精品解析：辽宁省辽宁省普通2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教B版选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，，则， 由导数的定义知，． 故选：C． 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推公式进行迭代，即可求解. 【详解】由，，可得，， 故选：B. 3. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数来求瞬时速度即可求解. 【详解】因为，所以，令，得， 即该运动员在时的瞬时速度为. 故选：C. 4. 已知等比数列，且，，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，且，， 所以，. 故选：A 5. 已知函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数判断函数单调性即可得解. 【详解】因为， 所以在上单调递增， 所以， 故选：D 6. 随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（ ） A. 17万条 B. 16万条 C. 15万条 D. 14万条 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【详解】设收益为y元，则， ，当时，；当时，， 所以函数y在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为15万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C. 7. 若数列满足（且），，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用递推思想，结合累加法和裂项相消法即可求解. 【详解】由，可得： ，累计可得：， 故选：D. 8. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点后由导数的意义得到切线方程，代入转化为三次方程有三个不同实数根问题，构造函数求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计算. 【详解】设切点为， 由可得，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 由点在切线上代入可得， 即三次方程有三个不同的实数根， 令，则， 所以极值点为和， 又极值点处函数值为， 三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号， 所以，解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导函数的正负来判断原函数的单调性，利用导函数的变号零点来判断原函数的极值点即可． 【详解】 根据的图象可知：函数在上单调递增，故A正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数有2个极值点，故B正确； 根据的图象可知：在时，，所以函数在上单调递减，故C正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数在处无极值，故D错误； 故选：ABC． 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项. 【详解】A.定义域为，，，故A正确. B.定义域为，，，故B正确. C.定义域为，，，故C正确. D.定义域为，，， 当时，，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（ ） A. B. 数列的前n项和为 C. D. 实数k的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由已知递推关系可构造出等比数列，从而求出数列的通项公式；对于B，由数列的通项公式，再利用分组求和即可求出数列的前n项和；对于C，先写出数列的通项公式，再得到其前项积的表达式，即可判断C选项；对于D，由已知可得得，令，利用作商法分析数列的单调性，由此可判断D选项. 【详解】由，得，又， 所以数列是首项为2，公比为4的等比数列， 所以，即，故A正确； 数列的前n项和为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 由，得，令， 所以，， ，所以数列单调递减， 当时，的最大值为， 所以，即实数k的最小值为，故D正确， 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极小值点为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求导可得，令，再由极值点的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 令可得，即，解得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以是的极小值点. 故答案为： 13. 设为等差数列的前n项和，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为等差数列的前n项和，则成等差数列， 且，，则，则其公差为， 所以， 所以. 故答案为： 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，转化为有三个解，令，利用导数求出的单调性和极值可得答案. 【详解】，设，则， 所以，，所以， 因为与的图象若恰有3组对称点， 所以有三组解，可得即有三个解， 令，即函数与的图象有3个不同的交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是转化为有三个解，然后构造函数结合图象. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出公差得数列的通项；利用等比数列性质求出得数列的通项. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合公式法求得解. 【小问1详解】 在等差数列中，，，公差， 所以数列的通项公式为； 在等比数列中，，由，得， 解得，，而，因此， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知， . 16. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行． （1）求的值； （2）求函数在区间上的极值与最值． 【答案】（1） （2）极小值为，极大值为，最大值为12，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由导函数求得函数在切线的斜率，由直线平行得到的值； （2）将的值代入原函数，求出导函数，令导函数为0，求得极值点.然后求出函数的极值和端点的函数值，从而得到函数的极值和最值. 【小问1详解】 由，得，． 所以． 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以，即，解得． 【小问2详解】 由（1），得， 令，解得，或． 当变化时，的变化情况如下表所示： 1 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为． 又，所以函数在区间上的最大值为12，最小值为． 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义可得数列是首项、公比均为3的等比数列，即可求解； （2）由错位相减求解. 【小问1详解】 由，又，可得数列是首项、公比均为3的等比数列， 故， 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 所以， 两式相减得， 所以 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：对且，都有． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，函数在上单调递增． 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2） 不妨设，则，要证对，都有， 只需证，即需证． 构造函数，则要证，需证函数在上为增函数， 因为， 所以函数在上为增函数成立， 所以当时，对且，都有． 【解析】 【分析】（1），根据与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性； （2）设，要证，即证，构造新函数，证明函数在上单调递增即可． 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以． 当时，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，恒成立，所以函数在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 略 19. 定义：已知数列的前n项和为，若对任意正整数n，存在，使得，则称数列为“和完全平方数列”． （1）若数列满足判断是否为“和完全平方数列”． （2）若数列的前n项和（，且），那么是否存在λ，使得数列为“和完全平方数列”？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由． （3）若等差数列是“和完全平方数列”，求数列的通项公式． 【答案】（1）为“和完全平方数列”， （2） 存在，使得为“和完全平方数列”，理由如下： 当时，， 当时，， 设的前项和为， 则，满足要求， 因为，且，所以，且， 当时，当时，，此时， 满足为“和完全平方数列”， 当时，， 故， 不存在，使得， 综上，； （3），. 【解析】 【分析】（1）由定义，验证得到，当时，，为“和完全平方数列”； （2）当时，，设的前项和为，当时，，满足为“和完全平方数列”， 当时，不存在，使得，得到答案； （3）设公差为，前n项和为，因为为完全平方数，故，，，分，两种情况，若，取，当为偶数时，推出矛盾，当为奇数时，举出反例，从而得到，即，故，设，则，当时，，又适合上式，即，. 【小问1详解】 为“和完全平方数列”，理由如下： 设的前n项和为， 显然，满足要求， 当时， ， 综上，为“和完全平方数列”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设等差数列的公差为，前n项和为， 因为为完全平方数，故，，， 若，则，若对于任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，其中为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，则， 当时，， 又适合上式，即，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教B版选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 3. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列，且，，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 已知函数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（ ） A. 17万条 B. 16万条 C. 15万条 D. 14万条 7. 若数列满足（且），，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（ ） A. B. 数列的前n项和为 C. D. 实数k的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极小值点为________． 13. 设为等差数列的前n项和，且，，则________． 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行． （1）求的值； （2）求函数在区间上的极值与最值． 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：对且，都有． 19. 定义：已知数列的前n项和为，若对任意正整数n，存在，使得，则称数列为“和完全平方数列”． （1）若数列满足判断是否为“和完全平方数列”． （2）若数列的前n项和（，且），那么是否存在λ，使得数列为“和完全平方数列”？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由． （3）若等差数列是“和完全平方数列”，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $