21.3.2 菱形（思维导图+4知识点+13种题型，讲义）数学新教材人教版八年级下册

第二十一章 四边形 21.3.2 菱形 知识点一 菱形的定义 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【易错点】 1）菱形定义的两要素：①四边形是平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可. 2）定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形. 知识点二 菱形的性质 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC 对角线 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 即学即练 1．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，则边上的高________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，，，由勾股定理求出，再根据计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得． 2．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，对角线相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为___________． 【答案】48 【分析】先中位线定理求得，菱形的周长为边长的4倍求解即可． 【详解】解：菱形对角线相交于点， 故 由为的中点，且， ， 故菱形的周长为． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在边上，连接并延长交于点F．若，则与的面积之和为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质及面积计算．利用菱形对边平行、对角线互相垂直平分的性质，证明与全等，进而将两个三角形的面积之和转化为的面积求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，是等边三角形，，对角线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·上海·月考）已知菱形的边长为1，它的一条对角线长也为1，那么这个菱形较小的内角是______度． 【答案】 【分析】根据菱形的性质以及已知条件得到为等边三角形，即可得到，再由平行得到． 【详解】解：如图， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴这个菱形较小的内角是． 知识点三 菱形面积计算公式 1）菱形的面积=底×高，即. 2）菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 【温馨提示】 1）菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，利用三角形的面积公式可推知菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半. 2）对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 即学即练 1．（2026八年级下·云南·专题练习）如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积． 【详解】解：如图： 由题意得：，， 由折叠得：， 四边形是菱形， ． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形面积，掌握菱形的性质是解题关键．连接，根据菱形的性质，推出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形都是菱形， ，，，， ，， ， ， ， ， 和同底等高， ， 菱形的面积为，的面积为， ， ， 故答案为：． 知识点四 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴▱ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形 即学即练 1．（25-26八年级下·山东·课后作业）在平行四边形中，对角线与相交于点．下列说法不能使平行四边形为菱形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和特殊平行四边形的判定定理，逐一判断选项即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 对于A，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，， ∴平行四边形为菱形，A不符合要求； 对于B，∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，， ∴平行四边形为菱形，B不符合要求； 对于C，∵对角线相等的平行四边形是矩形，， ∴平行四边形为矩形，不一定是菱形，C符合要求； 对于D，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，D不符合要求． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合菱形判定定理分析各选项． 【详解】解：∵E，F分别为，的中点， ∴，， 同理可得，，，，，，， ∴且，且， ∴四边形是平行四边形， 当时，如图，则， ∴是菱形， 当时，如图， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴是矩形， 当或时，均不能判定为菱形， ∴可使四边形是菱形的条件是． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【分析】由题意得，即可得出结论． 【详解】解：由作图得：， ∴四边形是菱形，依据是四条边相等的四边形是菱形． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【答案】或或或或或或（只需写出一个条件即可） 【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，通过添加条件证得，由一组对边相互平行且相等，从而证得四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 同理，添加或，则，即四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，． 在和中， ． ． ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 题型01 利用菱形的性质求角度、线段长、面积 1）菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； 2）菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. 【易错点】 1）在求菱形面积时，要根据图形特点及已知条件，灵活地选择面积公式来解决问题. 2）在利用对角线长求菱形的面积时，要特别注意不要漏掉计算公式中的. 典｜例｜精｜析 1．（2026·云南·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 【答案】/70度 【分析】根据菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】利用菱形的面积求得的长度，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：菱形中，对角线相交于点O， 则为的中点， ∴ 由可得， ∵ ∴ 又为的中点 ∴． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是 故答案为：24． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北邢台·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在菱形中，，已知的周长是15，则菱形的周长是（    ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，，可知是等边三角形，进而求出，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， 即， ∵的周长是15， ∴， ∴菱形的周长． 4．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，连接交于点O，根据菱形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，则可证明四边形是矩形，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵菱形的面积为30， ∴，即； ∵点分别为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴． 故选：B． 5．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，设直线交于点F，由菱形的性质可得，．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，，则，，，在中，由勾股定理得结论． 【详解】解：连接，设直线交于点F， ∵四边形为菱形， ∴，． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 故选：D． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，点P从菱形的边上的一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点C停止．设点P运动的路程为x，点P到的距离为m，到的距离为n，且（当点P与点C重合时，），点P运动时，y随x的变化关系如图②所示，则菱形的面积为（   ） A． B． C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，动点问题的函数图象，连接，交于点，连接，当时，y的值恒等于1，点的运动路径是的中位线，则可得到，再根据当时，，求出，由菱形的性质求出，的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接． 由题意，得当时，y的值恒等于1， ∴． ∴点的运动路径是的中位线，且． ∵当时，， ∴． 由菱形的性质可得 ，，， ∴， ∴． ∴． ∴． 故选：B． 题型02 求菱形在坐标系中的坐标 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点， ∴． 在中，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴点． 变｜式｜巩｜固 1．（2024·湖北荆门·模拟预测）在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、坐标与图形，勾股定理等知识，利用勾股定理求出，利用菱形的性质得到，，即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵，，点B，C在y轴上， ， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ， ∴D点的坐标为或， 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在菱形中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是，点D是的中点，过点D作交于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两点距离计算公式，菱形的性质，坐标与图形，由两点距离计算公式可得，由菱形的菱形可推出，，再利用两点中点坐标计算公式求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标是， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，即， 故选：A． 3．（20-21八年级下·重庆江津·月考）菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为，点B的坐标为，动点P从点A出发，沿…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2022秒时，点P的坐标为___________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点的运动速度求出沿所需的时间，进而可得出结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点P每运动8秒回到点A位置， ∵， ∴点P移动到第2022秒时，落在点D，即点． 题型03 菱形与折叠问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接：    ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ， ∵为的中点， ∴为的平分线，， ∴， ∴由折叠的性质得到，在中，． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22八年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点、，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出，然后根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度即可． 【详解】解：菱形中，，， ，，，， ，， ， ， 将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处， ，， ，， ，， ，， ． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，四边形是菱形，，，点是射线上一动点，把沿折叠，其中点的对应点为，连接，若为等边三角形，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．分两种情况进行讨论：当点在上时，当点在延长线上时，依据折叠的性质、等边三角形的性质以及含角直角三角形的性质，即可得到和的度数，进而得到的长． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， 分两种情况： 如图，当点在上时，点与点重合时，此时为等边三角形， 由折叠可得，， ， 在中，； ②如图，当点在延长线上时，当为等边三角形时，， ， 由折叠可得，， ， 在中，． 故答案为：或． 4．（2022·河南信阳·模拟预测）学习了菱形的判定后，小张同学与小刘同学讨论探索折纸中的菱形． 小张：如图①，两张相同宽度的矩形纸条重叠部分（阴影部分）是一个菱形． 小刘：如图②，一张矩形纸条沿折叠后，重叠部分展开（阴影部分）后是一个菱形． (1)小张同学的判断是否正确？ (2)小刘同学的判断是否正确？如果正确，以小刘的方法为例，证明他的判断；如果不正确，请说明理由． (3)如图③，矩形的宽，若，沿折叠后，重叠部分展开（阴影部分）后得到菱形，求菱形的面积． 【答案】(1)正确 (2)正确，理由见解析 (3)20 【分析】（1）由两个纸条是矩形可得，，得到四边形是平行四边形，根据两张矩形纸条宽度相同，利用两个三角形全等得到邻边相等即可证明； （2）根据折叠确定邻边相等，再根据矩形性质及折叠可确定四边形是平行四边形，从而根据邻边相等的四边形是菱形即可得证； （3）根据平行四边形的面积公式，已知高，设，则， 在中，由勾股定理得到，进而得，代入公式求解即可． 【详解】（1）解：正确． 理由如下：由两个纸条是矩形可得，， 四边形是平行四边形， ， 过作，垂足为，如图所示： 两张矩形纸条宽度相同， ， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：正确． 理由如下：由是矩形可得， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， （3）解：∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得，解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查的是图形的翻折变换、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理求线段长、菱形面积公式，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键． 题型04 利用菱形的对称求最值 典｜例｜精｜析 1．（22-23八年级上·福建福州·期末）如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．0.5 【答案】D 【分析】找出点关于的对称点D，连接，则就是的最小值，进而可求出的值即可求出的最小值． 【详解】解：连接交于P，连接， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得关于对称，则， ∴，， 即就是的最小值， ∵， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点 ∴， ∴（等腰三角形三线合一的性质） 在中，， ∴， ∴． ∴ 当时最小 ∵ ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的性质和利用轴对称求解的方法． 变｜式｜巩｜固 1．（2026九年级·全国·专题练习）如图，菱形中，，E是对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先得出，，从而可得，于是有．由于，可得当最小时，最小，即最小，再求得， 利用勾股定理求得，从而可得的最小值为． 【详解】解：过点E作于点F，连接． 因为，且四边形为菱形， 所以，， 因此， 所以． 由于， 因此当最小时，最小， 即最小． 根据垂线段最短， 当时，最小， 记此时的为． 因为，， 所以， 因此， 所以的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用菱形的性质求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，对角线，点E，F分别是边的中点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质．设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，可得的最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可得，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∵四边形是菱形， ∴关于对称，，， ∴，，且点N在上， ∴，即的最小值为的长， ∵E为的中点， ∴N为的中点， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为5． 故答案为：5 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 由四边形是菱形得，，，而，则是等边三角形，接着可证也是等边三角形，再证明，得，而，则是等边三角形，当 时，的值最小，此时的值也最小，通过勾股定理可求得的最小值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又，， ∴， 在与中， ， ， 又∵， 为等边三角形， 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小， ∵，， ， ∴，即， 故答案为：． 题型05 含60°角的菱形 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；连接，由菱形性质得是等边三角形，则可证明，有，则得是等边三角形，则可对各选项作出判断． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确； ∵， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D错误； 故选：D．    变｜式｜巩｜固 1．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）某校的校门是伸缩门（如图①）．伸缩门每横行都由30个连在一起的菱形构成，每个菱形的边长均为．当校门完全关闭时，每个菱形的锐角都是，即此时（如图②），而当校门打开时，每个菱形的角都变为角，即此时（如图③），则校门打开时，可供师生进出的部分宽度为__________．    【答案】 【分析】先求出校门关闭时，30个菱形的对角线的长即大门的宽；再求出校门打开时，30个菱形的对角线的长即伸缩门的宽，相减即可求得答案． 【详解】解：如图：    ∵四边形是菱形， ∴， ∵校门关闭时，每个菱形结构的锐角都是， ∴， ∴， ∴ ∴， 则校门关闭时，伸缩门的宽度为， ∵校门部分打开时，每个菱形结构的角都变为角， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为， 则校门打开了， 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、含角的直角三角形、等边三角形性质以及勾股定理，熟练掌握角度变换引发边的变化是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，，分别为上的两个动点，，分别交于点．下列结论：①；②；③；④的最小值为其中正确的结论是_____．（请填写正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】连接，过点作于点，如图所示，根据菱形的性质，证明，得出，判断①；由，得出，根据，判断②；根据随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于，判断③；根据含角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，推出的最小值，等于当时，的值，结合勾股定理计算，得出的最小值，判断④，从而得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于， ∴错误，即③不符合题意； ∵，， ∴点到的距离， ∴的最小值为，当时，的值， ∵当时，， ∴此时， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了胡不归问题，涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运用相关知识点推理证明是解题的关键． 题型06 添加一个条件使四边形是菱形 判定一个四边形是菱形的关键是能把已知条件转化为判定菱形时所需要的条件，如在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可判定其为菱形;若在四边形的基础上，则需四条边都相等才可判定其为菱形. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③平分， 如图， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的是③④，共2个． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件___________能使四边形是菱形． 【答案】②③/③② 【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定定理，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由，得到四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理求解即可． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形 若添加条件①，可以证明四边形是矩形，不能证明是菱形，故①不符合题意； 若添加条件②平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故②符合题意； 若添加条件③， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故③符合题意； 综上所述，选择条件②③能使四边形是菱形． 故答案为：②③． 题型07 菱形的判定 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）矩形的对角线相交于点O，，，、交于点E，证明：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】首先由，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据三线合一的性质可得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据证明，得出，然后根据菱形的判定即可得证． 【详解】证明：是边上的中线， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O． (1)下列条件：①；②；③．请选择条件：______（填写序号），使得四边形为菱形，并说明理由； (2)尺规作图：已知，请在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)①或③，理由见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，以及直角三角形斜边中线的性质． （1）若选①，证明得，从而，可得四边形是菱形；若选③，证明得，从而，可得四边形是菱形； （2）作线段的垂直平分线与交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：可选择①或③．若选①：． 理由：∵，， ∴是的垂直平分线．即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 若选③：． 理由：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∴， 在和中，， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，点P即为所求． 连接， ∵，， ∴是的垂直平分线．即， ∴， ∵是的中线， ∴． 题型08 菱形的性质与判定综合 在涉及到菱形的题目中，由于菱形具有四边相等且对边平行、对角线互相垂直等性质，因此可以先证明一个四边形是菱形再利用其性质来解决问题. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，点D，E分别是的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为8，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用三角形中位线证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接交于点，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求得菱形的对角线的长，后利用菱形的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， 则， ， ， ， ， 即菱形的周长为． 【点睛】本题考查了三角形中位线，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）根据矩形性质和线段垂直平分线的性质证明，可得，所以四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； （2）根据勾股定理可得即可． 【详解】（1）证明：连接，， 四边形是矩形， ， ，， 由题意知：垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）可得，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， ， 解得， ∴ 菱形的边长为． 3．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图所示，李老师用一段绸缎制作了一条宽为的矩形丝带，重叠部分图形为四边形． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求重叠部分图形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形．证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）过点B作于点E，过点D作于点F，可证四边形是平行四边形，则，根据平行四边形的面积公式得到，即可证明平行四边形是菱形； （2）根据等腰三角形的判定和性质得到，根据勾股定理求出，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形．证明如下： 如图所示，过点B作于点E，过点D作于点F， 依题意得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形带宽为， ， ∵， ， ∴平行四边形是菱形； （2）解：， 是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 重叠部分图形的面积是：． 题型09 菱形与全等三角形的综合证明与计算 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·全国·月考）综合与探究 (1)如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分． ①求证：四边形是菱形； ②直接写出的度数． (2)把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①证明是的垂直平分线，≌，得到，进而证明； ②根据菱形的性质推出，进而解题即可； （2）延长到M，使，连接，证明≌以及是等边三角形，证明≌以及是等边三角形，推出，，即可得解． 【详解】（1）①证明：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长到M，使，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，，， ∵H为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵ ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； (3)如图3，若为等边三角形，，连接，K为线段上一点，且，M为线段上一点，连接，将绕点M顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质． （1）根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，，进而根据平角的定义得出，根据旋转的性质可得，，进而得出，根据等角对等边即可得证； （2）延长至，使得，证明，，，根据是等腰直角三角形，得出，根据全等三角形的性质可得，即可得证； （3）过点A作于点O，延长到点F，使得，延长到点E，使得，连接，，，先证明，四边形是菱形，继而证明当点M与点B重合时，点N与点F重合；当点M与点C重合时，点N与点E重合；确定当点M在线段上运动时，点N在在线段上运动，根据时，等于，取得最小值为6，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， （2）证明：如图所示，延长至，使得， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ （3）如图，过点A作于点O，延长到点F，使得，延长到点E，使得，连接，，， ∴， ∵为等边三角形，，， ∴，，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴，四边形是菱形， ∴，， ， ∴，， ∴当点M与点B重合时，点N与点F重合，， ∴，即， ∵， ∴， ∴当点M与点C重合时，点N与点E重合； ∴当点M在线段上运动时，点N在在线段上运动， 当点M与点B重合时，点N与点F重合，由， 根据垂线段最短，得，当等于时，取得最小值为6． 故答案为：6． 2．（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在平行四边形中，，．将一个的的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当与交于点M，同时与交于点N，连接． (1)求平行四边形的面积； (2)求证：； (3)求的周长的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）易得是等边三角形，过点A作于点E，求出的长，利用平行四边形的面积公式可得出结论； （2）先证四边形是菱形，则可得，由是等边三角形，可得，又由可得，根据即可证明； （3）结合（2）得是等边三角形，利用当时最短，由是等边三角形，也是最短的，是边长为2等边的高，即可得出周长的最小值． 【详解】（1）解：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， 如图，过点A作于点E， ∴，， ∴，， ∴平行四边形的面积为； （2）证明：∵四边形是平行四边形,且, ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，, 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 当时最短， ∴也是最短的． ∵是边长为2等边的高， ∴，， 所以． ∴周长的最小值为． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质与判定以及等边三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据题意得出最小时则的周长最小得出是解题关键． 题型10 菱形中的动点轨迹与线段最值问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，，点、分别是、上一点，且，若菱形的边长为8，是的中点，则的最小值是________． 【答案】4 【分析】如图，连接，取的中点，作关于的对称点，连接，证明，可得，，当三点共线时，取得最小值，设直线与交于点，与交于点，结合对称可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，取的中点，作关于的对称点，连接， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值， 设直线与交于点，与交于点，结合对称可得， ∴， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在菱形中，，，，为边和上的动点，，则的最小值 __________． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，含度角的直角三角形的性质，菱形的性质；作出合适的辅助线是解本题的关键. 如图，连接，交与，作关于的对称点，连接，证明，可得，，为菱形对角线的交点，，连接，证明三点共线，可得，，再进一步求解即可； 【详解】解：如图，连接，交于，作关于的对称点，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，，为菱形对角线的交点； ∴， 连接， 由轴对称的性质可得：，， ∴三点共线， ∴，， ∵，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：6 2．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，中，，若，，点是斜边上一动点，求线段的最小值． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当时，线段取得最小值．根据小明的思路可以求出这个最小值为_______． (2)【思维运用】如图2，在中，，，，为斜边上一动点，过作于点，过作于点，求线段的最小值． (3)【问题拓展】如图3，，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上．，，分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离的最小值为______．（直接写出结果，不需要写过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据垂线段最短得到答案； （2）根据勾股定理求出，根据矩形的性质得到，仿照（1）的方法解答； （3）连接、，延长交于，连接，证明四边形是矩形，得出，仿照（2）的方法即可求解． 【详解】（1）解：当时，线段取得最小值． ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的最小值为． （2）解：连接，如图所示： ，， ， ， 四边形是矩形， ， ，，， ， 当时，最短， ， ∴线段的最小值为； 故答案为：． （3）如图3，连接、，延长交于，连接， 四边形，四边形是菱形，， ，，，，与互相垂直平分，与互相垂直平分， 、分别是对角线、的中点， 点是的中点，点是的中点，，， ， 又，， 四边形是矩形， ，， 当时，有最小值， 此时，，， ，， ，， ， 的最小值为． 3．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； （3）解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 题型11 菱形的动态问题 典｜例｜精｜析 1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知四边形为平行四边形，，．如图①，若，动点P以的速度从点B出发沿线段运动到点C，同时动点Q以的速度从点B出发，沿路线运动，点P到达C点的同时，点Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，的面积S随运动时间t变化关系的图象，则的值是（　　）    A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】当点Q运动到点D处时，如图，作，求解，，可得此时，可得，当点P运动到点C处时，点Q在上，如图，可得，可得，作的延长线于M，可得此时，，从而可得答案． 【详解】解：当点Q运动到点D处时，如图，作，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴此时， ∴， 当点P运动到点C处时，点Q在上，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 作的延长线于M， ∵， ∴， ∴， ∴此时， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·北京·模拟预测）如图1，在菱形中，，是菱形内部一点，动点从顶点出发，沿线段运动到点，再沿线段运动到顶点，停止运动．设点运动的路程为，，表示与的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（   ） A． B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据图2分析点M的路径，可知点M先在上运动，再根据菱形的性质和直角三角形的性质得出点H和点A重合，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，，即， ∴， ∴点M在线段的垂直平分线上， 连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴点M先在上运动，且， ∵点P运动到点A时，， ∴, 过点M作，垂足为H， ∵， ∴， ∴， ∴点H和点A重合， ∴， ∴菱形的边长为， 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动，在此运动过程中，四边形是平行四边形出现_____次．当出发_____秒时，四边形是菱形． 【答案】 3 6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质，可求出点P从点A出发到达D点的时间为12秒，点Q从点C出发第一次到B点的时间为4秒，由平行四边形的性质可得当时，四边形为平行四边形，据此分时，，，三种情况讨论求解即可；由菱形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴，，， ∵点P从点A出发、以的速度沿运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：， ∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动， ∴点Q从点C出发第一次到B点的时间为：， ∵， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形， 设同时运动的时间为， 当时，则， ∴； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 综上所述，四边形是平行四边形出现3次； ∵四边形是菱形， ∴ ∴， 解得， ∴当出发6秒时，四边形是菱形． 故答案为：3；6． 3．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P从A点以向B点运动， 时，， ， ； 故答案为：； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， Q在上运动时间为， ， 运动时间最长为， 时，在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：， 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：， 由（2）知：，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 题型12 菱形的存在性问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)不存在，见解析 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据运动速度，求出，最后求出结果即可； （2）根据菱形的性质，得出，且，然后列出方程，解方程即可； （3）根据与互相平分时，，列出方程，解方程得出答案，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：在中 ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动， ∴，当时，， ∴． （2）解：存在；理由： 依题意，若以，，，为顶点的四边形是菱形，则满足，且 即， 解得， 当时，， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是菱形； （3）解：不存在；理由： 若与互相平分，则在的左侧，且四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， 由（1）知， ∴不存在的值，使得与互相平分． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在，，或， (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）连结，过点O作直线的对称点E，连结，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； （2）解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． （3）解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 2．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图1，矩形的顶点、分别在轴，轴的正半轴，已知点，且，满足．若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交，于点，，交轴于点． (1)求，的值； (2)求线段的长度； (3)如图2，连接，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8；6 (2) (3)或 【分析】（1）根据两个非负数的和等于0，则每个都是0，即可求出a，b的值； （2）连接，先证明四边形为菱形，再利用勾股定理求出的长，即可利用等面积法得到的长； （3）分P在线段上或射线上两种情况，取的中点M，过点P作于点N，分别构造全等三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ∴， ，； 故答案为：8，6； （2）解：如图1，连接， ，， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ， ， ， 四边形是菱形， 由（1）得， ∴， 在中，， ， 设，， 在中，，， ， 解得， ， ， ， ． （3）解：存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形； 分两种情况，①当P在线段上时，取的中点M，连接并延长，过点P作于点N，如图4， 由题可得：，，为的中位线， ∴，， ∴， 当为边，四边形为菱形时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O， ∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q， ∴； ②当P在射线上时，当P在线段延长线上时，取的中点M，连接，过点P作于点N，如图5， 当为边，四边形为菱形时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O， ∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，坐标与图形，非负数的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，四边形中，于点O，且，点P为线段上的一个动点． (1)填空：　　　． (2)过点P分别作于M点，作于H点． ①试说明为定值． ②连接，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)13 (2)①，说明见解析；②的最小值为，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形综合．熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式，垂线段性质，是解决问题的关键． （1）判定四边形为棱形，为直角三角形．由勾股定理得； （2）①连接，根据，得．得；②根据为定值，可知当最短时，最小．由垂线段最短可知，当点P与点O重合时, 最短，最小值为：． 【详解】（1）∵于点O，， ∴四边形为棱形，为直角三角形． ∴． 故答案为：13． （2）①如图所示：连接． ∵， ∴． 即． ∴． ∴． ②∵为定值， ∴当最短时，有最小值． ∵由垂线段最短可知， 当时，最短． ∴当点P与点O重合时, 有最小值． 最小值为：． 64．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)168 (3) 【分析】（1）根据题意证明出，得到，证明出四边形是菱形，得到，即可证明出四边形为筝形； （2）根据筝形的性质得到，，设，则，根据勾股定理求出，得到，然后利用筝形的面积代数求解即可； （3）首先由（2）得，，然后得到，证明出四边形是菱形，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用等面积法求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵在中， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴四边形为筝形； （2）∵四边形是筝形 ∴， ∴垂直平分 ∴， ∵，，， ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴筝形的面积； （3）如图所示，连接 ∵四边形为筝形 ∴由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴解得（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型13 菱形新定义与阅读理解题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·山西大同·期中）阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“垂中四边形”的研究报告研究对象：垂中四边形． 研究思路：类比特殊平行四边形的性质进行研究． 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂中四边形． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形叫做垂中四边形． 性质探究： 性质1：． 证明：如图5，记与交于点O， 则，． ∵，， ∴． 性质2： ． 证明：如图2，在中，． 任务： (1)根据垂中四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是垂中四边形的是______（从下列选项中选出两个）． A．平行四边形        B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)请你补全性质2的证明过程． (3)如图，已知，请你在图中作一个垂中四边形，且对角线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)C，D (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查菱形及正方的性质，勾股定理解三角形，作垂线及线段，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据菱形和正方形的性质即可得出结果； （2）结合图形，利用勾股定理即可证明； （3）利用垂线的作法及作一条线段等于已知线段即可． 【详解】（1）解：因为菱形和正方形的对角线互相垂直，所以菱形和正方形一定是垂中四边形， 故选：C、D； （2）在中， 在中，． 在中，． 在中，． ∴，． ∴． （3）如图所示，四边形即为所求． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·山西阳泉·期中）【创新考法】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记(部分)，请仔细阅读并完成相应任务     等面积法在解题中的应用 等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法，这种方法可以把问题 简捷化，提高学习效率.下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子． 例：如图1，，点E在线段上，，记，，．求证：． 证明：连接，过点D作边上的高，则． 任务： (1)如图2，点O是内角平分线的交点，作，垂足为点D．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．，的周长为，则的面积为_______． (2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中，参照阅读材料中例题的证明方法，求证：． (3)如图4，在菱形中，对角线交于点O，E是上一点，且．若，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】(1)图见解析， (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理的证明，角平分线的性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握这些性质与判定，并掌握面积转换是解题的关键． （1）根据尺规作垂线的方法作，连接，利用角平分线的性质和分割法求三角形的面积即可； （2）延长交延长线于点，过点作于点，连接，，利用，，即可解决； （3）根据菱形的性质，求出的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 连接， ∵点O是内角平分线的交点，， ∴点到三边的距离相等均为的长， ∵，的周长为， ∴ ； 故答案为：； （2）解：如图，延长交延长线于点，过点作延长线于点，连接，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ， ． ； （3）解：∵菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.3.2 菱形 知识点一 菱形的定义 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【易错点】 1）菱形定义的两要素：①四边形是平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可. 2）定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形. 知识点二 菱形的性质 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC 对角线 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 即学即练 1．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，则边上的高________． 2．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，对角线相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为___________． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在边上，连接并延长交于点F．若，则与的面积之和为 ____________________ ． 4．（25-26八年级下·上海·月考）已知菱形的边长为1，它的一条对角线长也为1，那么这个菱形较小的内角是______度． 知识点三 菱形面积计算公式 1）菱形的面积=底×高，即. 2）菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 【温馨提示】 1）菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，利用三角形的面积公式可推知菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半. 2）对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 即学即练 1．（2026八年级下·云南·专题练习）如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 知识点四 菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴▱ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形 即学即练 1．（25-26八年级下·山东·课后作业）在平行四边形中，对角线与相交于点．下列说法不能使平行四边形为菱形的是(    ) A． B． C． D． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 题型01 利用菱形的性质求角度、线段长、面积 1）菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； 2）菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. 【易错点】 1）在求菱形面积时，要根据图形特点及已知条件，灵活地选择面积公式来解决问题. 2）在利用对角线长求菱形的面积时，要特别注意不要漏掉计算公式中的. 典｜例｜精｜析 1．（2026·云南·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 2．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为__________． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北邢台·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在菱形中，，已知的周长是15，则菱形的周长是（    ） A．25 B．20 C．15 D．10 4．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 5．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，点P从菱形的边上的一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点C停止．设点P运动的路程为x，点P到的距离为m，到的距离为n，且（当点P与点C重合时，），点P运动时，y随x的变化关系如图②所示，则菱形的面积为（   ） A． B． C．10 D．6 题型02 求菱形在坐标系中的坐标 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2024·湖北荆门·模拟预测）在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在菱形中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是，点D是的中点，过点D作交于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级下·重庆江津·月考）菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为，点B的坐标为，动点P从点A出发，沿…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2022秒时，点P的坐标为___________． 题型03 菱形与折叠问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22八年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点、，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 3．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，四边形是菱形，，，点是射线上一动点，把沿折叠，其中点的对应点为，连接，若为等边三角形，则的长为________． 4．（2022·河南信阳·模拟预测）学习了菱形的判定后，小张同学与小刘同学讨论探索折纸中的菱形． 小张：如图①，两张相同宽度的矩形纸条重叠部分（阴影部分）是一个菱形． 小刘：如图②，一张矩形纸条沿折叠后，重叠部分展开（阴影部分）后是一个菱形． (1)小张同学的判断是否正确？ (2)小刘同学的判断是否正确？如果正确，以小刘的方法为例，证明他的判断；如果不正确，请说明理由． (3)如图③，矩形的宽，若，沿折叠后，重叠部分展开（阴影部分）后得到菱形，求菱形的面积． 题型04 利用菱形的对称求最值 典｜例｜精｜析 1．（22-23八年级上·福建福州·期末）如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．0.5 变｜式｜巩｜固 1．（2026九年级·全国·专题练习）如图，菱形中，，E是对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，对角线，点E，F分别是边的中点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为____________． 题型05 含60°角的菱形 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）某校的校门是伸缩门（如图①）．伸缩门每横行都由30个连在一起的菱形构成，每个菱形的边长均为．当校门完全关闭时，每个菱形的锐角都是，即此时（如图②），而当校门打开时，每个菱形的角都变为角，即此时（如图③），则校门打开时，可供师生进出的部分宽度为__________．    3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，，分别为上的两个动点，，分别交于点．下列结论：①；②；③；④的最小值为其中正确的结论是_____．（请填写正确的序号） 题型06 添加一个条件使四边形是菱形 判定一个四边形是菱形的关键是能把已知条件转化为判定菱形时所需要的条件，如在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件即可判定其为菱形;若在四边形的基础上，则需四条边都相等才可判定其为菱形. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件___________能使四边形是菱形． 题型07 菱形的判定 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）矩形的对角线相交于点O，，，、交于点E，证明：四边形是菱形． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O． (1)下列条件：①；②；③．请选择条件：______（填写序号），使得四边形为菱形，并说明理由； (2)尺规作图：已知，请在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型08 菱形的性质与判定综合 在涉及到菱形的题目中，由于菱形具有四边相等且对边平行、对角线互相垂直等性质，因此可以先证明一个四边形是菱形再利用其性质来解决问题. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，点D，E分别是的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为8，求四边形的周长． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 3．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图所示，李老师用一段绸缎制作了一条宽为的矩形丝带，重叠部分图形为四边形． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求重叠部分图形的面积． 题型09 菱形与全等三角形的综合证明与计算 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·全国·月考）综合与探究 (1)如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分． ①求证：四边形是菱形； ②直接写出的度数． (2)把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； (3)如图3，若为等边三角形，，连接，K为线段上一点，且，M为线段上一点，连接，将绕点M顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为______． 2．（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在平行四边形中，，．将一个的的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当与交于点M，同时与交于点N，连接． (1)求平行四边形的面积； (2)求证：； (3)求的周长的最小值． 题型10 菱形中的动点轨迹与线段最值问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，，点、分别是、上一点，且，若菱形的边长为8，是的中点，则的最小值是________． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在菱形中，，，，为边和上的动点，，则的最小值 __________． 2．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，中，，若，，点是斜边上一动点，求线段的最小值． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当时，线段取得最小值．根据小明的思路可以求出这个最小值为_______． (2)【思维运用】如图2，在中，，，，为斜边上一动点，过作于点，过作于点，求线段的最小值． (3)【问题拓展】如图3，，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上．，，分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离的最小值为______．（直接写出结果，不需要写过程） 3．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 题型11 菱形的动态问题 典｜例｜精｜析 1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知四边形为平行四边形，，．如图①，若，动点P以的速度从点B出发沿线段运动到点C，同时动点Q以的速度从点B出发，沿路线运动，点P到达C点的同时，点Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，的面积S随运动时间t变化关系的图象，则的值是（　　）    A． B．1 C．2 D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·北京·模拟预测）如图1，在菱形中，，是菱形内部一点，动点从顶点出发，沿线段运动到点，再沿线段运动到顶点，停止运动．设点运动的路程为，，表示与的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（   ） A． B．8 C． D．4 2．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动，在此运动过程中，四边形是平行四边形出现_____次．当出发_____秒时，四边形是菱形． 3．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 题型12 菱形的存在性问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 2．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图1，矩形的顶点、分别在轴，轴的正半轴，已知点，且，满足．若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交，于点，，交轴于点． (1)求，的值； (2)求线段的长度； (3)如图2，连接，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，四边形中，于点O，且，点P为线段上的一个动点． (1)填空：　　　． (2)过点P分别作于M点，作于H点． ①试说明为定值． ②连接，试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使的值最小？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 64．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 题型13 菱形新定义与阅读理解题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·山西大同·期中）阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“垂中四边形”的研究报告研究对象：垂中四边形． 研究思路：类比特殊平行四边形的性质进行研究． 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂中四边形． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形叫做垂中四边形． 性质探究： 性质1：． 证明：如图5，记与交于点O， 则，． ∵，， ∴． 性质2： ． 证明：如图2，在中，． 任务： (1)根据垂中四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是垂中四边形的是______（从下列选项中选出两个）． A．平行四边形        B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)请你补全性质2的证明过程． (3)如图，已知，请你在图中作一个垂中四边形，且对角线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·山西阳泉·期中）【创新考法】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记(部分)，请仔细阅读并完成相应任务     等面积法在解题中的应用 等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法，这种方法可以把问题 简捷化，提高学习效率.下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子． 例：如图1，，点E在线段上，，记，，．求证：． 证明：连接，过点D作边上的高，则． 任务： (1)如图2，点O是内角平分线的交点，作，垂足为点D．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．，的周长为，则的面积为_______． (2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中，参照阅读材料中例题的证明方法，求证：． (3)如图4，在菱形中，对角线交于点O，E是上一点，且．若，则图中阴影部分的面积为_______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $