专题04 矩形的性质与判定重难点题型专训（2个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，系统梳理矩形边、角、对角线的性质及三大判定定理，通过即时训练巩固基础，再以9大题型从理解到应用层层递进，结合最值、存在性、折叠问题拓展，构建从基础到拔高的学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型培养几何直观与空间观念（数学眼光），证明与推理题训练逻辑思维（数学思维），坐标系及折叠问题强化模型意识（数学语言）。课中例题辅助教师高效授课，课后拓展与自我检测助力学生查漏补缺，提升综合解题能力。

专题04 矩形的性质与判定重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 矩形的判定定理理解 题型三 添一条件使四边形是矩形 题型四 求矩形在坐标系中的坐标 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 证明四边形是矩形 题型七 根据矩形的性质与判定求角度 题型八 根据矩形的性质与判定求线段长 题型九 根据矩形的性质与判定求面积 拓展训练一 矩形中的最值问题 拓展训练二 矩形中的存在性问题 拓展训练三 矩形中的折叠问题 知识点一：矩形的性质 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【补充】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）矩形的短边长为，长边是短边的倍，则矩形的周长是________． 知识点二：矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）依据图所标数据，则四边形一定是（    ）    A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件_____________使四边形是矩形．（写一个即可）    【经典例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下面性质中，矩形不一定具有的是（   ）． A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直 【例2】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（  ） A． B． C． D．4 1．（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件___________，使．(只填写一个即可) 2．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，点是矩形外一点，连接，过点作分别交，于点，．已知．则的度数为______． 3．（24-25九年级上·全国·期中）在下面所给出的图形中，若连接，则四边形是矩形，四边形是平行四边形． (1)请你在图1中画出两条线段，将整个图形分为两部分（不写画法）； (2)请你在图2中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法． 【经典例题二 矩形的判定定理理解】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东聊城·月考）下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号） 1．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    3．（24-25九年级上·山东青岛·月考）已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 【经典例题三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知的对角线，相交于点，若从下列选项中再添加一个条件，能使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 1．（25-26八年级下·山西太原·月考）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【经典例题四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是____． 1．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若点是的中点，，，则______． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【经典例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（　　） A．1 B． C．2 D． 【例2】 （2025·山东青岛·三模）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到，若，则的周长为______ ． 1．（2025·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，、是对角线上两点，，连接、，图中全等三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的序号是______．    3．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平行四边形中，． (1)用尺规完成以下基本作图：过点B作的垂线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，连接，．求证：四边形为平行四边形，并完成下列证明过程． 证明：四边形为平行四边形， ，， ____①____． ，， ． 在和中，， ． ____②____． ，， ． ____③____． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为____④____． 【经典例题六 证明四边形是矩形】 【例1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在中，为边的中点，为上的点，连接，，． 嘉嘉：当时，若，则四边形为矩形 淇淇：当时，若，则点为中点对于他俩的说法，正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．都正确 D．都不正确 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）下图是四根木棒搭成的平行四边形框架，，，使固定，转动，当______时，的面积最大，此时是______形，面积为______． 1．（24-25九年级上·河北保定·月考）如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是（    ） A．四边形由平行四边形变成矩形 B．点B，D之间的距离不变 C．四边形的面积变大 D．四边形的周长不变 2．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，为了检查平行四边形书架是否为矩形，工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架就是矩形，请你说出其中的数学原理___． 3．（2025九年级·湖北·专题练习）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【经典例题七 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【例2】（24-25八年级下·吉林通化·期末）如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形． 3．（24-25八年级上·全国·期中）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四边形是长方形，F是延长线上一点，连接与相交于点E，G是上一点，．试证明：． 【经典例题八 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 1．（25-26八年级下·辽宁辽阳·月考）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为 _______m． 3．（25-26八年级下·吉林松原·月考）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点处向围墙上的点处拉彩旗．已知点和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【经典例题九 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【例2】 （24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为_______． 1．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（24-25八年级下·浙江湖州·月考）小丽在一次拼图游戏时，先用图形①②③④拼出矩形，又用图形①②③⑤拼出矩形，图形④⑤都是矩形，且 ，记图形④的面积为 ，图形⑤的面积为. 若 ，则 的值是______． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【拓展训练一 矩形中的最值问题】 【例1】（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（    ） A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值 【例2】（2025·海南·模拟预测）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为_________，CF的最大值为_________． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在 中，两顶点在轴、轴上滑动，点在第一象限内，连接，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川内江·月考）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为________； 3．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，求线段长的最小值． 【拓展训练二 矩形中的存在性问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（）的长直角边与含45°角的三角尺（）的斜边恰好重合．点E，F分别是边，上的动点，各自同时从点A，点B向终点C运动，已知点E的速度为1单位/秒，若存在某个时刻四边形为平行四边形，则点F的速度为（    ）单位/秒． A．1 B． C． D．2 【例2】（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图，在四边形中，，点P是的中点，如果，且，边上存在一点Q，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，那么的长为________． 1．（24-25八年级下·贵州·月考）如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，．点E从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点F从点C出发，以每秒的速度沿线段方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t． (1)当E运动到B点时，求出t的值； (2)在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图①，在矩形 纸片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向平移得到（如图），直线与交于点，直线与交于点．设． (1)在图①中，的度数为_____；边的长为______； (2)若点在线段上，四边形的形状是______； (3)若点在射线上，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是正方形？ (4)已知存在值，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的值． 【拓展训练三 矩形中的折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 【例2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知矩形纸片中，，将它沿折叠，如图，使点B与点D重合．当折叠后纸片重叠部分（即图中阴影部分）的面积占矩形纸片面积的时，则BC的长为___________． 1．（2026年河北省初中学业水平模拟数学（解密二））如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸片先沿折叠，点A，B分别落在点、处，将得到的图形再沿折叠，点、分别落在点、处．若，则的度数为__________． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． A基础训练 1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26八年级下·广西河池·开学考试）如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期中）证明：矩形的对角线相等． 已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．    证明：四边形是矩形，，______． 又，，． 则“______”在处应该补充的证明过程是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为边上一动点．过点P分别作于点于点为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．4.8 B．4 C．3 D．2.4 B 提高训练 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形各角的平分线分别相交于点．若，则四边形是________形． 7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________． 8．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______． 9．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，在中，于点于点为的中点，，则的周长为____________．    10．（2025·广东·模拟预测）中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． C 培优训练 11．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，点E是边的中点，点F是边上一点，将四边形纸片沿折叠，使点A落在边上的点处，连接．若，求证：． 12．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是的边的中点，现有以下三个选项：①；②；③．从中选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图的网格中，每个小正方形的边长均为．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画的最后结果中的线用实线表示）． (1)请在图中画出线段的中点． (2)请把图中的四边形改成一个以为底边，面积不变的梯形． 14．（24-25八年级下·河北张家口·期末）情景： 现有一张锐角三角形纸片（如图1所示），，．嘉嘉经过一刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的平行四边形（如图2所示）． 发现： 如图2，________，________； 操作： 将图1的三角形纸片经过两刀裁剪，拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形，且使矩形的一条边落到上（可以与重合）． 探究： 通过计算确定矩形的周长． 15．（2025九年级·陕西·专题练习）问题探究 （1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； （2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分． 问题解决 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 矩形的性质与判定重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 矩形的判定定理理解 题型三 添一条件使四边形是矩形 题型四 求矩形在坐标系中的坐标 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 证明四边形是矩形 题型七 根据矩形的性质与判定求角度 题型八 根据矩形的性质与判定求线段长 题型九 根据矩形的性质与判定求面积 拓展训练一 矩形中的最值问题 拓展训练二 矩形中的存在性问题 拓展训练三 矩形中的折叠问题 知识点一：矩形的性质 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 【补充】 1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质：矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：根据矩形的性质可知，矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，但矩形的邻边不一定相等， 故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意， 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）矩形的短边长为，长边是短边的倍，则矩形的周长是________． 【答案】 【分析】矩形的短边长为，长边是短边的倍，可得长边为，即可计算周长． 【详解】解：∵矩形的短边长为，长边是短边的倍， ∴矩形的较长边长为， ∴矩形的周长 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和周长，掌握矩形的性质是解题关键． 知识点二：矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）依据图所标数据，则四边形一定是（    ）    A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形 【答案】B 【分析】根据已知得线段、相等且平分，即可判断出为矩形． 【详解】解： ∵线段、相等且平分， ∴四边形为矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，掌握对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件_____________使四边形是矩形．（写一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件即可． 【详解】解：添加条件， 理由是：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 【经典例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下面性质中，矩形不一定具有的是（   ）． A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线平分、相等，故A正确，不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，故B正确，不符合题意； C、矩形是轴对称图形，故C正确，不符合题意； D、矩形对角线相等，不一定互相垂直，故D错误，符合题意． 故选D． 【例2】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（  ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质，连接，根据矩形的性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求得，再由，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵直线垂直平分， ∴， 再中，， ∵， ∴在中，， 故选：A． 1．（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件___________，使．(只填写一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要查了矩形的性质，全等三角形的判定．根据矩形的性质可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：添加， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 2．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，点是矩形外一点，连接，过点作分别交，于点，．已知．则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形的性质推出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算即可．解题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·期中）在下面所给出的图形中，若连接，则四边形是矩形，四边形是平行四边形． (1)请你在图1中画出两条线段，将整个图形分为两部分（不写画法）； (2)请你在图2中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，画法见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质； （1）如图1，分别连接，，的中点，得到线段，，则线段，将整个图形分为两部分； （2）根据矩形和平行四边形的性质可知，过矩形的对角线交点和平行四边形的对角线交点的线段即可将整个图形分为两部分． 【详解】（1）解：如图1， （2） 解： 如图2，过矩形的对称中心和平行四边形的对称中心画线段，交于点M，交于点N，则线段为所求． 【经典例题二 矩形的判定定理理解】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 【例2】（24-25八年级下·山东聊城·月考）下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号） 【答案】（2）（4）（5）（8） 【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确 ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确； ∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确； 故答案为：（2）（4）（5）（8）． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的对角线相等，且互相平分，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形有三个， 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    【答案】45° 【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质，可得∠A=90°，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵当四边形是矩形时，∠A=90°， 又∵， ∴∠C= ． 故答案是：45°． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山东青岛·月考）已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图--复杂作图，矩形的判定，尺规作垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据要求作出图形即可． 【详解】解：如图，矩形即为所求， 【经典例题三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知的对角线，相交于点，若从下列选项中再添加一个条件，能使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定． 根据证明平行四边形是矩形的条件作答即可． 【详解】A：是平行四边形固有性质，不能判定为矩形； B：是平行四边形固有性质，不能判定为矩形； C：不是矩形固有性质，不能判定为矩形； D：，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形； 故选：D． 【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 1．（25-26八年级下·山西太原·月考）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平行四边形中，证出有一个直角或对角线相等，即可判定为矩形，据此对选项进行判断． 【详解】解：选项：，无法推出或有直角，故无法证明平行四边形是矩形； 选项：，对角线相等，可证平行四边形是矩形； 选项：，则，可证平行四边形是矩形； 选项：由，则，又，，则，可证平行四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由三角形中位线定理得，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下： ∵分别是和边的中点， ∴都是△ABC的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）选一个条件即可； （2）先由平行四边形的性质得到，证明，得到，根据平行线的性质得到，即，即可证明为矩形． 【详解】（1）解：添加的条件是①， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ． 又， ， 为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【经典例题四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是____． 【答案】（，） 【分析】由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝90°， ∵AC∥x轴， ∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°， ∵AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴OA＝OC＝3， ∴OD＝OA＝， ∴AD＝OD＝， ∴点A的坐标是（，）； 故答案为：（，）． 【点睛】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键． 1．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10， ∵D为OA的中点， ∴OD=AD=5， ①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上， ∴点P的坐标为：（2.5，4）； ②当OP=OD时，如图1所示： 则OP=OD=5， ∴点P的坐标为：（3，4）； ③当DP=DO时，作PE⊥OA于E， 则∠PED=90°，； 分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示： OE=5-3=2， ∴点P的坐标为：（2，4）； 当E在D的右侧时，如图3所示： OE=5+3=8， ∴点P的坐标为：（8，4）； 综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）； 故选：D 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若点是的中点，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了作图——作角平分线，矩形的性质，建立平面直角坐标系等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，由矩形性质可知，，由作图可知，，，则有，则，，，然后根据中点坐标，两点间的距离即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图可知，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵若点是的中点， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 【经典例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过同角的余角相等找到全等三角形的对应角，进而证明三角形全等． 利用矩形性质得到及由推出结合证明得到、通过周长关系列方程求出的长，进而计算的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 矩形的周长为， ∴即． ∵ ∴， ∴ ， 又∵在中，， ∴(同角的余角相等)． 在和中， ∴． ∴． ∵ ∴． 设则 ∵且 ∴． 又∵ ∴ 解得 ∴， ∴， 故选：A． 【例2】 （2025·山东青岛·三模）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到，若，则的周长为______ ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．第一次翻折可得，，，第二次折叠，可求，，由，可求，则，再求的周长即可． 【详解】解：第一次折叠，如图， 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质， ， ， ， 第二次折叠，如图， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长． 故答案为：． 1．（2025·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，、是对角线上两点，，连接、，图中全等三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定，根据三角形全等的判定定理可判断出共3对 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴，即 在和中， ∴ ∵ ∴； ∵， ∴ ∴ 又 ∴， 所以，图中全等三角形共有3对， 故选：B 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的序号是______．    【答案】①③④⑤ 【分析】由矩形，是的平分线，可得是等腰直角三角形，由勾股定理得，由，可得，证明，则，可判断①的正误；由等边对等角，三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线等可得，，，，进而可判断⑤、③的正误；由不是等边三角形，可得，即，进而可判断②的正误；由，，可得，进而可判断④的正误． 【详解】解：∵矩形，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴，，，①正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，⑤正确，故符合要求； ∵，，， ∴， ∴，，③正确，故符合要求； ∵不是等边三角形， ∴， ∴，②错误，故不符合要求； ∵，， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平行四边形中，． (1)用尺规完成以下基本作图：过点B作的垂线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，连接，．求证：四边形为平行四边形，并完成下列证明过程． 证明：四边形为平行四边形， ，， ____①____． ，， ． 在和中，， ． ____②____． ，， ． ____③____． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为____④____． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④平行四边形； 【分析】（1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的作法作图即可； （2）先利用平行四边形的性质证明，，再证明，得出，再证明，即可证明四边形为平行四边形；同理得出结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中，， ． ． ，， ． ． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为平行四边形． 理由如下：如图，四边形是矩形，于点，于点， 四边形为矩形， ，， ． ，， ． 在和中，， ． ． ，， ． ． 四边形为平行四边形． 【经典例题六 证明四边形是矩形】 【例1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在中，为边的中点，为上的点，连接，，． 嘉嘉：当时，若，则四边形为矩形 淇淇：当时，若，则点为中点对于他俩的说法，正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．都正确 D．都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，根据嘉嘉的说法：当时，可判定四边形为平行四边形，根据，易证是等腰三角形，结合点为边的中点，可得，即可证明四边形为矩形；根据淇淇的说法：当时，利用平行四边形的性质可得，，即可求出，进而求出，再根据，推出，推出，得到，即可推出，从而得出结论． 【详解】解：∵在中，， 当时， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为边的中点， ∴（三线合一）， ∴， ∴四边形为矩形，故嘉嘉说法正确； ∵在中，， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即点为中点，故淇淇说法正确； ∴两人的说法都正确． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）下图是四根木棒搭成的平行四边形框架，，，使固定，转动，当______时，的面积最大，此时是______形，面积为______． 【答案】 /90度 矩 /48平方厘米 【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】如图，过作于点， 根据题意可得：的面积为， ∵不变， ∴当时，面积最大， ∴， ∴是矩形， ∴面积为， 故答案为：，矩，． 1．（24-25九年级上·河北保定·月考）如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是（    ） A．四边形由平行四边形变成矩形 B．点B，D之间的距离不变 C．四边形的面积变大 D．四边形的周长不变 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性；根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、根据根据有一个角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意， B、向右推动框架，点B，D之间的距离变大，该选项不正确，符合题意， C、四边形的高变大，面积变大，该选项正确，不符合题意， D、四边形的周长不变，该选项正确，不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，为了检查平行四边形书架是否为矩形，工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架就是矩形，请你说出其中的数学原理___． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形），解题的关键是明确已知图形为平行四边形，再结合对角线相等的条件，匹配对应的矩形判定定理． 先确定书架是平行四边形，工人师傅测量得其对角线与长度相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理，即可判断该平行四边形书架为矩形，由此得出所用的数学原理． 【详解】解：已知书架是平行四边形，工人师傅通过测量发现其对角线；   根据矩形的判定定理，当平行四边形的对角线相等时，该平行四边形为矩形；   因此，所用的数学原理是“对角线相等的平行四边形是矩形”．   故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 3．（2025九年级·湖北·专题练习）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)四边形是矩形，理由见详解 【分析】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，解决本题的关键是得到是的中点． （1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解； （2）根据翻折的性质和矩形性质证明，，所以，得F是的中点，证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点是的中点， ， 沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ， ，则是等腰三角形， ， ，即， ， 的度数为． （2）四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， 由翻折可知：， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【经典例题七 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【例2】（24-25八年级下·吉林通化·期末）如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形． 【答案】6或4 【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°． ①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC， ∴∠B′EC=90°， 由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°， 在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC， ∴BE=CE=BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2， ∴AE=AB=，BE==3， ∴BC=2BE=6； ②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O， ∵AD∥BC， ∴∠OAC=∠ACB， 由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C， ∴∠OAC=∠ACO， ∴OA=OC，又AD=BC=B′C， ∴OD=OB′ ∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°． ∵∠ADC=∠B=∠AB′C， ∴∠CDB′=∠AB′D=90°， ∴CD∥AB′，又CD =AB′， ∴四边形AB′DC是矩形， ∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°， 在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=， ∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2， 解得：BC=4， 综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：6或4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识间的联系与运用是解答的关键． 3．（24-25八年级上·全国·期中）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四边形是长方形，F是延长线上一点，连接与相交于点E，G是上一点，．试证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行线的性质及三角形外角定理的推论，综合性较强． 由四边形是长方形，得，可得，最后可求证. 【详解】证明：∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴由题意得， ∴， ∴， ∴ . 【经典例题八 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可知，根据等腰直角三角形的性质可知，由折叠的性质推出，，设，由勾股定理可知，列出方程即可求出，根据即可求出结果． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 设， 则， ， 解得 ， ． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 1．（25-26八年级下·辽宁辽阳·月考）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为 _______m． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，米，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：16． 3．（25-26八年级下·吉林松原·月考）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点处向围墙上的点处拉彩旗．已知点和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】过点B作于点E，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过点B作于点E， 根据题意得，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 答：至少需要长的彩旗带． 【经典例题九 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 如图所示，过点P作，首先得到，证明出四边形，，，是矩形，得到，然后根据矩形的性质推出，，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵四边形是矩形，是对角线 ∴ ∵， ∴四边形，，，是矩形 ∴ ∴， ∴ ∵，分别是矩形和的对角线 ∴， ∴ ∴阴影部分的面积的和为． 故选：C． 【例2】 （24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 【详解】解：如图，连接交于G，交于H， 平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ． ∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积 ， 故答案为： 1．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质以及得出四边形是矩形，进而根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·月考）小丽在一次拼图游戏时，先用图形①②③④拼出矩形，又用图形①②③⑤拼出矩形，图形④⑤都是矩形，且 ，记图形④的面积为 ，图形⑤的面积为. 若 ，则 的值是______． 【答案】35 【分析】本题考查面积代换，矩形的性质和应用，熟练掌握面积之间的关系是解题的关键；根据图形分析面积的关系，结合矩形的性质即可得解． 【详解】解：如下图： 在矩形中，， ， 在矩形中，， ， 由图形①②③，可知， ，，， ， ， ， 则④和⑤的宽相等， 设， ， ， 即， 设，则， 可知， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证得，再根据可得四边形为平行四边形，然后由得，进而得，再由得，据此可得出结论； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，证明四边形为矩形得，然后表示，，可得，，的等量关系． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，如下图所示： 证明四边形为矩形得， ∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形 ∴， ∵，，， ∴， 即． 【拓展训练一 矩形中的最值问题】 【例1】（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（    ） A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值 【答案】D 【分析】连接，过点作，利用，即可得解． 【详解】解：连接，过点作，交于点， ∵在矩形中，，， ∴， ∵ 即：， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质和勾股定理以及等积法求线段．熟练掌握矩形的性质，以及等积法求线段的长度是解题的关键． 【例2】（2025·海南·模拟预测）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为_________，CF的最大值为_________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在 中，两顶点在轴、轴上滑动，点在第一象限内，连接，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AB中点P，连接OP、CP，根据直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理求出PC，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图，取AB中点P，连接OP、CP， 则OP=AP=AB=4， 由勾股定理得，CP==5， 利用三角形两边之和大于点三边可知：OC≤OP+PC=9，OC的长的最大值为9， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质、正确作出辅助线是解决问题的关键． 2．（24-25八年级下·四川内江·月考）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为________； 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判定出当、、三点共线时，最长是解题的关键．取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质求出的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得，判定当、、三点共线时，最长，然后求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ，点为的中点， ， 等边三角形的边长为2，为中线， ， ， 在中，， 当、、三点共线时，最长，最大值为， 的最大值为：， 故答案为： 3．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，求线段长的最小值． 【答案】的最小值为． 【分析】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识．作于点G，连接，可证明四边形是矩形，所以，则，，，求得，由，求得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点G，连接， ∵四边形是矩形，于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【拓展训练二 矩形中的存在性问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（）的长直角边与含45°角的三角尺（）的斜边恰好重合．点E，F分别是边，上的动点，各自同时从点A，点B向终点C运动，已知点E的速度为1单位/秒，若存在某个时刻四边形为平行四边形，则点F的速度为（    ）单位/秒． A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质可得∠DEC＝∠ACB＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AE＝CE＝DE，设AC=2a，根据平行四边形的性质可求得BF＝DE=a，根据AE求出E点的运动时间，即F点的运动时间，最后求出点F的运动速度． 【详解】解：由题意得，当四边形DEBF为平行四边形时，， ∴∠DEC＝∠ACB＝90°， ∵AD＝CD，∠ADC=90°， ∴AE＝CE＝DE， 设AC=2a，则， ∵四边形DEBF为平行四边形， ∴BF＝DE=a， ∵点E运动时间为：， ∴点F的运动时间为a， ∴点F的速度为（单位/秒），故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，根据等腰直角三角形的性质，证明DE＝CE＝AE，是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图，在四边形中，，点P是的中点，如果，且，边上存在一点Q，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，那么的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角；在上截取，连接，先证明，，设，，根据题意得出则，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵在四边形中，， ∴，， ∵， ∴ ∴     ∵是的中点， ∴， 在中， ∴， ∴ 在中， ∴， ∴， 设，， 则四边形的面积为 ∵所在直线将四边形的面积分成相等的两部分， ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·贵州·月考）如图，在矩形中，E是上的点，点F在对角线上，． (1)如图①，若点F为中点，连接，写一个与相等的角______； (2)如图②，若点E为中点，连接，若．判断线段与线段的关系，并说明理由； (3)若，是否存在点F，使得最小，若存在，画出点F的位置，并求其最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（或） (2)且；理由见解析 (3)存在；画图见解析；最小值为3 【分析】（1）根据矩形的性质，得出，根据平行线的性质得出；根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据，得出； （3）作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，根据轴对称可知，，，得出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出此时最小，即最小，再求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴； ∵在中，点F为中点， ∴， ∴； ∴与相等的角为或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴． （3）解：作点B关于的对称点，过点作于点E，交于点F，交于点G，如图所示： 根据轴对称可知：，，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，．点E从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点F从点C出发，以每秒的速度沿线段方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t． (1)当E运动到B点时，求出t的值； (2)在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值是秒 (2)存在，t的值是秒 【分析】（1）根据题意得出方程，求出方程的解即可； （2）画出符合条件的两种情况，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 即当E运动到B点时，t的值是秒； （2）解：当时，如图1，过E作于，则， 由勾股定理得：， 解得：； 当时，如图2， 由勾股定理得：， 此方程无解； 即在点E、点F的运动过程中，存在某一时刻，使得，此时t的值是秒． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，能得出关于t的方程是解此题的关键，注意：矩形的对边相等，矩形的每一个角都是直角． 3．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图①，在矩形 纸片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向平移得到（如图），直线与交于点，直线与交于点．设． (1)在图①中，的度数为_____；边的长为______； (2)若点在线段上，四边形的形状是______； (3)若点在射线上，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是正方形？ (4)已知存在值，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)，； (2)矩形； (3)当或时，以、、、为顶点的四边形是正方形； (4)或． 【分析】（1）利用矩形的性质可求得，利用含直角三角形的性质结合勾股定理即可求得边的长； （2）由平移的性质得，推出，得到四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用，列式计算即可求解； （4）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，再利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：矩形中， 又， ， 矩形中，， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：由平移的性质得， 四边形为矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 故答案为：矩形； （3）解：当点在线段上时， ， ， 四边形是正方形， ， 即， ； 当点在线段的延长线上时， ， ， 四边形是正方形， ， 即 ； 综上所述，当为或时，以、、、为顶点的四边形是正方形； （4）解：存在，理由如下： 当点在线段上时， ， ， 由平移的性质知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ； 当点在线段的延长线上时， ， ， 由平移的性质可知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ， 综上所述，当为或时，以、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查的知识点是含直角三角形特征、平移的性质、直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的性质，正方形性质，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 【拓展训练三 矩形中的折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，所以四边形是正方形，则，而，则，所以，由，且，得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键． 【详解】解：如图①，四边形是矩形， ， 由折叠得， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 如图②，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， ， 解得， ， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知矩形纸片中，，将它沿折叠，如图，使点B与点D重合．当折叠后纸片重叠部分（即图中阴影部分）的面积占矩形纸片面积的时，则BC的长为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，根据面积关系和勾股定理得出方程组是解决问题的关键． 由折叠的性质证得、、，假设、，则，面积关系和勾股定理得出方程组，解方程组即可． 【详解】解：由折叠的性质得： 、、 设、，则 根据题意得： 解得： 即的长为8． 故答案为：8． 1．（2026年河北省初中学业水平模拟数学（解密二））如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】本题先通过矩形性质与折叠性质，过点作交于点，利用平行线性质推出，结合，得到，证明结论Ⅰ正确；再结合折叠后角相等、平分及平行线内错角相等的性质，推导出，根据平角为列出方程，解得，证明结论Ⅱ正确，最终得出两个结论均成立． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵矩形，， ∴折叠后， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，结论Ⅰ正确； ∵矩形，， ∴折叠后，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，结论Ⅱ正确； 综上，结论Ⅰ和Ⅱ都对． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸片先沿折叠，点A，B分别落在点、处，将得到的图形再沿折叠，点、分别落在点、处．若，则的度数为__________． 【答案】/155度 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题、折叠的性质、平行线的性质等知识点，根据题意、弄清角之间的关系是解题的关键． 根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得：，再根据平行线的性质，可得，即可求得的值，最后根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由沿折叠可知：， ∴， 由沿折叠可知：， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． A基础训练 1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理，掌握由平行四边形证明矩形的方法是解题关键． 根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，逐项判断即可． 【详解】解：在平行四边形中， 当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误； 当，则平行四边形是菱形，不一定是矩形，故错误； 当，这是平行四边形固有的性质，不能作为判定矩形的额外依据，故错误； 当，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故正确． 故选：． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ． 3．（25-26八年级下·广西河池·开学考试）如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： ∵是折痕， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期中）证明：矩形的对角线相等． 已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．    证明：四边形是矩形，，______． 又，，． 则“______”在处应该补充的证明过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目中的解答过程和可以证明，即可写出需要添加的条件． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 则在“______”处应该补充的证明过程是， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为边上一动点．过点P分别作于点于点为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．4.8 B．4 C．3 D．2.4 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键． 根据矩形的性质就可以得出，互相平分，且，根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可． 【详解】解：， ， 四边形为矩形． 为矩形对角线的中点， 延长应过点P，如图所示， ． 由勾股定理，得． 当为斜边上的高，即时，有最小值，则也有最小值． 此时， ， 的最小值是2.4． 故选：D． B 提高训练 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四边形各角的平分线分别相交于点．若，则四边形是________形． 【答案】矩 【分析】先利用平行四边形的性质得到角的关系，再结合角平分线的定义求出四边形的内角，根据矩形的判定得出结论． 本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定条件是解题的关键． 【详解】， ， ． 四边形各角的平分线分别相交于点， ， ， ， ， ∴四边形是矩形． 7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意，得，设，则，构造方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 设，则， ， ， 解得， 故． 8．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______． 【答案】 【分析】先由S△PAB=S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即可得到PA+PB的最小值． 【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB=S矩形ABCD， ∴AB•h=AB•AD， ∴h=AD=2， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上， 如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB=6，AE=2+2=4， ∴BE==2， 即PA+PB的最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 9．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，在中，于点于点为的中点，，则的周长为____________．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义解答． 【详解】解：，，为的中点， ， ∵， ， 的周长． 故答案为：． 10．（2025·广东·模拟预测）中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 【答案】 【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． C 培优训练 11．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，点E是边的中点，点F是边上一点，将四边形纸片沿折叠，使点A落在边上的点处，连接．若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据矩形的性质可得，，，根据折叠可得，，，，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形进一步证得是等边三角形，根据三个角都是的三角形是等边三角形证得是等边三角形，可得，再根据证即可 【详解】证明：在矩形中， ，，， 根据折叠，可得，，，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（HL）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 12．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是的边的中点，现有以下三个选项：①；②；③．从中选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①或②（选一项即可） (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，由矩形的性质和全等三角形的判定证得，并熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键． （1）根据矩形的判定定理选择条件即可； （2）选择①：过点作的平行线，交于点，过点作的垂线段交于点，证明，进而即可得到结论； 选择②：根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：①或②（选一项即可）； （2）选择①：证明：如图，过点作的平行线，交于点，过点作的垂线段交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 是的边的中点， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， ， 为矩形； 选择②：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 为矩形． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图的网格中，每个小正方形的边长均为．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画的最后结果中的线用实线表示）． (1)请在图中画出线段的中点． (2)请把图中的四边形改成一个以为底边，面积不变的梯形． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析．（答案不唯一） 【分析】（）取格点，连接，与相交于点，由矩形的性质可得点为的中点； （）利用割补法可得，利用矩形的性质取点，再取格点，可得，根据梯形的面积计算公式解得，即四边形即为所求； 本题考查了矩形的性质，梯形的面积，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 14．（24-25八年级下·河北张家口·期末）情景： 现有一张锐角三角形纸片（如图1所示），，．嘉嘉经过一刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的平行四边形（如图2所示）． 发现： 如图2，________，________； 操作： 将图1的三角形纸片经过两刀裁剪，拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形，且使矩形的一条边落到上（可以与重合）． 探究： 通过计算确定矩形的周长． 【答案】发现：4，24；操作：见解析；探究：或 【分析】本题考查了矩形的性质和判定定理，三角形面积公式，正确理解裁剪拼接过程是解题关键． 发现：根据裁剪过程图形的面积不变，即可求解； 操作：方案一：先取边的中点D，Q，沿的方向剪，然后再点D沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形；方案二：先取边的中点P，Q，沿的方向剪，然后再的中线的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形；方案三：分别在边的中点P，Q，沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形； 探究：根据矩形的性质以及平行线间的距离解答即可． 【详解】解：发现：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴点A与点C，点D与点F，点E与点E是对应顶点， ∴， ； 故答案为：4；24 操作：如图所示 方案一：先取边的中点D，Q，沿的方向剪，然后再点D沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形； 方案二：先取边的中点P，Q，沿的方向剪，然后再的中线的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形； 方案三：分别在边的中点P，Q，沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形， 如图，方案一：过点A作于点M，交于点N，设交于点P， ∵，， ∴， ∴， 由发现得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 此时方案一：矩形的周长为； 同理方案二：矩形的周长为； 方案三：由操作方法得：， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 过点A作于点M，则， ∴矩形的周长． 综上所述，矩形的周长为或． 15．（2025九年级·陕西·专题练习）问题探究 （1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； （2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分． 问题解决 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由 【答案】问题探究（1）见解析；（2）见解析；  问题解决：存在，y= 【分析】（1）矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分． （2）连接AC，BD中心点位P，过P点的直线分矩形为相等的两部分． （3）假如存在，过点D的直线只要作DA⊥OB与点A，求出P点的坐标，设直线PH的表达式为y=kx+b，解出点H的坐标，求出斜率k和b．若k和b存在，直线就存在． 【详解】解：（1）如图① （2）如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求． （3）    如图③存在直线l 过点D的直线只要作 DA⊥OB与点A 则点P(4，2)为矩形ABCD的对称中心， ∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可． 易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分． 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积 即直线 PH为所求直线l 设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4，2)， ∴2=4k+b 即b=2-4k ∴y=kx+2-4k ∵直线OD的表达式为y=2x ∴ ，解得 ∴点H的坐标为（ ） ∴PH与线段AD的交点F（2，2-2k） ∴0＜2-2k＜4 ∴-1＜k＜1 ∴S△DHF= ∴解之得．（舍去） ∴b=8- ∴直线l的表达式为y=． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，前两问还是比较容易，但是最后一问比较麻烦，容易出错，做的时候要认真． 学科网（北京）股份有限公司 $