ...5分 由表可知×的所有可能取值为6,7,8 .6分 P(X=6)=2x2=gP(X=7)=2x2x229 p(X=8)=2x2=4 9981 9981 9981 所以X的分布列为 X 6 7 8 49 28 4 81 81 81 .9分 49 ,28+8×。 458 E(X)=6×□+7× 所以X的数学期望 8181819. ..10分 ()7. ..15分 高二年级数学科试卷教师版第9页共9页 17.(本小题15分) S为数列{a,的前n项和，已知a。+S,=2”-1· (1)设b,=2”a,证明：bn+1bn=22n,并求a (2)证明： 【答案】证明：(1)当n=1时a,+S,=2a,=2-1,即a,= 2 由a。+Sn=2”1,a+1+S1=21.1, 两式相减可得2a+1a=2”, .3分 两边同时乘2可得2*a+12a,=2”即b+1b,=220=4, ..5分 b,=2a1=1, 所以n≥2时，bn=b,+(b2b,)+(b3b2)+…+(bn-bn) =1+4+16+-+41=14=41=2a 1-43 所以2时.1=22： .8分 日满足上式， .9分 11 (2)由(1)得S,= 1,2-2+122 31-2 2 =23+=日2g 3 2 所以5=322 11 .12分 =312*可）<3. ..15分 18.(本小题17分) 高二年级数学科试卷教师版第10页共10页 现有标号依次为1,2，.，n的n个盒子（其中n≥2），标号为1号的盒子里有2个红球 和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2 号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，，依次进行到从~1号盒子里取 出2个球放入n号盒子为止. (1)当n=2时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当n=3时，求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列； (3)记n号盒子中红球的个数为X。,求第n号盒子有两个红球和两个白球的概率及X的 期望E(X）. 解：【小问1详解】 设事件A=2号盒子里有2个红球， 由题可知2号盒子里有2个红球的概率为P(A)= .3分 【小问2详解】 由题可知可取1,2,3， ..4分 A王x+C2x- P(5=1)= CI C c36 P(5=3) -CixC3+CCixC3-7 C2C2 C2"C2 36 P(5=2)=1-P(5=1)-P(5=3)=1日 .7分 18 所以3号盒子里的红球的个数的分布列为 1 3 P 11 36 1 36 .8分 高二年级数学科试卷教师版第11页共11页 【小问3详解】 7 记a,1为第n(n≥2)号盒子有三个红球和一个白球的概率，则a,= 6,为第n(口≥2)号盒子有两个红球和两个白球的概率，则A-号，。-1 3 18 则第n(n≥2)号盒子有一个红球和三个白球的概率为1-日1-b,1, 2 1 且b,1=2b,-2+an-2+(1-am-2-b,-2)(n≥3)， 3 1 化解得b,1=b2+ ① ..10分 6 2 而色号-》则数列{6号}为等比数列首项为6号 ,公比为二， 6 ..12分 所以第n号盒子有两个红球和两个白球的程率为号+倡 ..13分 1 1 又由an1=b2+n-2 ② 6 2 由@得2a+b,=2传+分++=a,+,+月 所以2a1+b,1=a2+2方=2ag+610n≥3) 又因为2a,+b,1=0,所以2a1+bn11=0 因此E(Xn)=3×an1+2×b,1+1×(1-日n1-b,-1)=1+2an1+b,1=2· ..17分 高二年级数学科试卷教师版第12页共12页 19.(本小题17分) 已知数列{a}的前n项和为S。.若对每一个n∈N,有且仅有一个m∈N,使得 Sm≤a,<Sn1,则称{a,}为“X数列”记b,=Sm-an,nEN,称数列b}为{a}的“余 项数列” (1)若{a}的前四项依次为0,1,1,1，试判断{a}是否为“X数列”，并说明理由； (2)若$。=2”，证明{a}为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； (3)已知正项数列{a}为“X数列”，且{a}的“余项数列”为等差数列，证明： 5n≤(1+2”-2)a, 解：【小问1详解】 由题S1=0,S2=1,S3=0,S4=1, 所以有S,≤a,≤S2,S3≤a,≤S4, 故根据“X数列”的定义{a}不是“X数列” ..4分 【小问2详解】 因为$。=2”， 所以当n=1时，a1=S,=2; 当n≥2时，an=S,-S1=2”-21=2; 则a,=2不满足a。=21,所以a。= |2,n=1 12-,n≥2' ..5分 令Sn≤a,<Sm1,即2"≤an<2m1 则当n=1时，有2m≤a,=2<2m1,→m=1; 当n≥2时，有2m≤2-1<2m1;故m≤n-1<m+1即m+1≤n<m+2, 则对每一个neN(n≥2)，有且仅有-个meN且m=n-1,使得Sm≤an<Sm+1, 综上，对任意nEN,有且仅有一个m∈N,使得Snm≤an<Sm1, 所以{a}为“X数列”， .8分 高二年级数学科试卷教师版第13页共13页 由上=8na={22n ={2,n=1 2m+1-2m-1,n≥2 2,n≥2'n∈N, 即{a}的“余项数列”通项公式为b,= 2,n=1 l2,n≥2'n∈N .9分 【小问3详解】 因为{a}是正项数列，所以S}单调递增， 所以S,≤a,<S2,故b=S2-a,=a2, 因为a,<S2,且{a}为“X数列”， 所以a,=S,≤a2<52,故由b,=Sn+1an(neN)得b,=S2-a2=a,.10分 {a}的“余项数列”{b}为等差数列，故其公差d=b,-b=a,-a2≤0， 因为Sm≤an<Sm1,所以bn=Sm1-an>0, 若d<0,则当n>1-子时，b,=4,+n-d<a+浮d=0,与，>0矛盾， 故d=0,所以b,=a2=a1,b,=Sm+1-an=a1,即Sm+1-an-a,=0,.13分 对于n≥3，若m+1≥n,则a2≤Sm1-an-a,=0,与正项数列{a,}矛盾，14分 所以m+1≤n-1,故Sn-Sn1+a,=an+a,=Sm1≤Sn1, 所以s日，≤26a,故5s585≤3,8=马= 2 2n-1 444 所以S,≤（1+22)a,(n≥23)， 又S,≤(1+2)aS2=2a1≤(1+2)a1, 所以Sn≤(1+22)a1,n∈N. .17分 高二年级数学科试卷教师版第14页共14页东北育才高中2025一2026学年度下学期 高二年级数学科期中考试试卷 答题时间：120分钟满分：150分命题、校对：彭玲沈悦 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1若随机变量×~B(6子，则D2x+1)-() A.4 B.16 c.17 D. 25 3 2.下列求导数的运算中正确的是() A.(x2e）=2xe B.（x2+1)”=2x+1 C.[ln(2x-1)]= 2x-1 D.(logx)=-1 n2 3某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为20%，通过调查问卷，得 知80%的现场挂号患者对医院的服务满意，90%的在线挂号患者对医院的服务满意，随 机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为() A.088 B.086 C.085 D.0-84 4我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多 十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传说的是，有996斤棉花要 赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子 为止根据这些信息第三个孩子分得（）斤棉花？ A.99 B.116 C.133 D.150 5.已知{a,}为等比数列，公比为q,则“g≠-1"是“对任意的n∈N,S,S2-S,S.S2n是等 比数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 6.过点(0，-4)作函数f(x)=x-4图像的切线，则切线方程为（) A.y=5x-4 B.y=4×-4 C.y=3x-4 D.y=2×-4 7.已知随机变量ξ的分布列如下： a a2 ag P Pi P2 P3 其中0<a,<a2<a,,a,是a,和a,的等差中项。若E()>a2,则() A.P>P2 B.p2 P3 C.P2>P3 D.p<P3 8.设数列{a}的各项均为非零的整数，其前n项和为Sn若ji(,jN)为正偶数，均有 a≥2a,且S2=0,则S的最小值为（) A.0 B.22 C.26 D.31 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。 9.某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下表的统计资料： 3 4 5 6 2.2 3.8 16.5 7.0 已知根据表中原始数据得回归直线方程为y=1.23×+0.08某位工作人员在查阅资料 时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是( A.所支出的维修费用与使用年限正相关 B.估计使用10年维修费用是12.38万元 C.根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5 D.第3年维修费用的残差为0.03万元 2 10.已知数列{an}满足an+an1+an+2=0(∈R,n∈N),若a,=1,a2=2,则() A.存在实数入，使得{a}是等差数列 B.不存在实数入，使得{a}是等比数列 C.存在实数入，使得{a}是周期数列 D.不存在实数入，使得{a,}递增数列 11.将函数f(x)=cosx-Inx的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{x}(其 中n∈N),则() A.f(x)>f(x2) B.X2n-×2n1<n C.×2+x3<5n D.f(x2n）<1-ln(2n) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X服从正态分布N(4,o3),且P(4<X<6)=0.3,则P(X>2)=一 13.若f(x)= e'-1 e++ax在R上单调递减，则实数a的最大值为 14.已知5支球队两两之间都要进行一场比赛，任意两支球队之间的比赛都没有平局， 各队的实力相同，则有且只有2支球队恰好获胜3场的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数f(x)=-(a+1)Inx+x.日 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性. 3 16.(本小题15分) 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任 务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成 绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩 科普过程性积分 人数 90≤x≤100 4 10 80≤x<90 3 a 70≤x<80 2 b 60≤x<70 1 23 0≤x<60 0 2 (0)当a=35时， ()从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率； ()）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学 生的科普过程性积分之和，求X的分布列及数学期望E(X); ()从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为Y, 上述100名学生科普测试成绩的平均值记为Y,若根据表中信息能推断Y,≤Y,恒 成立，直接写出a的最小值 17.(本小题15分) S,为数列{a}的前n项和，已知an+S。=2”-1. (1)设bn=2”a,证明：bn+1bn=22”,并求a; (2)证明： 1 ，<3. 4 18.(本小题17分) 现有标号依次为1,2，.，n的n个盒子（其中n22),标号为1号的盒子里有2个红球 和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2 号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，.，依次进行到从·1号盒子里取 出2个球放入n号盒子为止. (1)当n=2时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当n=3时，求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列； (3)记n号盒子中红球的个数为X,求第n号盒子有两个红球和两个白球的概率及X的 期望E(X) 19.（本小题17分) 已知数列{a的前n项和为S。.若对每一个n∈N,有且仅有一个m∈N,使得 Sm≤a,<Sm1,则称{a,}为“X数列”记b,=Sm1-an,nEN,称数列b}为a}的“余 项数列” (1)若{a}的前四项依次为0,1，-1,1，试判断{a}是否为“X数列”，并说明理由； (2)若$。=2”，证明{a}为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； (3)已知正项数列{a,}为“X数列”，且{a}的“余项数列”为等差数列，证明：S,≤(1+2-2)a,