21.3.3 正方形（思维导图+5知识点+14种题型，讲义）数学新教材人教版八年级下册

第二十一章 四边形 21.3.3 正方形 知识点一 正方形的定义 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 【解读】 1）正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，即既是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，更是特殊的平行四边形. 2）用集合图能更直观地反映四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系. 知识点二 正方形的性质 1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 3）正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，它的对称轴是对角线所在直角以及过每一组对边中点的直线，对角线的交点是它的对称中心. 即学即练 1．（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在以正方形的边为斜边的中，，，，则正方形的面积为______． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一条直线经过正方形的顶点B，点A，C到该直线的距离，，则正方形的边长为_____． 3．（2026·安徽合肥·一模）如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则α的度数是______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 知识点三 正方形的判定 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 判定 定理 已知是矩形时 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+一组邻边相等 对角线互相垂直的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 已知是菱形时 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+一个角是直角 对角线相等的菱形是正方形 菱形+对角线相等 【应用】在判定正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础上来求证的.要熟悉各判定定理的联系和区别.解答此类问题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键. 即学即练 1．（2026·广东佛山·一模）在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，．当满足条件_______________时，四边形是正方形． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________． 知识点四 特殊四边形性质综合 即学即练 1．（2026·四川成都·一模）下列关于特殊四边形性质的说法，正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形 2．（25-26八年级下·北京·课后作业）从知识结构来看，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可以如图表示，则其中最大的椭圆表示的是______形，阴影部分表示的是______形． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角 4．（20-21八年级下·海南省直辖县级单位·期中）平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点五 特殊四边形判定综合 即学即练 1．（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），且，分别连接，则下列结论错误的是（　　） A．四边形是平行四边形 B．若四边形是菱形，那么四边形也是菱形 C．若四边形是正方形，那么四边形是菱形 D．若四边形是矩形，那么四边形也是矩形 2．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（　） A．当四边形是矩形时，四边形是菱形 B．当四边形是菱形时，四边形是矩形 C．当四边形满足时，四边形是菱形 D．当四边形满足，时，四边形是矩形 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知一个四边形顺次添加下列条件后便能得到特殊的四边形，则①，②，③处的四边形分别是（   ） A．平行四边形，菱形，矩形 B．矩形，菱形，正方形 C．矩形，平行四边形，菱形 D．平行四边形，菱形，正方形 4．（22-23八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 题型01 利用正方形的性质求角度、线段长、面积 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 2．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·北京·课后作业）正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 2．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，经过正方形对称中心的直线分别交的延长线、、于点、、，已知，，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________． 题型02 求正方形在坐标系中的坐标 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北荆州·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的顶点O的坐标是，顶点A的坐标是，则顶点B的坐标是__________． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为______． 题型03 正方形与折叠问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，正方形，，E为的中点，将沿BE折叠到，延长EF交于点G．连接，则下列结论错误的是（　　） A．的周长为4 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 3．（25-26八年级上·河北保定·月考）综合与实践 【引入】纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法． 【操作】①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处； ③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上； ④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成． 【探究】(1)求图3中的度数； (2)求图4中的度数． 题型04 求正方形重叠部分面积 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（22-23八年级下·湖南长沙·月考）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（    ）    A．1 B．2 C． D．4 3．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（    ） A．49 B．65 C．78 D．97 题型05 利用正方形的对称性求解 正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，它的对称轴是对角线所在直角以及过每一组对边中点的直线，对角线的交点是它的对称中心. 常见类型：求面积，求线段最小值，求角度，证明线段垂直 典｜例｜精｜析 1．（山东潍坊市高密市滨北学校2025-2026学年八年级下学期4月学情自测数学试题）如图为某城市部分街道示意图，四边形为正方形，点E在对角线上，，，，小敏行走的路线为，小聪行走的路线为，若小敏行走的路程为，则小聪行走的路程为_________． 变｜式｜巩｜固 1．（20-21八年级下·天津滨海新区·期中）如图所示，在正方形中，E是上一点， ，P是上一动点，则的最小值是（    ） A．10 B． C．8 D． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）点为正方形中对角线上一点（点不与端点、重合），当为等腰三角形时，的度数为______． 题型06 添加一个条件使四边形是正方形 在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来判定的，判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 典｜例｜精｜析 1．（2026八年级下·全国·专题练习）有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南郑州·期末）在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 2．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的______（填“对”或“不对”） 3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 题型07 正方形的判定与性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】（1）如图，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，求正方形的边长； 【问题解决】（2）如图，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有五个出口，其中出口在边上，已知米，米，米，，为果园内两条小路（宽度忽略不计），现在的中点处修建一个临时库房（大小忽略不计），沿修一条运输通道（宽度忽略不计）． 判断的形状，并说明理由； 试求该运输通道的长度． 3．（24-25八年级下·四川攀枝花·月考）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且 (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 题型08 与正方形有关的多结论问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在正方形中，已知边长，点是对角线上一点，，连接．过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接．以下四个结论：；是等腰三角形；，两点间的距离为；矩形的面积为，正确的是（   ） A．仅有 B．仅有 C．仅有 D． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22八年级下·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为定值，E是边上的动点（不与点C，D重合）， 交对角线于点F，交于点G，于点H．现给出下列结论：①； ②的周长为定值； ③的长度为定值， 则正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 2．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 3．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型09 正方形的动态问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图1，在正方形中，为边的中点．动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为y，y与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点的位置时，的长为（   ） A． B． C． D．6 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形． 2．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 题型10 正方形的存在性问题 典｜例｜精｜析 1．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）A、B是的边上两定点，E是边上一动点，分别以为边在上方同侧作正方形、正方形． (1)如图①，，，，连接． ①求证； ②当点E在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出答案；若不存在，请说明理由； (2)如图②，，连接，当点E在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请用直尺与圆规作出此时点的位置；若不存在，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接． 【探究提炼】 （1）如图1，点是上任意一点，线段和线段存在什么关系？并说明理由； （2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度； 【类比迁移】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数； ②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 2（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 3（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，在正方形中，，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 题型11 正方形风车模型 典｜例｜精｜析 1．（20-21八年级下·江苏泰州·期末）如图，两个正方形的边长都为，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、不与端点重合，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（       ） A．发生变化，存在最大值 B．发生变化，存在最小值 C．不发生变化，存在最大值 D．不发生变化，存在最小值 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】（1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直，相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为：（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为． （2）【类比探究】 ①如图，矩形中，，，点是边的中点，，点在上，点在上，则四边形的面积为，； ②如图，若将（）中的“正方形”改为“，边长为的菱形”，其他条件不变，当时，四边形的面积是． ③如图，在②的条件下，当点在对角线上运动到且旋转至时，的长度为______． （3）【拓展延伸】如图5，（为钝角），，是钝角，平分，，，，，点是上一点，那么的长为______． 题型12 十字架模型 【基础模型-两边过顶点】 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 【模型进阶-一边过顶点】 条件：在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，DC上的点，AE与FG相交于点O， 图示： 辅助线作法：过点B作BM∥FG交CD于点M. 结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直. 【模型进阶-两边均不过顶点】 图示： 结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直. 以上结论成立的条件是:四点必须位于四边，否则不成立. 典｜例｜精｜析 1．（安徽省宿州市泗县2025-2026学年10月月考九年级数学试题）如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：下面是小姜同学写的一篇数学学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务： 正方形中相等的线段如图1，在正方形中，如果点E、F分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 对于上面的问题，我是这样思考的： （1）：______． 反思1：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？ 对此可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． （2）：______． 反思2：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？ 对此可以画图说明： 如图3，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，那么与垂直吗？证明你的结论． （3）：______． 任务： (1)完成笔记中的“我是这样思考的”； (2)回答笔记中反思1的问题，并证明； (3)回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）（1）如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于，于．求证：； （2）如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交、、、于点、、、．求证：； （3）在（2）的条件下，若正方形的边长为，则线段的最大值_______． 题型13 中点四边形 1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形. 2）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 3）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. 4）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 5）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 6）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 典｜例｜精｜析1．（2026八年级下·全国·专题练习）解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． (1)如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． (2)当四边形满足________条件时，四边形是菱形． (3)当四边形满足________条件时，四边形是矩形． (4)当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在四边形ABCD中，点，，，分别为，，，边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形称为四边形的中点四边形． (1)求证：四边形的形状是平行四边形． (2)如图，在四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…如此进行下去，得到四边形．则 ①四边形是 ．（填特殊平行四边形） ②四边形的周长是 ．（用，代数式表示） ③若四边形始终是正方形，则在现有条件下，，还应该满足 ． 题型14 半角模型 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）问题背景： 在一次数学活动课上，老师让同学们根据所学的知识去了解“半角模型”，并探究“半角模型”的相关结论． (1)初步探究：如图①，小明将一张正方形纸片折叠，使得，恰好都落在对角线上，展开正方形纸片后得到折痕，，求的度数； (2)深入探究：如图②，小华在图①的基础上，将绕点逆时针旋转一定的角度，使的两边分别交，于点，，连接，请你帮助小华判断线段，和之间存在怎样的数量关系，并证明； (3)拓展延伸：如图③，在正方形中，是上的一点，是延长线上一点，且，连接，过点作，垂足为点，交边于点．若，，求的面积． 3．（24-25八年级下·广西钦州·月考）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． (1)【提出问题】，，之间的数量关系为______； (2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.3.3 正方形 知识点一 正方形的定义 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 【解读】 1）正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，即既是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，更是特殊的平行四边形. 2）用集合图能更直观地反映四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系. 知识点二 正方形的性质 1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 3）正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，它的对称轴是对角线所在直角以及过每一组对边中点的直线，对角线的交点是它的对称中心. 即学即练 1．（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在以正方形的边为斜边的中，，，，则正方形的面积为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查勾股定理，利用勾股定理依次求得即可得出结果． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴正方形的面积为5． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一条直线经过正方形的顶点B，点A，C到该直线的距离，，则正方形的边长为_____． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．证明，推出，再利用勾股定理求解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，. ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴. ∴. 故答案为：． 3．（2026·安徽合肥·一模）如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则α的度数是______． 【答案】 【分析】由五边形是正五边形，则，所以，又四边形是正方形，所以，最后通过三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据正方形的性质，等边三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 知识点三 正方形的判定 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 判定 定理 已知是矩形时 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+一组邻边相等 对角线互相垂直的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 已知是菱形时 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+一个角是直角 对角线相等的菱形是正方形 菱形+对角线相等 【应用】在判定正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础上来求证的.要熟悉各判定定理的联系和区别.解答此类问题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键. 即学即练 1．（2026·广东佛山·一模）在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 【答案】A 【分析】根据已知条件先得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，则菱形是正方形，正确； B、菱形本身对角线，故添加，不能使得四边形为正方形； C、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形； D、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故A正确； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，故B正确； C．有一个角是直角的菱形是正方形，故C正确； D．对角线相等且互相垂直的四边形，如果对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是正方形，故D错误． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，．当满足条件_______________时，四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的判定方法和正方形的判定方法，解题的关键是可从四边形是正方形推出满足的条件． 由已知条件，垂直平分，，判定四边形为矩形，根据邻边相等的矩形为正方形可知时四边形是正方形． 【详解】解：添加条件：（答案不唯一）． 证明：∵，垂直平分，， ，， 四边形为矩形， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又四边形为矩形， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点四 特殊四边形性质综合 即学即练 1．（2026·四川成都·一模）下列关于特殊四边形性质的说法，正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是平行四边形及特殊平行四边形的性质、轴对称图形的识别．根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的性质及轴对称图形的定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，故原说法错误，该选项不符合题意； B、“正方形的对角线相等且互相垂直平分”，原说法正确，该选项符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，故原说法错误，该选项不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级下·北京·课后作业）从知识结构来看，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可以如图表示，则其中最大的椭圆表示的是______形，阴影部分表示的是______形． 【答案】 平行四边 正方 【详解】解：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形； 正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四边形， 所以最大的椭圆表示的是平行四边形，阴影部分表示的是正方形． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、对角线相等，只有矩形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 、对角线互相垂直，只有菱形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 、对角线互相平分，平行四边形，矩形，菱形，正方形都共有的性质，该选项符合题意； 、对角线平分内角，只有菱形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 故选：． 4．（20-21八年级下·海南省直辖县级单位·期中）平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：平行四边形不是轴对称图形，矩形，菱形，等边三角形，正方形都是轴对称图形，因此平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有4个． 故选：D． 知识点五 特殊四边形判定综合 即学即练 1．（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），且，分别连接，则下列结论错误的是（　　） A．四边形是平行四边形 B．若四边形是菱形，那么四边形也是菱形 C．若四边形是正方形，那么四边形是菱形 D．若四边形是矩形，那么四边形也是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质， 正方形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．连接交于点O，根据平行四边形的性质可得， 再根据E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），，可得，进一步即可判断A选项； 根据菱形的性质可得，进一步即可判断选项； 根据正方形的性质可得，进一步即可判断选项；根据矩形的性质可得， 再根据E、F是对角线上的两点 （不与点A、C重合），可得，进一步可判断选项． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合）， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； 当四边形是菱形时， ， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故不符合题意； 当四边形是正方形时， ， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故不符合题意； 当四边形是矩形时， ， ∵E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合）， ∴， ∴四边形不是矩形， 故符合题意， 故选：． 2．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（　） A．当四边形是矩形时，四边形是菱形 B．当四边形是菱形时，四边形是矩形 C．当四边形满足时，四边形是菱形 D．当四边形满足，时，四边形是矩形 【答案】C 【分析】先证四边形EFGH是平行四边形；再根据选项条件结合矩形、菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：，分别是，的中点， ，， ，分别是，的中点， ，， ，， 四边形是平行四边形； ，分别是，的中点，、分别是、中点， ，， 当四边形是矩形时，， ， 四边形是菱形，故A正确，不符合题意； 当四边形是菱形时，， ，， ， 四边形是菱形，故B正确，不符合题意； 当四边形满足时，不能证明四边形是菱形，故C错误，符合题意； 当四边形满足，时， ∵，， ∴AC是BD的垂直平分线，即 ∵， ∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90° ∴四边形是矩形，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，灵活利用矩形、菱形的判定定理是解答本题的关键 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知一个四边形顺次添加下列条件后便能得到特殊的四边形，则①，②，③处的四边形分别是（   ） A．平行四边形，菱形，矩形 B．矩形，菱形，正方形 C．矩形，平行四边形，菱形 D．平行四边形，菱形，正方形 【答案】D 【分析】本题考查了利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定．掌握判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；故①填平行四边形； 一组邻边相等的平行四边形是菱形；故②填菱形； 一个内角是直角的菱形是正方形；故③填正方形． 故选：． 4．（22-23八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A．当时，四边形是矩形，不一定是菱形，原说法错误； B．当时，四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误； C．当时，四边形是菱形，不一定是矩形，原说法错误； D．当时，四边形是矩形，说法正确． 题型01 利用正方形的性质求角度、线段长、面积 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 【答案】B 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 2．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可知，，，，再结合平行的性质和等边对等角，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：连接， 正方形和正方形中， ，， ， ， ， ， 是的中点， 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·北京·课后作业）正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】利用正方形四角为直角的性质，结合勾股定理求出边长，再计算周长即可得到结果． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形的四个内角都是直角，对角线长为， ∴根据勾股定理得， 整理得， ∵边长为正数， ∴， ∴正方形的周长为． 2．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，经过正方形对称中心的直线分别交的延长线、、于点、、，已知，，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O作于点H，连接，求出，再证明可得结论． 【详解】解：过点O作于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点O是正方形的中心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，首先由正方形得到，，，然后结合得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 题型02 求正方形在坐标系中的坐标 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，同角的余角相等，坐标与图形，过作轴于点，过作轴于点，则，则，又四边形是正方形，得，，然后证明，所以，，因为点的坐标为，点的坐标为，所以，，，利用线段和差即可求出点的坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 2．（2024·湖北荆州·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的顶点O的坐标是，顶点A的坐标是，则顶点B的坐标是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．根据题意可知，点可以在第一象限和第二象限，分别针对两种情况计算即可． 【详解】解：情况1：如图，当点在第一象限时，过点作轴，过点作轴，作轴，过点作轴交延长线于点， ，， ，又， ， ，， ，， ， 又 ， ， ， 又， ， ，， ，， 顶点B的坐标是. 情况2：当点在第二象限时，过点作轴，轴，过点作轴交延长线于点，交轴于点，如图， ，， 四边形为平行四边形， 又轴，即， 四边形为矩形， ， 同理可证四边形为矩形， ， ，， ，又，， ， ，， ，， 顶点B的坐标是． 综上分析可知：点B的坐标为或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是次一循环，可得结论． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴由旋转得：， ∵将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ∴，，，，，，，…， 发现是次一循环，所以， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，规律性的探索，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够掌握从特殊到一般探究规律的方法． 题型03 正方形与折叠问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，正方形，，E为的中点，将沿BE折叠到，延长EF交于点G．连接，则下列结论错误的是（　　） A．的周长为4 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 证明得出可判断A正确；设，在中，利用勾股定理构建方程求出，再利用勾股定理求出可判断B错误；根据三角形面积公式求出和的面积可判断C，D正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴ ， ∴， ∴， ∴的周长，故选项A正确， 设， 在中，， 解得， ∴， ∴，， ∴的周长，故选项B错误， 的面积，故选项C正确 的面积，故选项D正确． 故选：B． 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河北保定·月考）综合与实践 【引入】纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法． 【操作】①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处； ③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上； ④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成． 【探究】 (1)求图3中的度数； (2)求图4中的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质和正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由折叠的性质和正方形的性质得到进而求出，即可求出的度数； （2）由折叠的性质可知，先求出，进而求出，最后利用邻补角即可求出的度数． 【详解】（1）解：由折叠可知， ， ， ， ； （2）解：由折叠知，， ， ， ， ， ． 题型04 求正方形重叠部分面积 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 2．（22-23八年级下·湖南长沙·月考）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（    ）    A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】连接，，易证，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示：    三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点， ，， ， 四边形是正方形， ， 在和中 ， 两个正方形阴影部分的面积， 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的综合，把阴影部分进行合理转移，得出两个正方形阴影部分的面积是正方形面积的是解决本题的难点． 3．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（    ） A．49 B．65 C．78 D．97 【答案】A 【分析】分别设A、B两个正方形的边长为和，利用正方形性质，可知叠放在一起后阴影部分的小正方形边长是，并列在一起后边长为，用和表示出阴影部分面积，列出方程组解答即可求出和的长，即可得出结果． 【详解】解：设A正方形边长为，B正方形边长为， 由图可知①中小正方形的边长为，面积为1， ， ， ， 由图可知②中新构造出的正方形边长为， 面积， ， ， ， 解得：或（舍去）， 当时，， 新构成的正方形面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． 题型05 利用正方形的对称性求解 正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，它的对称轴是对角线所在直角以及过每一组对边中点的直线，对角线的交点是它的对称中心. 常见类型：求面积，求线段最小值，求角度，证明线段垂直 典｜例｜精｜析 1．（山东潍坊市高密市滨北学校2025-2026学年八年级下学期4月学情自测数学试题）如图为某城市部分街道示意图，四边形为正方形，点E在对角线上，，，，小敏行走的路线为，小聪行走的路线为，若小敏行走的路程为，则小聪行走的路程为_________． 【答案】4800 【分析】如图，连接，证明出，得到，推出，证明出四边形是矩形，得到，然后表示出小敏行走的路程和小聪行走的路程，然后整体代入求解． 【详解】解：如图，连接 ∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵小敏行走的路线为，小敏行走的路程为， ∴， ∴， ∴， ∵小聪行走的路线为， ∴小聪行走的路程为． 变｜式｜巩｜固 1．（20-21八年级下·天津滨海新区·期中）如图所示，在正方形中，E是上一点， ，P是上一动点，则的最小值是（    ） A．10 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称，“两点之间，线段最短”，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，证明，得到，求出，则，得到的最小值为10，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是正方形， ∴B，D关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故选A． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）点为正方形中对角线上一点（点不与端点、重合），当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查正方形的性质（对角线平分内角、各角为、各边相等）和等腰三角形的性质和分类讨论思想，熟练掌握正方形的性质和分类讨论思想是解题的关键． 根据题意为等腰三角形的三种可能：，逐一分析，其中时点与重合，不符合“点不与端点、重合”的条件需舍去，通过等腰三角形的性质和角的和差关系，求出即可． 【详解】解：由正方形得：， 当为等腰三角形时，有，分类讨论： ①当时，如图所示： ， ， ， ； ②当时，如图所示： ， ， ， ； ③当时，点与重合， 点不与端点、重合， 当时不合题意，故舍去． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 题型06 添加一个条件使四边形是正方形 在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来判定的，判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 典｜例｜精｜析 1．（2026八年级下·全国·专题练习）有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．先根据给定条件判断平行四边形是否为矩形或菱形，再结合正方形的判定定理(对角线互相垂直的矩形是正方形、邻边相等的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形)逐一分析不同条件组合能否判定为正方形，最终得出②③组合不能判定为正方形，其余符合条件的组合可以判定的结论． 【详解】解：A、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以②③组合不能判定为正方形，故此选项错误，符合题意； B、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ④矩形的对角线互相垂直说明是正方形(对角线垂直的矩形是正方形)； 所以②④组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； C、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； 所以①②组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； D、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以①③组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； 根据正方形的判断方法可知：满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形是正方形． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南郑州·期末）在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关系，根据这些特殊平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项所添加的条件是否能使图形按箭头方向进行正确的转化． 【详解】解：A项：一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴①处可填是正确的，故该选项不符合题意； B项：有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴②处可填是正确的，故该选项不符合题意； C项：有一个角是直角的菱形是正方形， ∴无法判定两角是否为直角，故该选项符合题意； D项：一组邻边相等的矩形是正方形， ∴④处可填是正确的，故该选项不符合题意， 故选：C． 2．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的______（填“对”或“不对”） 【答案】对 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据题意，证明四边形是正方形，再作判断． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形， 现在文文选择了③④，你认为文文选择的对， 故答案为：对． 3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 题型07 正方形的判定与性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，求正方形的边长； 【问题解决】 （2）如图，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有五个出口，其中出口在边上，已知米，米，米，，为果园内两条小路（宽度忽略不计），现在的中点处修建一个临时库房（大小忽略不计），沿修一条运输通道（宽度忽略不计）． 判断的形状，并说明理由； 试求该运输通道的长度． 【答案】（）正方形的边长为；（）是等腰直角三角形，理由见解析；该运输通道的长度为米． 【分析】（）根据正方形性质和三角形的中位线定理即可求解； （）过点作于点，证明四边形是正方形，然后证明，得，，进而可以解决问题； 连接，取的中点，连接，证明，得，然后根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴， ∴为中点， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （）是等腰直角三角形，理由如下： 过点作于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，米， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 连接，取的中点，连接，如图， ∵为的中点，和都是直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴米，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴米， 即该运输通道的长度为米． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（24-25八年级下·四川攀枝花·月考）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且 (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵正方形， ，， 又∵， ． ； （2）解：成立，理由如下： ， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ，， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ， 设，则， ，． 在中，， ， 解得：． ． 题型08 与正方形有关的多结论问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在正方形中，已知边长，点是对角线上一点，，连接．过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接．以下四个结论：；是等腰三角形；，两点间的距离为；矩形的面积为，正确的是（   ） A．仅有 B．仅有 C．仅有 D． 【答案】C 【分析】过作于点，延长交于点，过作于点，则，由正方形性质可得平分，，所以，，证明，即可判断；先得出，，则有，，由勾股定理得，然后通过面积即可判断；分别求出，，，即可判断；证明，则，，所以，然后连接，通过勾股定理即可判断． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，过作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为，故正确， ∵，，， ∴不是等腰三角形，故不正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形定义等知识掌握知识点的应用是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22八年级下·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为定值，E是边上的动点（不与点C，D重合）， 交对角线于点F，交于点G，于点H．现给出下列结论：①； ②的周长为定值； ③的长度为定值， 则正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 【答案】A 【分析】连接，先证明得到，，再证明得到．①的结论正确；延长至点，使，连接，先证明得到，，再证明得到，即可得到的周长为定值；②的结论正确；连接，与交于点，证明得到为定值，③的结论正确 【详解】解：连接，如图， ∵是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴①的结论正确； 延长至点，使，则，连接，如图， ∵，， ∴． ∴，． ∵， ∵．即． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长为定值； ∴②的结论正确； 连接，与交于点，如图， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵正方形的边长为定值， ∴的长为定值． ∴③的结论正确； ∴正确的结论为①②③， 故选：A． 【点睛】本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】B 【分析】延长交于点N，延长交于点M，只需要证明得到，即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据，当最小时，有最小值，即可判断⑤． 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴，， 故①④正确； 在与中，，， ∴， ∴， 故②正确； ∵P是上任意一点，因而是等腰三角形不一定成立， 故③错误； ∵， ∴当时，有最小值即有最小值， ∵，， ∴此时P为的中点， 又∵， ∴，即的最小值为， 故⑤正确， 故正确的是：①②④⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明，以及理解P的任意性是解决本题的关键． 3．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 题型09 正方形的动态问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图1，在正方形中，为边的中点．动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为y，y与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点的位置时，的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．结合两个图先求出，此时，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，当动点P从点B出发运动到点C处时，运动路程为， 则正方形的边长为6， ， 当点P运动到中点时，M为边的中点， ， 此时， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形． 【答案】4 【分析】本题考查了“菱形的性质”“正方形的判定”，找到运动路程与正方形的判定条件之间的关系是解题关键． 由菱形的性质，可知，，因此，当时，即可判定四边形为正方形，此时的时间即为所求． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，． 设运动时间为t，则． ∴四边形是菱形． ∴当时，四边形是正方形． ∵是边长为4 cm的等边三角形， ∴． ∴． 故答案为：4． 2．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，使为菱形 (2) (3)不存在，使为正方形 【分析】本题考查四边形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置 （）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：不存在，理由： ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； （2）如图，∵，； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）由当时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形不能是正方形， 即不存在时间，使四边形是正方形 题型10 正方形的存在性问题 典｜例｜精｜析 1．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）A、B是的边上两定点，E是边上一动点，分别以为边在上方同侧作正方形、正方形． (1)如图①，，，，连接． ①求证； ②当点E在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出答案；若不存在，请说明理由； (2)如图②，，连接，当点E在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请用直尺与圆规作出此时点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析部分；② (2)作图见解析部分 【分析】（1）①证明，推出即可； ②存在．如图中，设交于点，交于点，过点作于点．根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小； （2）如图中，在上取一点，使得．证明，推出，推出点在射线上运动，作于，当点与重合时，的值最小，连接，以为圆心，以为半径作弧，交于点，当点与重合时，的值最小． 【详解】（1）①证明：如图中， ∵四边形，四边形都是正方形， ， ， 在和中 ， ， ． ②解：存在． 理由：如图中，设交于点，交于点，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， ， ∴的最小值为； （2）如图中，在上取一点，使得． ， ， ， ， ， ∴点在射线上运动， 作于，当点与重合时，的值最小，连接，以为圆心，以为半径作弧，交于点，当点与重合时，的值最小． 故点即为所求． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，尺规作图，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 变｜式｜巩｜固 1（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接． 【探究提炼】 （1）如图1，点是上任意一点，线段和线段存在什么关系？并说明理由； （2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度； 【类比迁移】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数； ②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，理由见解析；（2）；（3）①；②存在， 【分析】（1）根据折叠的性质得到垂直平分，可得线段和线段的数量关系，由折叠的性质得到由折叠可知， 设，由角度关系得到，由此即可求解； （2）根据正方形的性质得到，，由折叠的性质得到，是垂直平分线，根据角的和差关系得到，，，由此即可求解； （3）①如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为，由四边形的内角和定理得到，证明，得，则，由此即可求解； ②过点作于点，设，则，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质得到，则，当时，面积最小，由菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质得到，，由此代入计算即可求解． 【详解】解：（1），，理由： 由折叠可知：垂直平分， ∴； 连接， 由折叠可知， 设，则， ∴ ， ∴； （2）由折叠可知：， 在正方形中， ，， ∵， ∴， ∴， 如图，设交于点， ∵，即是垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作于点，设， 则， ∵，即， 解得：， 则， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴的面积存在最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形、菱形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 2（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得当时，四边形为平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）由题意可分：当点P在边上，当点P在边上，即，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P在边上，则有，所以， 在正方形中，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在边上， ∴， ∴， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在边上，则有，所以，此时四边形是梯形， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在边上，即，则有，如图， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴与的面积之和也为正方形的面积的一半， ∴， 解得：； 综上所述：当时，四边形的面积等于正方形的面积的一半． 3（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，在正方形中，，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)存在， 【分析】（1）由正方形的性质可知，，再利用同角的余角相等，即可证明结论； （2）在上截取，连接，由正方形和等腰三角形的性质，得出，进而可证，即可证明结论； （3）过点作，交于点，交于点，连接，证明，得到，进而得到，证得四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ， ， ， ∵为正方形的外角平分线， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：存在点使得四边形是平行四边形，， 理由如下： 过点作，交于点，交于点，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， 由（2）可知，， ， ∴四边形是平行四边形， 此时． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 题型11 正方形风车模型 典｜例｜精｜析 1．（20-21八年级下·江苏泰州·期末）如图，两个正方形的边长都为，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、不与端点重合，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（       ） A．发生变化，存在最大值 B．发生变化，存在最小值 C．不发生变化，存在最大值 D．不发生变化，存在最小值 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，证明是解题的关键． 由“”可证，可得，可得，由，可得当有最小值时，有最小值，即可求的值． 【详解】解：∵正方形的对角线交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴两个正方形重叠部分形成图形的面积， ， ∵的周长为， ， ∴当有最小值时，有最小值， ∵， ， ∴当时，有最小值为3， ∴的最小值为， 因为点不与点重合，所以不存在最大值，所以不存在最大值，所以不存在最大值， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】 （1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据题意补全证明过程即可； （2）根据（1）的结论即可求解； （3）如图4，构造正方形，点B为正方形对角线的交点，可得，即得，由即可根据（1）的结论求解． 【详解】（1）证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又， ， 又， 且， ∴， ∴， ∴， 即正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一； （2）解：由（1）的结论可得，， 故答案为：9； （3）解：如图④，构造正方形，点B为正方形对角线的交点， 则， ， ∵， ∴， 由（1）可得，． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直，相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为：（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为． （2）【类比探究】 ①如图，矩形中，，，点是边的中点，，点在上，点在上，则四边形的面积为，； ②如图，若将（）中的“正方形”改为“，边长为的菱形”，其他条件不变，当时，四边形的面积是． ③如图，在②的条件下，当点在对角线上运动到且旋转至时，的长度为______． （3）【拓展延伸】 如图5，（为钝角），，是钝角，平分，，，，，点是上一点，那么的长为______． 【答案】（1）1，2；（2）①4，4；②；③4或2；（3） 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题； ②过作交于点，证是等边三角形和是等边三角形，得，，再证，得，则，然后证，即可解决问题； ③连接交于点，分两种情况，、点在上时，、点在上时，由等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可； （3）过作于点，于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，求出，然后证，得，同理，得，即可解决问题． 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为2， ，，，，，， ， ， ， ， ，， ，； 小航：，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形，边长为2， ，， ， ， 是的中位线， ， 同理：， ， ，四边形是正方形， ，， ， ； 故答案为：1，2； （2）①如图2，过点作于点， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，，， ，点是边的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ，， ，， 故答案为：4，4； ②当时，四边形的面积还是一个定值，理由如下： 如图3，过点作交于点， 四边形是菱形，边长为8，， ，，，，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即当时，四边形的面积为； ③连接交于点，分两种情况 、点在上时，如图4， 四边形是菱形， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 过点作交于点， 同②得：都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； 、点在上时，如图，过点作交于点， 同理得：，都是等边三角形，， ，； 综上所述，的长为4或2， 故答案为：4或2； （3）如图5，过点作于点，于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 为钝角），， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型12 十字架模型 【基础模型-两边过顶点】 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 【模型进阶-一边过顶点】 条件：在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，DC上的点，AE与FG相交于点O， 图示： 辅助线作法：过点B作BM∥FG交CD于点M. 结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直. 【模型进阶-两边均不过顶点】 图示： 结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直. 以上结论成立的条件是:四点必须位于四边，否则不成立. 典｜例｜精｜析 1．（安徽省宿州市泗县2025-2026学年10月月考九年级数学试题）如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，说明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键． （1）过点作于点，根据正方形的性质得到，，再结合已知条件得到，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，从而得出，，再根据三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明正方形即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， 如图，连接、、、的中点P、Q、R、S， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是正方形． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：下面是小姜同学写的一篇数学学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务： 正方形中相等的线段如图1，在正方形中，如果点E、F分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 对于上面的问题，我是这样思考的： （1）：______． 反思1：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？ 对此可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． （2）：______． 反思2：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？ 对此可以画图说明： 如图3，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，那么与垂直吗？证明你的结论． （3）：______． 任务： (1)完成笔记中的“我是这样思考的”； (2)回答笔记中反思1的问题，并证明； (3)回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明． 【答案】(1)与相等，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)当时，那么与不一定垂直． 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）作，，证明，，与（1）同理得，即可证明； （3）以点为圆心，为半径作圆，与边交于点，得到，但与不垂直，得到当时，那么与不一定垂直． 【详解】（1）解：与相等，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下， 如图，作，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形和都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 与由（1）同理得， ∴ ∴； （3）解：与不一定垂直，理由如下： 如图，，则， 以点为圆心，为半径作圆，与边交于点， 此时，，但与不垂直， 故当时，那么与不一定垂直． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）（1）如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于，于．求证：； （2）如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交、、、于点、、、．求证：； （3）在（2）的条件下，若正方形的边长为，则线段的最大值_______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1． 【分析】（1）先判断出，再根据从而得到； （2）先判断出，代换即可得到结论； （3）当点和点重合时，最大．据此解答即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于，则， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是正方形． ，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，连接，，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ； （3）解：由（2）得， ， ， ，是正方形的对角线，正方形的边长为， ， 当点和重合时，最大值， 故答案为：1． 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出，也是解本题的难点． 题型13 中点四边形 1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形. 2）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 3）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. 4）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 5）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 6）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 典｜例｜精｜析1．（2026八年级下·全国·专题练习）解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． (1)如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． (2)当四边形满足________条件时，四边形是菱形． (3)当四边形满足________条件时，四边形是矩形． (4)当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)平行四边 (2) (3) (4)且 【分析】连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形； （3）解：， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形； （4）解：且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，可知平行四边形为矩形， 根据，可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点 是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连接和，他想到了四边形的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若是线段上任一点，在的同侧作和，使，，，连接，设点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，．请你接着往下解决三个问题： (1)四边形的中点四边形的形状为 ； (2)当点在线段的上方时，如图3，在的外部作和，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图4，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，见解析 (3)四边形是正方形，见解析 【分析】（1）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （2）先根据是等边三角形，可得，进而，然后利用三角形中位线定理可得，即四边形是菱形； （3）通过论证，进而得到菱形是正方形． 【详解】（1）解：连接、， ∵是等边三角形， ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）答：成立，理由： 连接、， ∵是等边三角形 ，， ， ， ， ， 、、、分别是、、、的中点， 、、、分别、、、的中位线， 、、，， ， 四边形是菱形． （3）答：如图，四边形是正方形，理由： 连接、， （2）中已证， ， ， ， ， ， ． （2）中已证、分别是、的中位线， ，， ， （2）中已证四边是菱形， 菱形是正方形． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在四边形ABCD中，点，，，分别为，，，边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形称为四边形的中点四边形． (1)求证：四边形的形状是平行四边形． (2)如图，在四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…如此进行下去，得到四边形．则 ①四边形是 ．（填特殊平行四边形） ②四边形的周长是 ．（用，代数式表示） ③若四边形始终是正方形，则在现有条件下，，还应该满足 ． 【答案】(1)见解析 (2)①菱形； ②；③ 【分析】（1）利用三角形的中位线定理即可论证； （2）①利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ②找到下角标为奇数的中点四边形周长的变化规律即可得出结论； ③利用正方形的判定方法即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①如图，连接，， ∵，，，为四边形各边中点， ∴由（1）得四边形为平行四边形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为矩形， ∴， ∵，，，为四边形各边中点， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴为菱形， 故答案为：菱形； ②∵，， ∴四边形的周长， ∵，， ∴四边形的周长， 按规律，四边形为矩形，经计算其周长， 四边形为矩形，经计算其周长， ...． ∴四边形为矩形，其周长为：． 故答案为：； ③已证四边形为矩形， 则当时，矩形为正方形， ∵，， ∴当，即时，满足题意， 故答案为：． 题型14 半角模型 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求证； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，然后可证，进而问题可求解； （3）把绕点顺时针旋转得到，连接，同理（2）可得：，设，则有，进而可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：；理由如下： 由旋转可得，， ∵四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ∴， ， ， ∴； （2）解：；理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ， ， ， ，即， ， 又， ， ∵， ， ， ∴； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，且， ∴， 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（2）可得：， 设，则有， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）问题背景： 在一次数学活动课上，老师让同学们根据所学的知识去了解“半角模型”，并探究“半角模型”的相关结论． (1)初步探究：如图①，小明将一张正方形纸片折叠，使得，恰好都落在对角线上，展开正方形纸片后得到折痕，，求的度数； (2)深入探究：如图②，小华在图①的基础上，将绕点逆时针旋转一定的角度，使的两边分别交，于点，，连接，请你帮助小华判断线段，和之间存在怎样的数量关系，并证明； (3)拓展延伸：如图③，在正方形中，是上的一点，是延长线上一点，且，连接，过点作，垂足为点，交边于点．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用折叠的性质，得到，， 即可得到，最后求解； （2）把绕点顺时针旋转得到，结合全等三角形的性质和角度和差关系通过证明，根据全等三角形对应边相等和等量代换即可求解； （3）连接，，，通过证明，由全等三角形的性质得到为等腰直角三角形，设，分别用含的代数式表示，，再结合勾股定理和三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质，得，， ， 即：； （2）解：， 证明如下：如下图所示，把绕点顺时针旋转得到， 点的对应点为点， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如下图所示：连接，，， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， 垂直平分， ， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理可得：， 即：，解得， ，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠和旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质，添加适当辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广西钦州·月考）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． (1)【提出问题】，，之间的数量关系为______； (2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，先证明≌，再证明从而得到、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系； （3）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系，将的周长转化为的长． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：成立，理由如下：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ，， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）解：延长到点，使，连接， 则， 与互补， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $