精品解析：广东东莞市东莞中学松山湖学校2025—2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷

2025—2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各数为三角形的边长．能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，2 B. ，， C. 4，5，6 D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是矩形 6. 如图，在矩形中，两条对角线交于点，，，则长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，中D、E分别是的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 8. 已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（ ） A. 张强从家到体育场用了15min B. 体育场离文具店1.5km C. 张强在文具店停留了20min D. 张强从文具店回家用了35min 9. 八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 计算：______． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 14. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 15. 我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么_____． 三、解答题Ⅰ（每题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 已知与之间满足，且当时，．求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，的值． 18. 如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形． 四、解答题Ⅱ（每题9分，共27分） 19. 如图，矩形的对角线相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由； （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离． 21. 如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为． 链条节数节 链条长度 （1）观察图形，根据条件可求得表格中：______，______； （2）根据条件，可求得与之间的函数关系式为____________； （3）如下计算图，一辆自行车的链条（安装前）共由节链条组成，那么将这根链条安装到自行车上后（链条变为右图中的环形），求安装上自行车上后的链条总长度是多少？ 五、解答题Ⅲ（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读下述材料： 【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为：，所以． 【材料2】求的最大值．具体方法如下： 解：由，，可解得：，而且 故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 请根据上述材料中的描述，解决下列问题： （1）比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）； （2）填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； （3）若，求的值． 23. 如图，在正方形中，是上一点（不与点重合），点在上，且，连接． （1）判断与的数量关系并证明； （2）求的大小； （3）作点关于直线的对称点，连接．请补全图形，并直接用等式写出之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，该选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，该选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，该选项不是最简二次根式，不符合题意． 2. 以下列各数为三角形的边长．能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，2 B. ，， C. 4，5，6 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形．”是解题的关键． 【详解】解：A.，不能构成直角三角形，故不符合题意； B.，能构成直角三角形，故符合题意； C.，不能构成直角三角形，故不符合题意； D.，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则计算即可； 【详解】解： A．无法合并，选项错误； B．，选项正确． C．，选项错误； D．，选项错误； 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据四边形平行四边形对角相等及求，再由对边平行同旁内角互补求即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 选项A：当时，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故A正确，该选项不符合题意； 选项B：当时，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故B正确，该选项不符合题意； 选项C：当时，由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得出它是正方形，故C错误，该选项符合题意； 选项D：当时，由“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故D正确，该选项不符合题意． 6. 如图，在矩形中，两条对角线交于点，，，则长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得对角线互相平分且相等，从而得到，结合可判定是等边三角形，进而求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 7. 如图，中D、E分别是的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到是中位线，得到，则，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是的中点，， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴在中，， ∴， 故选：D ． 8. 已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（ ） A. 张强从家到体育场用了15min B. 体育场离文具店1.5km C. 张强在文具店停留了20min D. 张强从文具店回家用了35min 【答案】B 【解析】 【分析】利用图象信息解决问题即可． 【详解】解：由图可知： A. 张强从家到体育场用了15min，正确，不符合题意； B. 体育场离文具店的距离为：，故选项错误，符合题意； C. 张强在文具店停留了：，正确，不符合题意； D. 张强从文具店回家用了，正确，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 9. 八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用，根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设边上的高的长为， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先由勾股定理求出菱形边长并确定各顶点坐标，再利用菱形对角线的对称性将转化为，最后根据两点之间线段最短，计算的长度即为的最小值． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 如图，连接，过点作轴于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵菱形的对角线是其对称轴， ∴点关于直线的对称点是点， ∴对直线上任意一点，都有， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线（即点运动到图中位置）时，取得最小值，最小值为线段的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用即可求解． 【详解】解：． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为． 14. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 【答案】10或 【解析】 【分析】分两种情况：第一种，6和8是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理求第三边的长；第二种，8是直角三角形的斜边长，6是直角边长，根据勾股定理求第三边的长． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边长，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边长，6为直角边长，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 15. 我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割、矩形的性质以及正方形的性质．由黄金矩形的定义得，，再由正方形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：∵矩形为黄金矩形，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题Ⅰ（每题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方差公式、二次根式的性质进行化简，然后合并即可． 【详解】解： ． 17. 已知与之间满足，且当时，．求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）把，代入关系式，求出的值即可； （）当时，，然后解出的值即可． 【小问1详解】 解：把，代入得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得． 18. 如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先证明，则，又，所以，再通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】略 四、解答题Ⅱ（每题9分，共27分） 19. 如图，矩形的对角线相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． （2）4 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握相关判定和性质，是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的对角线相等且平分，得到，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，利用菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． ∴菱形的面积是4． 20. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由； （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离． 【答案】（1），理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等； （1）计算得出，由勾股定理逆定理可判定为直角三角形，即可求解； （2）过作交的延长线于，过C作于M，延长交于K，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解； 能熟练利用勾股定理及其逆定理进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 理由如下： ， ， ， 为直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：过作交的延长线于，过C作于M，延长交于K， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ∴购物车把手到的距离为． 21. 如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为． 链条节数节 链条长度 （1）观察图形，根据条件可求得表格中：______，______； （2）根据条件，可求得与之间的函数关系式为____________； （3）如下计算图，一辆自行车的链条（安装前）共由节链条组成，那么将这根链条安装到自行车上后（链条变为右图中的环形），求安装上自行车上后的链条总长度是多少？ 【答案】（1），； （2）； （3）总长度为． 【解析】 【分析】（）根据图形找出规律分别计算长度即可； （）由（）写出表示链条节数的一般式； （）根据（）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短． 【小问1详解】 解：节链条：长度， 节链条：总长度（重合处，减个）， 节链条：总长度，即， 节链条：总长度，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：节链条，重合部分有处， ∵总长度单节长度节数重合部分总长度， ∴， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：把代入，得， ∵链条安装成环形，会再增加处重叠，需再减个， ∴环形总长度． 五、解答题Ⅲ（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读下述材料： 【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为：，所以． 【材料2】求的最大值．具体方法如下： 解：由，，可解得：，而且 故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 请根据上述材料中的描述，解决下列问题： （1）比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）； （2）填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）0，大，1 （3）4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的有理化，能够将分母有理化的知识进行迁移是解题的关键． （1）由题目信息，进行分子有理化即可比较大小； （2）根据二次根式的定义可得，再根据题目信息进行分子有理化，即可求解； （3）根据分子有理化即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ， ， 即； 【小问2详解】 解：， ∴且， 即， ， 由于分母随x增大而增大，则y随分母增大而减小， 则当时，分母最小，y取得最大值，最大值为1； 【小问3详解】 解：由题可得， ， 则． 23. 如图，在正方形中，是上一点（不与点重合），点在上，且，连接． （1）判断与的数量关系并证明； （2）求的大小； （3）作点关于直线的对称点，连接．请补全图形，并直接用等式写出之间的数量关系． 【答案】（1） ，证明： ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，后根据等量代换解答即可． （2）过点G作于点M，点G作于点N，利用三角形的全等，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质解答即可． （3）连接，过点P作交的延长线于点H，根据点P，C关于直线对称，得到，根据（2）得，得到， 证明，得到，得到，继而证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点G作于点M，点G作于点N， 则四边形是矩形， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 证明：连接，过点P作交的延长线于点H， ∵点P，C关于直线对称， ∴， 根据（2）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对称思想，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $