湖南长沙市衡阳市第八中学等校2026届高三下学期5月学情自测数学试卷

2026年5月高三检测卷 数学 班级： 姓名： 准考证号： (本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分) 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考 证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标 号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，将答题卡上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的、 1.已知集合A={1,3,5,23},B={a+ba∈A,b∈A},则A∩B= A.0 B.{1,3,5,7} C.{3,7} D.{L,3} 2.已知复数2=7-1 3-i 则z等于 A.5 B.√0 C.√5 D.2 3.已知a,b均为单位向量，且满足a-6b=V35,则a(a+2b)= 4 A.1 B.2 c D. 3 4.已知等比数列{an}满足a4=1,a,4,=8(a。-2）,则a。= A.-2 B.2 C.+2 D.4 5.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=log2(x+1)+2x2+2x,则不 等式f(x)>26的解集为 A.(-3,3) B.(-0,-3)U(3,+∞) C.(-3,0)U(3,+o)D.(3,+∞) 6.函数f(x)=tan(ox+p)(o>0)的图象关于点 （石0小对桥，且直线)=2与函数图除 的相邻两个交点的距离为兀，则正实数φ的最小值为 A. 元 12 B. C. 2π D. 6 3 数学试题卷第1页共4页 7.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为(x,y,)(i=1,2,,10),其中x=2,其回归直 线方程为=3x-2,当增加两个样本数据(4，-13)和(8,9)后，则在新的回归直线方程 的估计下，样本数据(4,9)所对应的残差为-求重新得到的回归直线方程斜率为 (残差=观察值-估计值) A C. 2 D.3 8.在平行六面体ABCD-AB,CD,中，底面ABCD是菱形，AB=AA=9, ∠DAB=∠AAB=∠AAD=60°，设△ABD,△BCD,△ABC,△ACD的重心分 别为O,P,2,R,则四面体OPQR的体积为 A. 3W2 B. 92 9V5 D. 3V2 2 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，矩形ABCD是圆柱OO的轴截面，AB=V5,AD=2√5，E为AB的中点， M为BE的中点，则 A.OM∥平面ADE B.圆柱OO,的侧面积为20元 C.三棱锥B-ADE的体积为5V5 6 D.圆柱OO,的外接球的表面积为25π 10.已知抛物线C:y2=4x,设0为坐标原点，T(4,4),P(m,n),过点P(m,n)作抛 物线C的两条切线，切点分别为A,B（异于点T)，则下列结论正确的是 △.若m=-1，,△OAB可能为锐角三角形 B.若m=-1,点P在直线AB上的投影为定点 C.若m=-1,且直线AT,BT分别交x轴于点M,N,则OMOW=4 D.若m=-4,且直线AP,BP分别交y轴于点M,N,则OMON=4 数学试题卷第2页共4页 11.定义在R上的函数f(x),g(x)满足：f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y), g(x+)=f(x)f)+g(x)g(y),若g(x)为偶函数，且g(0)≠)，g(x)恒大于0， 则下列选项正确的是 A.f(x)为奇函数 B.g2(x)-f2(x)=1 C.g(x+y)g(x-y)=f2(x)-f2(y) D.若f0+g0-2,则81024-f024)=2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在(V反-V的展开式中，x的系数为·（请用数字作答) 13.在等差数列{a,}中，若前n项和S,有最大值，且4o<-1,则满足S,>0时的最大 41014 正整数n为 14.设椭圆C:年+户=1的左、右焦点分别为R,R,斜率为一万的直线与椭圆C相 切于第一象限内点P,直线I与x轴交于点M,则∠FPM= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°， PB=PD=√5，PA=V5,AC与BD交于点O. (1)求证：PO⊥平面ABCD; (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 16.（15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知函数 f(x)=2sinxcosx-23cosx+3,f(A)=0. (1)求角A的大小； (2)若a=√3，△ABC的周长为3+V5,求△ABC的面积. 数学试题卷第3页共4页 17.(15分)某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了A,B两类 实践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有A任务合格后，才能参与B任务 的考核，两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅A任务合格评定为良好，A任 务不合格直接评定为不合格.已知学生甲完成A任务合格的概率为子，若A任务合 格，完成8任务合格的概率为了；学生乙完成A任务合格的概率为，若A任务 3 合格，完成B任务合格的概率为；且甲、乙两人完成任务的结果相互独立. (1)求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率； (2)在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为 优秀的概率； (3)从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为：不合格 为0分，良好得4分，优秀得8分，设选取学生的得分为随机变量X,求 X的分布列和数学期望E(X 8.I7分巴知圆C。+Q>0的左、有焦减分别为R,,过下的直线 1与椭圆C交于A,B两点. ,点 (1)若椭圆C的离心率为 在椭圆上，求椭圆C的标准方程； (2)在(1)的条件下，若直线1的斜率为，求∠45B的大小： (3)若存在这样的直线1使得AF⊥BF,,求椭圆离心率的取值范围. 19.（17分)已知曲线Γ：x2+y2=4(y>0),函数f(x)=a*-1,其中a>1. (1)试求曲线Γ与函数f(x)的交点个数； (2)设曲线Γ与函数f(x)的交点为T(m,n),作T在点T处的切线，交y轴于点K. (i)证明：TK<loge2; (i)若f(x)在点C(x,f(x)处的切线与TK垂直，试探究点M(f(x),m) 与椭圆片+=1的位置关系， 数学试题卷第4页共4页2026年5月高三检测卷 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D B B B B B ACD BCD ABD 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.【答案】A 【解析】由题意得a可能取1,3,5,23，b可能取1,3,5,23，则a+b可能取2， 4,6,24,4,6,8,26,6,8,10,28,24,26,28,46,由集合的互异性去掉 重复的元素，则B={2,4,6,8,10,24,26,28,46},则A∩B=☑. 2.【答案】C 【182-号得-方 3.【答案】D 【解析】由题意知35=加-6=-12ab+36=37-12ab,解得a6=名，于是 a-(a+2b)=a2+2a-b=1+1-4 33 4.【答案】B 【解析】由a,a,=8(ag-2)可得ag2-8a+16=(a。-4)=0,则ag=4,又a,2=a4a= 4,且a。>0,则a6=2. 5.【答案】B 【解析】因为函数y=log2(x+1)与y=2x2+2x在[0，+o)上单调递增，所以f(x)在 [0,+o)上单调递增.因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，且 f(3)=log2(3+1)+2×32+2×3=26,所以由f(x)>26→f0x0>26→|x|>3→ x>3或x<-3,所以原不等式的解集为(-0，-3)U(3,+o). 6.【答案】B 【解析因为直线)2与函数©)图象的相邻两个交点的距离为 ，所以函数 的最小正周期为分所以西”子，所以w=2.由五载侧的图象关于 @@2 后0对称，骨e-经e2刃所以正实效p的最小收为经行-名 点 236 数学参考答案第1页（共10页） 7.【答案】B 【解析】：公5=20，“增加两个样本点后x的平均教为20，-2； i=l 12 :万=3×2-2=4，：分，=40.增加两个样本点后y的平均数为404=3， 12 .新的经验回归方程为=bx+a,则当x=4时，=4b+a=10,又a+2b=3,解 保6-号 故选：B 8.【答案】B 【解析】如图，在平行六面体中，对角线AC与平面ABD和平面CBD分别交于点 O,N,则O,N分别是平面ABD和平面CB,D的重心，且AO=ON=NC,由四 条体对角线的八个三等分点可以得到一个平行六面体OSPT-MQNR, 1 11 o-oF号Dasr-hieR7 3 7×'am-4n-3X27X6x4-4n 116V 3×27×6x1 x9-92 故选：B 12 D DA- M宇 Q 0 B S BD 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9.【答案】ACD 【解析对于A,取AE的中点Q.连接DQ,MQ.因为M为BE的中点，所以MQ∥AB, M0-号AB,又D0∥AB,D0=)AB,所以M0MD0,M0=D0,D 所以四边形DOMQ为平行四边形，则DQ∥O,M,又DQc平面 ADE,OMt平面ADE,所以OM∥平面ADE,故A正确；对 于B,同柱00的侧面积S=21=2x×5×2V5=10m,故B错 :B 数学参考答案第2页（共10页) 7.【答案】B 【解析】：公5=20，增加两个样本点后x的平均教为20，-2； i=l 12 万=3×2-2=4，》=40.增加两个样本点后y的平均数为404-3， 0 12 .新的经验回归方程为)=bx+a,则当x=4时，=4b+a=10,又a+2b=3,解 路-3 故选：B 8.【答案】B 【解析】如图，在平行六面体中，对角线AC与平面ABD和平面CB,D分别交于点 O,N,则O,N分别是平面ABD和平面CB,D的重心，且AO=ON=NC,由四 条体对角线的八个三等分点可以得到一个平行六面体OSPT-MQNR, 11 Vo-roR 11 327 1、16V2 3*27×6× 9=9W2 故选：B 12 D 0 B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9.【答案】ACD 【解析对于A,取AE的中点Q.连接DQ,MQ.因为M为BE的中点，所以MQ∥AB, M0-号AB,又D0∥AB,D0=)AB,所以M0MD0,M0=D0, 所以四边形DOMQ为平行四边形，则DQ∥O,M,又DQc平面 ADE,O,Mt平面ADE,所以OM∥平面ADE,故A正确；对 于B,同往00的侧面积5=21=2x×5×25=10,故B错 :B 数学参考答案第2页（共10页） 误；对于C,由题意得AE1BE,且AB=BE=0 )，所以V枝能BDE=T校鞋D-B5于 1110V10 322 25-55,故C正确；对于D,取O0的中点F,连接FD, 6 为床得D5)、可即图非00的外滨啡的子经为发演球的表面 积为4元× =25π，故D正确.故选：ACD, 10.【答案】BCD 【解析】对于抛物线C:y2=4x,过抛物线外一点P(m,n)的切点弦方程为 y=2(x+m)·当m=-1时，得到1B:y=2x-2,过焦点F(1,0),此时 OA.OB=xx2+yy2=1-4=-3<0,故△OAB为钝角三角形，故A错误；因为 大6=×2=-l,故PF⊥AB,故点P在直线AB上的投影为定点F,故B正确； 2n 设B年在=++=0，了 4 令y=0,则xM=-y,同理xv=-y2,故OMOW=以2=4，故C正确；当m=-4 时，过P(-4,n)作拋物线的切线方程为x=y-t-4,与抛物线方程y2=4x联立得 y2-4y+4tn+16=0,由4=0，整理得t2-nt-4=0,则t+12=n,t42=-4,故 1x=-1n-4,令X=0,则w=n+4,同理可求w=n+4，故 1, oow-++行)9-4，D 11.【答案】ABD 【解析】法-：令x=y=0,得f(0)=2f(0)g(0),因为g(0)≠)和0，则f(0)=0. 令y=-x，得0=f(x)g(-x)+g(x)f(-x)=g(x)f(x)+f(-x),故f(x)+ f(-x)=0,则f(x)为奇函数.故选项A正确； 令x=0,得g(0)=2(0)+g2(0),因为f(0)=0,则g(0)=1.令y=-x,得 1=f(x)f(-x)+g(x)g(-x)=g(x)-f(x)=1,故选项B正确； 用“-y”代替“y”,得g(x-y)=f(x)f(-y)+g(x)g(-y)=-f(x)f(y)+g(x)g(y), 数学参考答案第3页（共10页） 两式相乘得g(x+y)g(x-y)=1+f2(x)+f(y),若等于f(x)-f2(y),则 (0)=月，故选项C错误 令y=x,f(2x)=2f(x)g(x),g(2x)=f(x)+g2(x),相加得f(2x)+g(2x)= (f(x)+g(x), 用“2x”代替“x”得f(4x)+g(4x)=(f(2x)+g(2.x)=(f(x)+g(),继续操 作得f(2”x)+g(2”x)=(f(x)+g(x),令n=10,x=1,得f(1024)+g(1024)= (f()+g()=24，由g2(1024)-f2(1024)=1,联立得g(1024)-f1024)= 2m·故选项D正确，故选择ABD 2,8(x)=e+em 法二：取f(x)=e-e —(m≠0)符合题意，此时f(x)为奇函数， 数站项入正：g)--(色-1，成楼项B: e+c2w十c2tea 一，而 (-f(y）=e-e+e-e2 ,不恒相等，故选项C错误； 4 若f()+g(0)=2,则e”=2,g1024)-f1024)=e1m=,1 21024. 故选项D正确. 故选择ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】20w2 【解析】(2-V'的展开式的通项公式为T1=C（V2)°(=(C2x2, 5-2 r=0,1,2,…,5.由5=1→r=2.所以x的系数为：(-1)C2?=20W2 13.【答案】2026 【解析】由等差数列{an},其前n项和Sn有最大值，得{an}是首项a>0,公差d<0 的等差数列，因为0腿<-1，故ao3>0,4o4<0，且4o13+ao4>0，则 a1014 S2026=(a1+a226)×1013=(a1o13+a1o14)×1013>0,S2o21=2027a1o14<0，故满足 S,>0时n的最大正整数为2026. 数学参考答案第4页（共10页) 14.【答案】2/120 【解析】设∠F,PM=a,∠F,MP=B,∠FPF的角平分线交x轴于点T,由椭圆的 光学性质可知PT⊥PM sin ( -a 由 cos∠F,PM (2 FT FT cos∠F,MP BT+FT-2c=e,又tanB=5, sin FP FP FP+FP 2a cosB=V3 ,则cas∠RPM=0∠RMn-2样∠RPW=背则∠FPM- 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形， BD=AB=2,AO⊥BD,AO=V3.又PB=PD=N3,O为BD中点，故PO⊥BD, P0=VPB-Bo-VV5°-P-2.已知PA=5,则40+PO=(5+ (V2=5,则A02+P02=PA,故P0⊥A0. .（4分） 因为AO∩BD=O,AO,BDC平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD..(5分) (2)由(1)知，OA,OB,OP两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴， OP为z轴建立空间直角坐标系.… .（6分) P0,0,V2),AV3,0,0),B(01,0),C(-V5,0,0),D(0,-1,0) 设平面PAB的法向量为：，=(x,,), PA=(5,0,-2),PB=(0,l,-2), 则=0.50.令5=8，得m=569分) mPB=0’y-V2a=0 设平面PCD的法向量为：n2=(x2,y2,22), Pc=(-5,0,-2),PD=(0,-l,-2), 剥C=0.即50，令=5，得属-反6-(12分) n,PD=0’1 -⅓-V22,=0, 设平面PAB与平面PCD的夹角为O, 则cos0= m_V5x一2)+6x(6)+3x5 5. 所以，所求锐二面角余 n V11×V11 1 弦值为 (13分) 1 数学参考答案第5页（共10页） 16.【解析】(1)f)=2 sin xcosx-25cos2x+V3=sin2x-5(2cos2x-= .（3分） 已知f(4)=0,即2sn24-0. 24--0：4e@,24-〔 …（4分) 21=0或2A-，解得1=，A=2红 .（6分) 6 (2)由题意知：a=V3,周长a+b+c=3+V5,∴b+c=3, 1。当A=2时，由正弦定理： a b sinA sinB -2R.a=5,A-25 sinC 2R=3 =2,.'.b=2sinB,c=2sinC. 2π Sin 3 :A+B+C=元，C=元-A-B=T-B,又b+c=3,2sinB+2sim -B3, 3 展开化简：2sinB+2 9cas月-9inB-2sin6+V5cas月-5n8=snB+5osn 2 =28+写3，8+到-1,4-行不特合题意 …（10分） 3 i.当A=工时，由余弦定理：a=b2+c2-2 bccosA, 6 代入=，4后日9，行6+c-2 °62 即3=b2+c2-V3bc.由完全平方公式b2+c2=(b+c)2-2bc,且b+c=3,代入得： 3=付-2-，事3=9-p-6c,条得灰2 …（13分) △18c的西积5=csi1=×,6 22+√52 (14分) 综上得，△1BC的面积为3-3 (15分) 2 数学参考答案第6页（共10页) 17.【解析】(1)设事件A=“学生甲A任务合格”，事件B=“学生甲B任务合格”， .（1分) 由题意可知，甲评定为优秀需均合格，由条件概率的乘法公式可知 P4-4)AaA)- （3分） (2)设事件C=“甲、乙两人中至少有一人评定为优秀”，事件D=“学生甲评定 为优秀”，… …（4分) D表示“甲优秀且甲乙至少一人优秀”，即甲优秀，故PCD)=P(甲优秀)三了 对立事件C=“甲乙两人都不优秀”； P(甲不优秀)=1-)，P(乙不优秀)=1-}-名 22 331 由相互独立事件概率公式： Pa-号 周此PC=1-PG)1-子： P(Dic)- (CD) 2-3 (7分) P(C) 4 （3）X的可能取值为0,4,8，… (8分) 学生甲得分的概率为：P(甲得0分)=1-P(4)=4: P(甲得4分)=P(48)=P(4)PB1A)=4 p(甲得8分)-分： （10分） 学生乙：得分的概率为：设事件A=“学生乙A任务合格”，事件B,=“学生乙B任 务合格”， P(乙得0分）=1-P(4)= P(之得4分)=P叫4回)=P(4)P瓦4)写 P(乙得8分)=P(A,B)=P(4,)P(B,1A,)=3 …（11分) 数学参考答案第7页（共10页） 由于从甲、乙随机选取一人，则选中甲、乙的概率为) 11.117 P(X=0)=5×+5×5= 242324 11117 P(X=4)=5×,+5×5= 242324 11.115 P(X=8)=2×2+2*312 (13分) 则X的分布列为 X 0 4 8 7 7 5 P 24 24 12 7+4x7+8x 则E(X)=0×24+4×24 59 (15分) 1221 a2=b2+c2 18.【解析】(1)由题可知 11 2b2 =1,解得 d=2 b2=1 则横圆C的方程为 2+y2=1. a 2 (3分) (2)设直线AB方程为：x=V7y-1,A(x,),B(x2,y2), 2W7 化0，w-, y+y2= 9 (5分) 1 y2=- 9 A.B-(x-1,y)-(k-1）=8yy-2W万0y+5)+4=7.7=0,…(7分) 9 则∠A5B-号 (8分) (3)在△AFE中，设AF=m,∠AFE=0,则AF=2a-m. 由余弦定理可知m2+4c2-(2a-m)=2m×2ccos0, 数学参考答案第8页（共10页) 解得m= b2 (10分) a-ccos0 同理可得BF=n= b2 a+ccos0 (11分） 因为∠48-受，所以由加+川=(2a-m+(2a-n,解得mn=4a2-2am+小， b4 a2-e2cos2日=4a2-2a -C0o心9·整理d2-ccos29-6+an，即 2ab2 则 4a2 1-e2cos20=/ b2 4 a +a 则1-e2cos20=20-e2}+1-e2, 解得sm0=e小 （15分) 因为0sn0≤1，则02e小水1，解得e[5-l ，.（17分） 19.【解析】(1)设g(x)=a-1-4-x(x∈[-2,2])， 当-2≤x≤0时，a-1≤0，-V4-x2≤0，且不同时取等，则g(x)<0,g(x)无零 点，则曲线厂与函数f(x)没有交点； (1分) 当0≤x≤2，因a>1,故g(x)在定义域内单调递增； g(0)=-2<0,g(2)=a2-1>0. 由零，点存在性定理，存在唯一的x。∈[0,2]，有g(x)=0; 故g(x)在[-2,2]有唯一零点x,即曲线Γ与函数f(x)有一个交点；…(3分) 综上曲线厂与函数f(x)有一个交点. …（4分) (2)(i)因人r”,则曲线r在点T处的切线斜率为x=- m n m2(m2+n2） 从而TK|= n +m2 2m,由于n=a-1 数学参考答案第9页（共10页） 只需证m<1 ,即n(a")am-1; （7分) am-1 Ina 设(x)=x-1-nx,其中>1，则()=1->0，故(x)单调递增； 则有h(x)>h(1)=0,从而lnx<x-l; 则ln(am）)am-1,证毕；… (9分) (i)点M((),m)在精圆二+r=1内，下证： 4 由f()在点.C(k,f(x)》处的切线与7K垂直可知，u51na=”-a-1,即a=a-」 m m lna"i (11分) 只需证：m2+4(a-1<4,即证4(a-1<n2; 即证2(a-1)<n=a"-1; 即证20-1<4”+1； Inam … (13分) 设0倒=n2,共中1，期==少>0，放单运拇 x+1 x(x+1)2 则有1(x)>()=0,从而n心2(x- x+1 则na2a- a”+1，证毕 (17分) 数学参考答案第10页（共10页） 误；对于C,由题意得AE1BE,且B=BE=I0 2，所以V=枝锥B-DE三V三棱锥DBE专 1110 0×25=55,故C正确：对于D,取00的中点F,连接FD, 322 6 为条得D即国00的外读球约半经为子，故碳球的表西 积为4元× =25π，故D正确.故选：ACD 10.【答案】BCD 【解析】对于抛物线C:y2=4x,过抛物线外一点P(m,n)的切点弦方程为 y=2(x+m）·当m=-1时，得到1B:y=2x-2,过焦点F(1,0),此时 OA.OB=xx+yy2=1-4=-3<0,故△OAB为钝角三角形，故A错误；因为 =-×2=-1,故PF⊥4B,故点P在直线B上的投影为定点F,故B正确： aB然是+切 4 令y=0,则xM=-y,同理xv=-y2,故OMOW=以y2=4,故C正确；当m=-4 时，过P(-4,n)作抛物线的切线方程为x=y-tm-4,与抛物线方程y2=4x联立得 y2-4y+4m+16=0,由4=0，整理得t2-nt-4=0,则+13=n,t42=-4,故 1x=-1m-4,令X=0，则w=n+生，同理可求w=n+4，故 t、 1, owow-o+号f2）9-4,DA 11.【答案】ABD 【解析】法-：令x=y=0,得f(0)=2f(0)g(0),因为g(0)≠)和0，则f(0)=0. 令y=-x,得0=f(x)g(-x)+g(x)f(-x)=g(x)f(x)+f(-x)，故f(x)+ f(-x)=0,则f(x)为奇函数.故选项A正确； 令x=0,得g(0)=(0)+g2(0),因为f(0)=0,则g(0)=1.令y=-x,得 1=f(x)f(-x)+g(x)g(-x)=g(x)-f(x)=1,故选项B正确； 用“-y”代替“y”,得g(x-y)=f(x)f(-y)+g(x)g(-y)=-f(x)f(y)+g(x)g(y), 数学参考答案第3页（共10页） 两式相乘得g(x+y)g(x-y)=1+f(x)+f(y),若等于f(x)-f(y),则 f产(0)=-7，故选项C错误： 令y=x,f(2x)=2f(x)g(x),g(2x)=f(x)+g2(x),相加得f(2x)+g(2x)= (f(x)+8(x), 用“2x”代替“x”得f(4x)+g4x)=(f(2x)+g(2x)=(f(x)+g(),继续操 作得f(2”x)+g(2"x)=(f(x)+g(x)，令n=10,x=1,得f(1024)+g1024)= (f()+g()=24，由g2(1024)-f2(1024)=1,联立得g(1024)-f1024)= 2丽·故选项D正确.故选择ABD 2，g(x)=e+em 法二：取f(x)=e-e —(m≠0)符合题意，此时f(x)为奇函数， 政频A:g)-户-（产-色-1，成楼项B: —m+cm+c2wew 一，而 4 fi(x)-)mm -e-2m -,不恒相等，故选项C错误； 4 若f()+g(1)=2,则e”=2,g(1024)-f(1024)=e124m= 1 21024· 故选项D正确. 故选择ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】20w2 5-r 【解析】(N2-V'的展开式的通项公式为工=C(2(=(-1ヅC2x, 5-3 r=0,1,2,…,5.由5=1→r=2.所以x的系数为：(-1C22=202. ● 13.【答案】2026 【解析】由等差数列{an},其前n项和Sn有最大值，得{an}是首项a>0,公差d<0 的等差数列，因为0<-1，故ao13>0,4o4<0，且ao13+ao4>0，则 41014 S2026=(41+a2o26)×1013=(a1o13+a1o14)×1013>0,S2o27=2027a41o14<0，故满足 S,>0时n的最大正整数为2026 数学参考答案第4页（共10页） 14.【答案】否120 【解析】设∠F,PM=a,∠FMP=B,∠FPF,的角平分线交x轴于点T,由椭圆的 光学性质可知PT⊥PM sin 由 cos∠F,PM (2 -a FT_FT cos∠F,MP BT+ET=2c-e,taB=, sin B FP FP FP+FP 2a 2 cosB=V3 ，则cos∠RPM=eas∠RMn-得∠RPM=骨则∠FPM- 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形， BD=AB=2,AO⊥BD,AO=V3.又PB=PD=V3,O为BD中点，故PO⊥BD, P0=VPB-BO-V5°-P-2.已知PA=5,则A0+Po=(V+ V2=5,则A02+P02=PA,故P0⊥A0. (4分) 因为AO∩BD=O,AO,BDC平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD..（5分) (2)由（1)知，OA,OB,OP两两垂直，以O为原，点，OA为x轴，OB为y轴， OP为z轴建立空间直角坐标系。… .（6分) P0,0,V2),AV3,0,0),B(01,0),C(-V5,0,0,D(0,-1,0) 设平面PAB的法向量为：h=(x,,), PA=(5,0-V2),PB=(01,-V2), 则所=0即人50，令=5，符儿-(9分) m·PB=0’y-2z=0’ 设平面PCD的法向量为：n2=(x2,y2,22), Pc=(-3,0,-2),PD=(0,-1,-2), 剥C=0.中N550.◆=，得m=5,-6同)-(12会） m,P=0'甲1 ⅓-22，=0， 设平面PAB与平面PCD的夹角为O, 则cos0= ml_V5x2)+6x6)+3x5 5 所以，所求锐二面角余 mn2 V11×V11 1 弦值为 (13分) 1 数学参考答案第5页（共10页） 16.【解析】(1)f)=2 sin xcosx-23cos2x+V3=sin2x-V5(2cos2x-1)= .（3分) 已知(4)=0,即2sm24-0 …（4分） 24=0或21-，解得4天，2 3 （6分) 6 (2)由题意知：a=V3,周长a+b+c=3+V3,∴.b+c=3, 1,当A=2时，由正弦定理： a b =2R,:a=5,A=2 sinA sinB sinC ·2R=3 =2,..b=2sinB,c=2sinC. 2π sin- 3 :A+B+C=元，C=π-A-B=元-B,又b+c=3,2sinB+2sim -B=3, 3 展开化简：2sinB+2 2cos B-sin B =2sin B+3 cos B-sin B=sin B+3 cos B 2 -2m8+写}-3，sm8+写-1,4-不特合题多 …（10分)】 i.当A=T时，由余弦定理：a2=b2+c2-2 bccosA, 6 我入a=5,4-君o君-9，W-分+心-2 °62 即3=b2+c2-V3bc.由完全平方公式b2+c2=(b+c)2-2bc,且b+c=3,代入得： 3=付-2次-，中3=9-p-6c,条得加2 …（13分) △18C的西积5-csi1=×,6 (14分) 2^2+√52 综上得，△1BC的面积为3-3 (15分) 2 数学参考答案第6页（共10页） 17.【解析】(1)设事件A=“学生甲A任务合格”，事件B=“学生甲B任务合格”， .（1分) 由题意可知，甲评定为优秀需均合格，由条件概率的乘法公式可知 P4-4)Aa14-子号 （3分)） (2)设事件C=“甲、乙两人中至少有一人评定为优秀”，事件D=“学生甲评定 为优秀”，… …（4分) CD表示“甲优秀且甲乙至少一人优秀”，即甲优秀，故P(CD)=P(甲优秀)=】 对立事件C=“甲乙两人都不优秀”； P(甲不优秀)=1-】)，P(乙不优秀)=1--名 22 Γ33’ 由相互独立事件概率公式： Pa-号 国此P(C=1-P4G)1-日子： (Dic)- (CD) 2-3 (7分) P(C) 4 （3)X的可能取值为0,4,8，… （8分) 学生甲得分的概率为：P(甲得0分）=1-P(4)=4: P(甲得4分)=P(4B)=P(4)P(BA)=4 P(甲得8分）=支： (10分) 学生乙：得分的概率为：设事件A,=“学生乙A任务合格”，事件B,=“学生乙B任 务合格”， P(乙得0分）=1-P(4)= P(之得4分)=P叫4可=P(4)Pn画4)背 P(乙得8分)=P(A,B)=P(4,)P(B,1A,)=3 …（11分) 数学参考答案第7页（共10页） 由于从甲、乙随机选取一人，则选中甲、乙的概率为 11.117 P(X=0=2*4+2×324 11117 P(X=4)=5×,+5×5= 242324 11.115 P(X=8)=2X2+2312 (13分) 则X的分布列为 X 0 4 8 7 7 5 P 24 24 12 7+4x7+8 则E(X)=0×24+4×24 59 (15分) 122 a2=b2+c2 18.【解析】(1)由题可知京+ 1,1 b2 =1,解得 d=2 b2=1 则精圆C的方程为 2+y2=1. .a2 (3分) (2)设直线AB方程为：x=V7y-1,A(x,),B(x2,2), -,10 +y2= 9 .......... (5分) 少1 9 A-FB=(-1,)3-l)=8-270y+为)+4=7.7=0，…(7分) 9 则∠AB-号 (8分) (3)在△AFE中，设AF=m,∠AFE=0,则AF=2a-m. 由余弦定理可知m2+4c2-(2a-m)}=2m×2ccos0, 数学参考答案第8页（共10页） 解得m= b2 (10分) a-ccos0 同理可得BF=n= b2 a+ccos0 （11分） 因为∠4CB=,所以由(m+n川=(2a-m+(2a-m,解得mn=4a-2a(m+川， b4 则 a-cicos2g=4ai-2a 2-c2cos'0，整理d2-c2c0s20=6+4ab2 2ab2 4a2 ，即 I-ecos b2 4a2 +2' 则1-e2cos20=20-e2y+1-e2, 解得sm0=e小片 （15分) 国为0sn0≤1，则0<2e小水1，解得e[5-川 .（17分） 19.【解析】(1)设g(x)=a-1-V4-x2(x∈[-2,2])， 当-2≤x≤0时，a-1≤0，-V4-x2≤0，且不同时取等，则g(x)<0,g(x)无零 点，则曲线厂与函数f(x)没有交点；…。 (1分) 当0≤x≤2，因a>1,故g(x)在定义域内单调递增； g(0)=-2<0,g(2)=a2-1>0. 由零，点存在性定理，存在唯一的x。∈[0,2]，有g(x)=0; 故g(x)在[-2,2]有唯一零点x。,即曲线「与函数f(x)有一个交点；…（3分) 综上曲线厂与函数f(x)有一个交点 …（4分) (2)(i)因，”，则曲线T在点T处的切线斜率为x= m n m2(m2+n2） 从而TK= +m2 n2 2m,由于n=a-1 数学参考答案第9页（共10页） 只需证m<1 ,即ln(am）Kam-1;… (7分) am-1 Ina 设h(x)=x-1-nx,其中心1，则()=1->0，故(x)单调递增； 则有h(x)>h(1)=0,从而nx<x-1; 则ln(am）am-1,证毕；… (9分) (i)点M(f(),m)在椭国广+x=1内，下证： 4 由f)在点C(,f(s》处的切线与7K垂直可知，a1na=”_“,即a=4 m m （11分) 只需证：m2+4(a-1<4,即证4(a-1<n2; 即证2(a-1)<n=a"-1; 即证2-1<a”+1; (13分) Inam 设因)=nx2,共中1，则r0闪=（任->0，故问调送增： x+1 x(x+1)2 则有1(x)>()=0,从而n心2(x- x+1 则na2a-) a"+1，证毕 (17分) 数学参考答案第10页（共10页）