21.3.1矩形（4知识点+14题型+过关检测） 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

21.3.1矩形 （4知识点+14题型+过关检测） 【题型1 矩形性质理解】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度】 3 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 4 【题型4 根据矩形的性质求面积】 5 【题型5 利用矩形的性质证明】 6 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 7 【题型7 矩形与折叠问题】 8 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 10 【题型9 矩形的判定定理理解】 11 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 12 【题型11 证明四边形是矩形】 13 【题型12 根据矩形的性质与判定求角度】 14 【题型13 根据矩形的性质与判定求线段长】 15 【题型14 根据矩形的性质与判定求面积】 17 · 1. 理解矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系，掌握矩形的特殊性。 · 2. 熟练掌握矩形的性质定理和判定定理，能区分矩形与普通平行四边形的异同。 · 3. 掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一重要推论，熟练应用解题。 · 4. 能利用矩形性质解决角度、线段长度、图形面积、坐标计算、折叠问题等常见题型。 03 知识•梳理 知识点1. 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 核心关系：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时拥有专属特殊性质。 知识点2. 矩形的性质（重点） · 性质1（角）：矩形的四个角都是直角。 · 性质2（对角线）：矩形的对角线相等且互相平分。 · 性质3（通用）：对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分（继承平行四边形所有性质）。 · 推论（必考）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 知识点3. 矩形的判定定理（重点） · 判定1（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 · 判定2（角判定）：有三个角是直角的四边形是矩形。 · 判定3（对角线判定）：对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点4. 矩形常用公式与结论 · 周长：（a、b为矩形邻边长） · 面积：（长×宽） · 矩形对角线相等且平分，对角线将矩形分成四个等腰三角形。 · 矩形折叠问题：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用全等和勾股定理求解。 本节高频易错点总结 · 1. 混淆判定前提：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须是对角线相等的平行四边形才是矩形。 · 2. 误用平行四边形性质，忽略矩形对角线相等、四角为直角的专属性质。 · 3. 直角三角形斜边中线定理使用遗漏，不会转化线段倍分关系。 · 4. 折叠问题忽略全等性质，未利用勾股定理列方程，导致无法求解。 · 5. 坐标系矩形求解时，忽略坐标符号、边长与坐标的对应关系。 · 6. 证明矩形时条件不足，跳步证明，缺少平行四边形或直角的关键条件。 04 题型•汇总 【题型1 矩形性质理解】 解题技巧：牢记矩形兼具平行四边形所有性质，独有性质为四个角是直角、对角线相等；做题优先区分普通平行四边形与矩形的性质差异，避免混用定理。 【典例1】．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【变式1】． 矩形内部对角线存在固定的数量关系，任意一个标准矩形，其两条对角线之间的关系是（    ） A．互相垂直且不等 B．长度相等且互相平分 C．互相垂直且相等 D．互不相交且平行 【变式2】． 日常生活中矩形建筑与物品十分普遍，矩形区别于平行四边形的核心特征是（    ） A．对边互相平行 B．四个内角均为直角 C．对边长度相等 D．对角线互相平分 【变式3】．矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 【题型2 利用矩形的性质求角度】 解题技巧：利用矩形四角为直角、邻角互补、对角线相等平分出等腰三角形，结合三角形内角和、对顶角、余角补角关系，逐步推导未知角度。 【典例2】．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在矩形中，是延长线上一点，且，连接，取的中点，连接交于点．若，则为_____（用含的代数式表示）． 【变式3】．如图，已知矩形的对角线、相交于点O，，垂足为H，如果，那么______°． 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 解题技巧：依托对边相等、对角线相等且平分的性质，结合等腰三角形性质、勾股定理，转化已知线段，间接求解未知边长、对角线长度。 【典例3】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在矩形中，，，对角线的长度为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】．如图，在矩形中，是边上一点，连接，若为等腰三角形，则的长为__________． 【变式3】．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 解题技巧：优先求出矩形一组邻边长度，直接用长乘宽计算；无直接边长时，利用对角线、角度、勾股定理间接求边长，再计算面积。 【典例4】．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，矩形沿着折叠，使点落在边上的点处．若，，则矩形的面积为（  ） A．4 B．6 C． D．8 【变式2】．如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 【变式3】．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【题型5 利用矩形的性质证明】 解题技巧：证明线段相等、垂直，或角度相等时，调用矩形直角、对角线相等、对边平行相等的性质，结合三角形全等、等腰三角形性质完成推理。 【典例5】．如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点E在边上，连接并延长交于点F，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是的角平分线，，，求的周长． 【变式1】．如下图，在矩形中，，，G，H分别是，上的中点，E，F是对角线上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若四边形为矩形时，求t的值 【变式2】．如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式3】．如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，且， (1)求证：； (2)若，矩形的周长为22，求的长． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 解题技巧：利用矩形邻边垂直、对边平行且相等的特征，结合坐标轴垂直关系，通过平移、边长数值推算顶点坐标，注意象限符号。 【典例6】．如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【变式3】．矩形位于平面直角坐标系中．如图，若轴，点的坐标，点的坐标为， (1)直接写出点、的坐标； (2)连接对角线、交于点，求的长及点的坐标； (3)如图，在边上有动点，过点作直线交边于点，并使得，在直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，求满足条件的点坐标． 【题型7 矩形与折叠问题】 解题技巧：抓住折叠核心：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等；结合矩形直角条件，设未知数，利用勾股定理列方程求解边长、角度。 【典例7】．如图，把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是（   ）． A．128 B．64 C．40 D．20 【变式1】．如图，在长方形中，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为___________． 【变式2】．在矩形中，将沿对折至位置，与交于点F． (1)证明：； (2)如果 ，，求的长． 【变式3】．矩形的边长，点在上，把沿折叠，使点落在边的点处，． (1)如图1，____________，_____________； (2)如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作于点． ①猜想在、运动的过程中，四边形是什么图形，并证明你的猜想； ②连接，当为直角三角形时，的长为_____________． 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 解题技巧：只要出现直角三角形，立刻使用该推论，快速得到中线与斜边的数量关系，可用于求线段长、证明线段相等、转化边长条件。 【典例8】．如图，在四边形中，，，，，连接、，取和的中点M、N，连接，则的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】．如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】．如图，中，，D为上一点，直尺的一边与重合，若点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，，则的长度为_______． 【变式3】．在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，延长交于点F． (1)如图1，若E、F重合，求的值； (2)若F为中点． ①如图2，求的度数； ②如图3，延长交于点G，连接并延长交延长线于点H，求的值． 【题型9 矩形的判定定理理解】 解题技巧：区分判定前提：三个直角可直接判定四边形为矩形；对角线相等必须是平行四边形才可判定为矩形，避免缺少前提导致判定错误。 【典例9】．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【变式2】．当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的矩形，判断的依据是___________． 【变式3】．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 解题技巧：已知普通四边形：可添三个直角、对角线相等且互相平分；已知平行四边形：可添一个直角或对角线相等，按需补充最简条件。 【典例10】．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 【变式3】．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【题型11 证明四边形是矩形】 解题技巧：优先选择简便方法：先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等；直接证三个内角为直角也可，根据题干已知条件灵活选择判定思路。 【典例11】．已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，点M在的边上，连接、．若，．求证：为矩形． 【变式2】．如图，在中，点D在上，于点C，过点A作，的平行线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【变式3】．如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【题型12 根据矩形的性质与判定求角度】 解题技巧：先判定图形为矩形，再利用矩形直角、等腰三角形、三角形内角和等性质，综合推导角度，先定性再定量，解题逻辑更清晰。 【典例12】．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【变式1】．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则____________． 【变式2】．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【变式3】．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【题型13 根据矩形的性质与判定求线段长】 解题技巧：先判定矩形得到边角、对角线等量关系，再结合勾股定理、中线定理、全等三角形，转化线段，求解未知线段长度。 【典例13】．如图，是等腰直角三角形，点D是斜边上一点，于点E，于点F，，M是的中点，则最小值是（   ） A． B． C． D．2 【变式1】．如图，矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，点是延长线上一点，连接交于点，若，则的长为___________． 【变式2】．如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，如果，，求的长 【变式3】．如图，四边形的对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接、、，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，若点是边上的动点（不与、重合），连接，过点作于点．令的面积为，的面积为，且，求的长． 【题型14 根据矩形的性质与判定求面积】 解题技巧：先通过判定确定矩形，再利用性质求出邻边边长，代入面积公式计算；不规则组合图形可拆分、补形后利用矩形面积求解。 【典例14】．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】．如图，李大爷有一块四边形的菜地，已知，，，，，则这块四边形菜地的面积为________． 【变式2】．如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 【变式3】．如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为__________； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________． 05 过关•检测 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的对角线，相交于点，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 4．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为（      ） A．10 B． C． D． 6．如图．在矩形中，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且与交于F，则下列结论①②③④若，则，正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 7．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 9．如图，在矩形中，与交于点，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．连接，，则的度数为______． 10．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是______． 11．如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 12．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 13．如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若点是的中点，，，则______． 14．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为_______________． 15．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，其中，，，是最接近的整数，是16的算术平方根，若将沿矩形对角线所在直线翻折，点落在点处，与边相交于点． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求点的坐标． 16．如图，四边形中，，，，．将四边形折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D落在F处． (1)求证：四边形是矩形． (2)求的长． 17．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 18．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，动点的运动时间为，则当t为何值时，四边形是矩形？ 19．【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】 如图1，小明沿（点在上，点在上）折叠纸片，点落在矩形的边上，连接． 【任务1】 (1)①四边形形状是________； ②调整折痕的位置，当的面积最大时，_________； 【探究2】 如图2，小丽沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，点落在上． 【任务2】 (2)求的长； 【探究3】 小亮沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，射线与射线交于点． 【任务3】 (3)在折叠过程中，当时，__________． 20．在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.1矩形 （4知识点+14题型+过关检测） 【题型1 矩形性质理解】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度】 3 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 7 【题型4 根据矩形的性质求面积】 10 【题型5 利用矩形的性质证明】 13 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 19 【题型7 矩形与折叠问题】 24 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 30 【题型9 矩形的判定定理理解】 36 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 38 【题型11 证明四边形是矩形】 41 【题型12 根据矩形的性质与判定求角度】 45 【题型13 根据矩形的性质与判定求线段长】 52 【题型14 根据矩形的性质与判定求面积】 58 · 1. 理解矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系，掌握矩形的特殊性。 · 2. 熟练掌握矩形的性质定理和判定定理，能区分矩形与普通平行四边形的异同。 · 3. 掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一重要推论，熟练应用解题。 · 4. 能利用矩形性质解决角度、线段长度、图形面积、坐标计算、折叠问题等常见题型。 03 知识•梳理 知识点1. 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 核心关系：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时拥有专属特殊性质。 知识点2. 矩形的性质（重点） · 性质1（角）：矩形的四个角都是直角。 · 性质2（对角线）：矩形的对角线相等且互相平分。 · 性质3（通用）：对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分（继承平行四边形所有性质）。 · 推论（必考）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 知识点3. 矩形的判定定理（重点） · 判定1（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 · 判定2（角判定）：有三个角是直角的四边形是矩形。 · 判定3（对角线判定）：对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点4. 矩形常用公式与结论 · 周长：（a、b为矩形邻边长） · 面积：（长×宽） · 矩形对角线相等且平分，对角线将矩形分成四个等腰三角形。 · 矩形折叠问题：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用全等和勾股定理求解。 本节高频易错点总结 · 1. 混淆判定前提：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须是对角线相等的平行四边形才是矩形。 · 2. 误用平行四边形性质，忽略矩形对角线相等、四角为直角的专属性质。 · 3. 直角三角形斜边中线定理使用遗漏，不会转化线段倍分关系。 · 4. 折叠问题忽略全等性质，未利用勾股定理列方程，导致无法求解。 · 5. 坐标系矩形求解时，忽略坐标符号、边长与坐标的对应关系。 · 6. 证明矩形时条件不足，跳步证明，缺少平行四边形或直角的关键条件。 04 题型•汇总 【题型1 矩形性质理解】 解题技巧：牢记矩形兼具平行四边形所有性质，独有性质为四个角是直角、对角线相等；做题优先区分普通平行四边形与矩形的性质差异，避免混用定理。 【典例1】．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，熟练区分它们的性质是解题关键． 根据矩形和平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，但对角线相等是矩形特有的性质，而平行四边形不一定具有. 【详解】解：A、对边平行且相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； B、对角相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； C、对角线相等，矩形具有，而平行四边形不具有； D、对角线互相垂直，是菱形的性质，矩形不一定具有该性质，不符合题意 故选：C． 【变式1】． 矩形内部对角线存在固定的数量关系，任意一个标准矩形，其两条对角线之间的关系是（    ） A．互相垂直且不等 B．长度相等且互相平分 C．互相垂直且相等 D．互不相交且平行 【答案】B 【详解】解：矩形的两条对角线长度相等且互相平分，对应选项B正确． 【变式2】． 日常生活中矩形建筑与物品十分普遍，矩形区别于平行四边形的核心特征是（    ） A．对边互相平行 B．四个内角均为直角 C．对边长度相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】根据矩形与平行四边形的性质差异，只需找出矩形有、普通平行四边形没有的核心特征即可． 【详解】解：∵ 平行四边形的基本性质为对边互相平行，对边长度相等，对角线互相平分，这些性质矩形都具有， 因此选项A，C，D不符合要求； ∵ 矩形是特殊的平行四边形，其区别于普通平行四边形的核心特征是四个内角均为直角， ∴普通平行四边形不满足该性质． 【变式3】．矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 【答案】 /两 中点 【分析】根据对称轴定义结合矩形的特征，确定对称轴的数量与位置. 【详解】解：∵若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该直线为图形的对称轴， ∴对于矩形，沿经过对边中点的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， ∴矩形共有条对称轴，过对边中点的直线即为矩形的对称轴. 【题型2 利用矩形的性质求角度】 解题技巧：利用矩形四角为直角、邻角互补、对角线相等平分出等腰三角形，结合三角形内角和、对顶角、余角补角关系，逐步推导未知角度。 【典例2】．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，在中利用两锐角互余求出的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 【变式2】．如图，在矩形中，是延长线上一点，且，连接，取的中点，连接交于点．若，则为_____（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】连接交于点，根据矩形的性质得到，，，进而得到，，由得到，根据三线合一性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵是的中点 ∴平分， ∴， ∴． 【变式3】．如图，已知矩形的对角线、相交于点O，，垂足为H，如果，那么______°． 【答案】35 【分析】根据题意，得，根据，得到，求解即可； 【详解】解：矩形的对角线、相交于点O， ， ， ， ， ， ， ， ； 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 解题技巧：依托对边相等、对角线相等且平分的性质，结合等腰三角形性质、勾股定理，转化已知线段，间接求解未知边长、对角线长度。 【典例3】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 【变式1】．如图，在矩形中，，，对角线的长度为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，，在Rt中利用勾股定理求解即可. 【详解】解：四边形是矩形， ，. 在Rt中， 由勾股定理得： . 【变式2】．如图，在矩形中，是边上一点，连接，若为等腰三角形，则的长为__________． 【答案】2或3或 【分析】因为是等腰三角形，所以需分三种情况讨论：． 因为四边形是矩形，所以可利用矩形的性质，即对边相等、四个角为直角，结合勾股定理来建立关于的方程．如果是或的情况，那么可先求出的长度，再用的长度减去得到；如果是的情况，那么E是中点，可直接得出的长度． 【详解】解：∵矩形中，，，， 为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， 在中，由勾股定理得：， ∴． 当时， 在中，由勾股定理得：． 当时， ∵AD=BC， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或或． 【变式3】．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 解题技巧：优先求出矩形一组邻边长度，直接用长乘宽计算；无直接边长时，利用对角线、角度、勾股定理间接求边长，再计算面积。 【典例4】．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】．如图，矩形沿着折叠，使点落在边上的点处．若，，则矩形的面积为（  ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】由折叠得，，求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求得长方形的面积． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 【变式2】．如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 【答案】 【分析】作于M，交于N，根据矩形的性质可得 即可求解． 【详解】解：作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴ ∴， ∴ 【变式3】．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 【题型5 利用矩形的性质证明】 解题技巧：证明线段相等、垂直，或角度相等时，调用矩形直角、对角线相等、对边平行相等的性质，结合三角形全等、等腰三角形性质完成推理。 【典例5】．如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点E在边上，连接并延长交于点F，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是的角平分线，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，则，再由矩形得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）先进行角度推导得到，然后求出，则根据直角三角形的性质得到，再由求出，最后在中运用勾股定理求解，即可求解的周长． 【详解】（1）证明：∵是中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴的周长． 【变式1】．如下图，在矩形中，，，G，H分别是，上的中点，E，F是对角线上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若四边形为矩形时，求t的值 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）矩形中，可得，，则，进而证明，由，即可证明； （2）由，可得，，可得，证明，从而可得结论； （3）连接，证明四边形是矩形，可得，求解，分为当点E，F相遇前，当点E，F相遇后，逐步分析解答即可； 【详解】（1）证明：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 如图1，当点E，F相遇前， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， 解得； 如图2，当点E，F相遇后， ∵四边形是矩形， 又∵，， ∴， 解得， 综上所述，四边形为矩形时，或； 【变式2】．如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得，再由勾股定理求出， 设，则，在中，，由此列方程求解即可； （2）先判定，即可得出，进而得到四边形是平行四边形，即可求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式3】．如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，且， (1)求证：； (2)若，矩形的周长为22，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，再由各角的等量代换确定，结合全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质得出，然后根据周长建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 解题技巧：利用矩形邻边垂直、对边平行且相等的特征，结合坐标轴垂直关系，通过平移、边长数值推算顶点坐标，注意象限符号。 【典例6】．如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是长方形中，，可得点纵坐标和相同，又根据点在第二象限，，即可求出的横坐标. 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，， ∴． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】．如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 【变式3】．矩形位于平面直角坐标系中．如图，若轴，点的坐标，点的坐标为， (1)直接写出点、的坐标； (2)连接对角线、交于点，求的长及点的坐标； (3)如图，在边上有动点，过点作直线交边于点，并使得，在直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，求满足条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)点坐标为或 【分析】（1）根据矩形的性质及点、的坐标，即可得出点、的坐标； （2）根据各点坐标得出，，利用勾股定理可求出，根据矩形的性质得出点为中点，利用中点坐标公式即可求出点坐标； （3）分和两种情况，利用全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点的坐标，点的坐标为， ∴，． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵对角线、交于点， ∴点为的中点， ∴，，即． （3）如图，若，则，过点作于点， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， ∴， ∵， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 点坐标； 如图，若，， ，， ，， ， 在和中，， ， ，， ∴， ∵， ， ∴， 点坐标， 综上所述：点的坐标为或． 【题型7 矩形与折叠问题】 解题技巧：抓住折叠核心：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等；结合矩形直角条件，设未知数，利用勾股定理列方程求解边长、角度。 【典例7】．如图，把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是（   ）． A．128 B．64 C．40 D．20 【答案】C 【分析】连接，设，由折叠的性质可得，在 中利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的长，最后利用三角形面积公式求解即可 【详解】解：连接，设 四边形是矩形 ，， 由折叠的性质可得： 在中，由勾股定理得：即 解得 点在上，点在上， 的高等于的长，即为8 【变式1】．如图，在长方形中，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况：点落在对角线上和点落在对角线上，分别根据折叠的性质结合勾股定理进行讨论求解，即可得出点运动的距离． 【详解】解：分两种情况： 当点落在对角线上时，连接，如图所示， 将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上， ， ，， 点为线段的中点， ， ，， ， ， ，即，， ， ，， ， ， ，即点运动的距离为； 当点落在对角线上时，连接，，设与的交点为，作于，则四边形为矩形，如图所示， ，，， 由折叠可知， 点为线段的中点， ， 在中，， ，即， ， 在中，， ，即， ， 在中，， ， 点运动的距离为； 综上所述，点运动的距离为或． 【变式2】．在矩形中，将沿对折至位置，与交于点F． (1)证明：； (2)如果 ，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据矩形的性质可得，则即可得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理得到关于x的方程，然后求解方程即可． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，将沿对折至位置 ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在矩形中，， 根据（1）的结论，设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 【变式3】．矩形的边长，点在上，把沿折叠，使点落在边的点处，． (1)如图1，____________，_____________； (2)如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作于点． ①猜想在、运动的过程中，四边形是什么图形，并证明你的猜想； ②连接，当为直角三角形时，的长为_____________． 【答案】(1)30；10 (2)①四边形是平行四边形，证明见解析；②或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，利用角的和差求出，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求出的长度； （2）①由题意得，，根据含30度角的直角三角形的性质得到，则，再根据平行线的判定得到，最后根据平行四边形的判定即可得出结论；②分三种情况讨论：当、、时，根据矩形和直角三角形的性质列出关于的方程，求出的值，得到和的长，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①四边形是平行四边形，证明如下： 由题意得，，， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②分三种情况： 、当时，如图2所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴； 、当时，则， ∴点与点重合，此时， 则，点P与点F重合，此时点M与点N重合， 不存在，故不符合题意，舍去； 、当时，如图所示： 由①得，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∴； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或． 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 解题技巧：只要出现直角三角形，立刻使用该推论，快速得到中线与斜边的数量关系，可用于求线段长、证明线段相等、转化边长条件。 【典例8】．如图，在四边形中，，，，，连接、，取和的中点M、N，连接，则的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出为等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”得出，，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴． 【变式1】．如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】利用中位线的性质得到的长，即可求出的长，再由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵为的中点， ∴． 【变式2】．如图，中，，D为上一点，直尺的一边与重合，若点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】由题意可得，再结合直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，， ∴，， ∴， ∵中，， ∴． 【变式3】．在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，延长交于点F． (1)如图1，若E、F重合，求的值； (2)若F为中点． ①如图2，求的度数； ②如图3，延长交于点G，连接并延长交延长线于点H，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据题意设，，则，根据翻折的性质可得，从而得到，即可得解； （2）连接，过点F作于点N，根据直角三角形斜边中线可得，再结合三线合一的性质和翻折的性质，得出，，，证明，得到，再利用三角形内角和定理求解即可； ②过点作于点，结合①所得结论，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理和翻折的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴设，， ∴， ∵由沿翻折得到， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，过点F作于点N， ∵在中，F为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ； ②如图，过点作于点， 由①得，， ， F为中点， ， 是等腰直角三角形， ，， 在中，设，， ，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， 由翻折的性质可得，， 设，则，， 在中，， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 【题型9 矩形的判定定理理解】 解题技巧：区分判定前提：三个直角可直接判定四边形为矩形；对角线相等必须是平行四边形才可判定为矩形，避免缺少前提导致判定错误。 【典例9】．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 【变式1】．如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C． 【变式2】．当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的矩形，判断的依据是___________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形为矩形 【分析】因为闸门抬起变平放时，平行四边形的一个内角变为直角，所以可依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来判断． 【详解】解：∵停车场闸门的结构对边始终平行，本身是平行四边形； ∴闸门放平后，平行四边形出现了一个直角，根据矩形的判定定理，此时该平行四边形成为矩形． 【变式3】．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 解题技巧：已知普通四边形：可添三个直角、对角线相等且互相平分；已知平行四边形：可添一个直角或对角线相等，按需补充最简条件。 【典例10】．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，是对角线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故平行四边形为矩形，故选项A能判定，不符合题意；     ， 故平行四边形为矩形，故选项B能判定，不符合题意； ， 故平行四边形为菱形，故C不能判定，符合题意； ， ， 故平行四边形为矩形，故选项D能判定，不符合题意． 【变式1】．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 【变式2】．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： 四边形 是平行四边形， 若添加条件， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形 是矩形． 故答案为 （答案不唯一）． 【变式3】．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明四边形为平行四边形，进而即可得到答案． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形． 【题型11 证明四边形是矩形】 解题技巧：优先选择简便方法：先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等；直接证三个内角为直角也可，根据题干已知条件灵活选择判定思路。 【典例11】．已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：四边形的对角线、相交且互相平分， 四边形是平行四边形． 选项A，，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项B，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项C，时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定四边形为矩形，符合题意； 选项D，，，平行四边形对角线互相平分，可得，，，可推出平行四边形是矩形，不符合题意． 综上，答案选C． 【变式1】．如图，点M在的边上，连接、．若，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】先证明，得出，根据平行线的性质得出，则，最后根据矩形判定即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为矩形． 【变式2】．如图，在中，点D在上，于点C，过点A作，的平行线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据，，判定四边形是平行四边形，再结合， 得到一个内角为直角，根据 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可得证． （2）利用平分和四边形是矩形，结合求出 的长度，即的长度，由平分和 推出，设，利用勾股定理在中建立方程，求解得到的长度． 【详解】（1）证明：由题意易得，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，， 在中，，， ， ， ， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 【变式3】．如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【题型12 根据矩形的性质与判定求角度】 解题技巧：先判定图形为矩形，再利用矩形直角、等腰三角形、三角形内角和等性质，综合推导角度，先定性再定量，解题逻辑更清晰。 【典例12】．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式1】．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则____________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形，矩形的判定与性质，轴对称，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，且，连接，由，推导出，即与关于对称，可得，在直角三角形内根据面积公式可求得，同时根据已有的边与直角可推导出四边形是矩形，继而证明，，则，即可解答． 【详解】解：过点作，且，连接，如图 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即与关于对称， ∴， ∵， ∴F，E，共线，且， 在中，， ∴， ∵，， ， ∴四边形是矩形，且D，C，F共线， ∴，即，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 【变式3】．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 【题型13 根据矩形的性质与判定求线段长】 解题技巧：先判定矩形得到边角、对角线等量关系，再结合勾股定理、中线定理、全等三角形，转化线段，求解未知线段长度。 【典例13】．如图，是等腰直角三角形，点D是斜边上一点，于点E，于点F，，M是的中点，则最小值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使最小，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：连接． ，， ； 又， 四边形是矩形， ， ∵M是的中点， ∴M也是的中点， ∴， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， ， ， ． 线段长的最小值为，即最小值是． 【变式1】．如图，矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，点是延长线上一点，连接交于点，若，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，过点作交的延长线于点，设，先证明，然后证明，再证明，最后通过矩形的性质以及对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，过点作交的延长线于点，设 ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形，， ∴， ∵翻折， ∴，，， ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， 解得 ∴的长为． 【变式2】．如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，如果，，求的长 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再证明．则．即可证明四边形是平行四边形； （2）证明是直角三角形，，可证明四边形是矩形，求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， ． ． 四边形是平行四边形． （2）解： ， ． 是直角三角形，． 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 【变式3】．如图，四边形的对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接、、，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，若点是边上的动点（不与、重合），连接，过点作于点．令的面积为，的面积为，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）由与等高，求得，在中，，则，由勾股定理列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵，且与等高， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得（负值已舍去）， 答：的长为． 【题型14 根据矩形的性质与判定求面积】 解题技巧：先通过判定确定矩形，再利用性质求出邻边边长，代入面积公式计算；不规则组合图形可拆分、补形后利用矩形面积求解。 【典例14】．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 【变式1】．如图，李大爷有一块四边形的菜地，已知，，，，，则这块四边形菜地的面积为________． 【答案】 【分析】过C作于H，先证明四边形是矩形得到，，再证明是等腰直角三角形得到，进而利用矩形和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过C作于H，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，又，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴这块四边形菜地的面积为． 【变式2】．如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 【变式3】．如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为__________； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________． 【答案】 12 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 05 过关•检测 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点O， ∴， 由矩形的性质不能得到，，． 2．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得出，再由角平分线得出是等腰直角三角形，得出，证明是等边三角形，得出，，得出，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ . ∵ 平分， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ． 3．如图，矩形的对角线，相交于点，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据矩形的性质，可得；再根据和，即可判断为等边三角形；根据等边三角形的性质，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交y轴于点E，则轴．即有，则A点的横坐标为3；根据轴，可得A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，进一步问题得解． 【详解】解：延长交y轴于点E，则轴．    ∵，， ∴， ∴A点的横坐标为3； ∵轴，， ∴A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，为3， ∴B点的坐标为． 5．如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为（      ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先连接，利用证明，根据全等三角形的性质可知，，根据勾股定理可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 在中，，为的中点， ，，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 在中，． 6．如图．在矩形中，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且与交于F，则下列结论①②③④若，则，正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，逐一分析各个结论的正确性，再结合选项选择正确答案即可． 【详解】解：在矩形中，， ∵矩形沿翻折， ∴， ∴， ∴，故①正确； 结论②中未给出任何关于角度的特殊条件，无法通过已知条件推导出， ∴②不一定成立，无特殊条件支持，故②错误； ∵矩形沿翻折， ∴， ∴，， 在矩形中，，， ∴，， 在和中， ， ∴，故③正确； 设，则， 由③可知，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④． 7．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 8．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 【答案】C 【分析】①根据得，再根据得，由此可对结论①进行判断： ②根据平行四边形性质得，再根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③过点作于点，根据，得，进而证明得，同理证明得，由此可对结论③进行判断． 【详解】解：①如图1所示： 在矩形中，，则， 在中，，则， ，故结论①正确； ②∵四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ，故结论②不正确； ③过点作于点，如图2所示： ， ∵，， 又， ， 在矩形中，， ， 在和中， ， ， ， 同理，在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 9．如图，在矩形中，与交于点，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．连接，，则的度数为______． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是能够熟练运用以上知识点． 先利用矩形性质证明是等边三角形，得到，，再根据作图得到是等腰直角三角形，从而得到，，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径作弧，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】根据矩形对角线相等而且互相平分可得，推出，由求出，再根据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 11．如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作交于点，延长使得，连接，先证明，得到为等腰直角三角形，，再证明，得到，，那么，可推出三点共线时，取得最小值，最小值为，接着证明，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，延长使得，连接， ∵四边形是矩形，点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为， 如下图所示，三点共线，此时在轴上： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 【答案】25 【分析】根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的两边分别平行坐标轴， ∴轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是． 13．如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若点是的中点，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了作图——作角平分线，矩形的性质，建立平面直角坐标系等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，由矩形性质可知，，由作图可知，，，则有，则，，，然后根据中点坐标，两点间的距离即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图可知，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵若点是的中点， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为_______________． 【答案】或5 【分析】分两种情况进行讨论，①，可得点落在对角线上，然后结合折叠的性质对运用勾股定理建立方程求解；②，可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①，如图所示．连接， ∵矩形 ∴， 在中，，， ∴， ∵沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴ ∴点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处， ∴，， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴； ②当， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当为直角三角形时，的长为或5． 15．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，其中，，，是最接近的整数，是16的算术平方根，若将沿矩形对角线所在直线翻折，点落在点处，与边相交于点． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求点的坐标． 【答案】(1)； (2)10； (3)． 【分析】（1）利用算术平方根求出m，n，从而确定出点B， D的坐标，从而表示出边长，利用勾股定理计算的长； （2）由折叠和矩形的性质可判断，进而在中利用勾股定理列出方程求解即可； （3）过点E作的垂线，根据直角三角形的面积的两种计算得到，求出，进而求出即可得到点E坐标． 【详解】（1）∵m是最接近的整数，且， ∴， ， ∴  ，， 四边形是矩形， ，， 在中，； （2）由折叠可知，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 设， 则， 知， 在中，， ， 解得， ； （3）如解图，过作于点H，交于点G， 由（2）知，，， 在中， ， 在中，， ∴， ， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题考查图形与坐标，主要考查了无理数的估值，算术平方根，勾股定理，折叠的性质，三角形的全等，通过三角形面积关系求解是解本题的关键． 16．如图，四边形中，，，，．将四边形折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D落在F处． (1)求证：四边形是矩形． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补和三个内角为直角的四边形是矩形即可证得结论； （2）根据矩形的性质和勾股定理先求得，然后根据折叠的性质：对应边相等和对应角相等，利用勾股定理在中建立方程即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：在矩形中，，， ，， ， 根据折叠可得，，， ，， 设，则，， 在中，， ， 解得， ． 17．如图1，在中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知． (1)平行四边形是否为矩形？请说明理由； (2)求证：； (3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置． 【答案】(1)平行四边形是矩形，理由见详解 (2)见详解 (3)点的位置不变，点是的中点，理由见详解 【分析】（1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定； （2）设，根据等边对等角，三角形内角和定理得到，由此即可求解； （3）根据题意可得，结合（2）得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点的位置不变，点是的中点，理由如下， 将绕点顺时针旋转适当的角度，得到， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，即点的位置不变． 18．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，动点的运动时间为，则当t为何值时，四边形是矩形？ 【答案】时，四边形是矩形 【分析】首先表示出，，然后根据矩形的性质得到，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得：． 即当时，四边形是矩形． 19．【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】 如图1，小明沿（点在上，点在上）折叠纸片，点落在矩形的边上，连接． 【任务1】 (1)①四边形形状是________； ②调整折痕的位置，当的面积最大时，_________； 【探究2】 如图2，小丽沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，点落在上． 【任务2】 (2)求的长； 【探究3】 小亮沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，射线与射线交于点． 【任务3】 (3)在折叠过程中，当时，__________． 【答案】(1)①菱形；② (2) (3)或 【分析】（1）①由折叠的性质可得到，，，再由矩形的性质证出，即可得到四边形是菱形； ②分析出当点与重合时，最大，再利用勾股定理列式运算即可； （2）利用勾股定理求出的长，设，则，利用折叠的性质和勾股定理列式运算即可； （3）分类讨论的位置，当点在点右边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可；当点在点左边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可； 【详解】（1）解：①∵折叠， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵， ∴当最大时，菱形的面积最大， ∴当点与重合时，最大，如图所示： ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； （2）∵四边形为矩形， ∴ ， 解：在中，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； （3）解：如图1，当点在点右边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ， ∴ ， 设，则， ， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， 解得：； ②如图2，当点在点左边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴ ∴ 设，则，，， 则 ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 综上所述，线段的长为或． 20．在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）延长与交点即为点，通过矩形的性质证明即可； （2）先证明，则，，再由线段的垂直平分线的性质得到，最后在中，运用勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，结合（2）的结论以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）证明：延长交于点，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴； （3）解：当点在点右侧时，如图 ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在矩形中，， ∴ 由（2）可得，， ∴，解得； 当点在点左侧时，如图： 此时，， 同理可得， 由（2）可得，， ∴，解得， 综上：线段的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $